2021年角平分线定理的多种证明方法

三角形内角平分线定理的

多种证明办法

欧阳光明（2021.03.07）

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 证明：办法一：（面积法）

三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,

三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,

所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积

S=AB:AC

又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，

面积的比即是底的比，

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM

所以AB／AC=MB／MC

办法二（相似形）

过C作CN平行于AB交AM的延长线于N

三角形ABM相似三角形NCM,

AB/NC=BM/CM,

又可证明∠CAN=∠ANC

所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC

办法三（相似形）

过M作MN平行于AB交AC于N

三角形ABC相似三角形NMC,

AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC

又可证明∠CAM=∠AMN

所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC所以AB／AC=MB／MC

办法四（正弦定理）

作三角形的外接圆，AM交圆于D，

由正弦定理，得，

AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,

AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM

又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180

sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,

所以AB／AC=MB／MC

阅读下面资料，按要求完成后面作业。

三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。

阐发：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用另外办法换比。

在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，

所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而获得BD、DC、AB的

第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。

（1）完成证明过程：

证明：

（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）

答：用了：①____________；②_____________。（3）在上述阐发和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答：____________。（4）用三角形内角平分线定理解答问题：

如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。

（1）证明：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E，

则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，

可得=，∴=。

（2）两直线平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）②；

（4）“略”