最佳路径选择方案的优化模型数学建模论文

最佳路径选择方案的优化模型

摘要

本文对乘公交、看奥运这一实际问题进行了深入的研究，首先对公交乘客进行了心理分析，得出影响乘客出行的三个主要因素分别为：换乘次数、出行时间、出行费用，通过调查研究，得出换乘次数最少是乘客出行考虑的最主要因素，其次是出行时间和出行费用。然后利用公交乘客的出行过程抽象为站点—线路的交替转换的思想，建立了站点—线路序列模型，从而确定了出行者对路线的所有选择方案。

针对问题一：仅考虑公汽的情况下，以换乘次数最少为第一目标、出行时间为第二目标建立了优化模型一，再以换乘次数最少为第一目标、出行费用为第二目标建立了优化模型二，从而满足了两类不同乘客的需求。并依靠站点—线路序列模型采用图论中计算方法，分别得到了公交乘客的最少换乘次数，所经过的站点，出行时间、出行费用以及相应的算法。

针对问题二：在问题一的基础上再考虑地铁线路，建立了对应的两组优化模型，并推导出相应的改进算法。

针对问题三：在问题一、二的基础上，考虑出行者可以通过步行到达相邻的公交站点的情况，同样建立了两组相应的优化模型，并给出了相应的计算方法。

然后利用基于换乘次数最少的最优路径改进算法思想，借助MATLAB软件编程分别对问题一和二进行了求解，得到的结果见模型的求解（正文第21、22页）。

最后对所求得的结果进行了对比分析和检验，根据各参数的变化关系，进行了灵敏性分析，本模型主要抓住了乘客的心理需求，实用性强，具有较强的现实意义。

关键词：站点—线路序列最优路径改进算法公交

一、问题的提出

1.1基本情况

我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择（包括不同线路上的换乘交通工具的路径选择等）问题。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。

1.2基本参数设定：

1）相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)：3分钟；

2）相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)：2.5分钟；

3）公汽换乘公汽平均耗时：5分钟(其中步行时间2分钟)；

4）地铁换乘地铁平均耗时：4分钟(其中步行时间2分钟)；

5）地铁换乘公汽平均耗时：7分钟(其中步行时间4分钟)；

6）公汽换乘地铁平均耗时：6分钟(其中步行时间4分钟)；

7）公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元。

地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）。

注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。

1.3相关信息（详见附件）

【附件1】公汽和地铁线路信息数据文件格式说明；

【附件1.1】公汽线路及相关信息；

【附件1.2】地铁线路及相关信息；

【附件2】地铁换乘公汽信息数据文件格式说明；

【附件2.1】地铁T1线换乘公汽信息；

【附件2.2】地铁T2线换乘公汽信息。

1.4需解决的问题

为了设计这样一个公交线路选择的自助查询计算机系统，其核心是线路选择的模型

与算法，应该从实际情况出发考虑，以满足查询者的各种不同需求。进而需要解决如下问题：

问题一、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附件中的相关数据，利用所得到的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。

(1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485

(4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S3676

问题二、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

问题三、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。

二、基本假设

2.1出行者对公交线路的选择是理性的且能够顺利正常的到达目的地。

2.2出行者在所经过的站点中，不允许两次经过相同的站点。

2.3公交与地铁换乘距离固定，换乘步行时间为常数。

2.4同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘且无需支付地铁费。2.5出行者换乘时，不受人群拥挤、交通堵塞等现象的影响且均能乘到相应线路的公汽

或地铁。

2.6出行者换乘交通工具时的平均耗时包括出行者到站的等待时间和换乘的步行时间；

2.7公汽线路上的单一制票价为1元，分段计价的票价为：0~20个站：1元；21～40站：

2元；40站以上：3元；地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）。

2.8附件所给数据准确无误。

（注：本文中针对相应问题的假设将在后文中陆续给出）

三、问题分析与模型建立

观看2008年8月在北京举行的奥运会是我国人民翘首企盼的盛事，届时将会有大量的观众需要到现场观看奥运比赛，公交也将成为主要的交通工具，因此观看比赛的首要问题应当是解决每位观众如何去的路线问题。本文需要设计乘客对路线的选择方案，在探讨选择公交线路的数学模型和最优路径算法时，有必要先了解公交乘客出行时所考虑的因素，通过对公交乘客出行心理、行为的研究来确定模型的优化目标和约束条件。

3.1对公交乘客的心理研究

“出行经历的总站数”、通常乘客出行时，主要考虑以下几个主要因素[1]：

“换乘次数”、

“出行耗时”、“出行费用”、“存在的步行时间”等。就乘客本身而言，公交乘客出行更多考虑的是出行的方便性和舒适性，下面就影响公交乘客出行的各因素进行具体分析，不妨将以上影响因素作如下归纳解释：

(1)换乘次数：出行者完成一次从出发点到终点出行过程中所换车的次数。

(2)出行经历的总站数：由起点到终点所经历的站点总数。

(3)出行耗时：出行者在一次乘公交出行过程中所用的总时间。

(4)出行费用：出行者在完成一次由起点到达目的地过程中所花的车费。

(5)存在的步行时间：出行者由起点到终点所有步行时间的总和。

从实际生活可知，上述几个因素是相互关联，相互影响的，因此影响乘客出行的因素可以通过对比后进行简化。比如“换乘次数”与“出行费用”和“存在的步行时间”都具有一定的正相关性，一般说来，当乘客的换乘次数越多，出行费用将更高，通过换乘而步行的时间也就越多，这在单一的公汽票价上最容易体现与费用的相关性；“出行经历的总站数”与“出行耗时”也具有一定的正相关性，尤其是不需要经过换乘就能到达的目的地。而“换乘次数”与“出行经历的总站数”在一般情况下，将不会存在绝对的相关性。因此，可认为“换乘次数”和“出行耗时”是影响出行者的两个独立的因素，经研究表明多数的公交乘客希望换乘次数最少，况且公交公司对公交线路的设计也是尽量减少乘客的平均换乘次数[2]；而且公交乘客出行时还受到行李、地理位置等客观因素的影响，这样更不希望有较多的换乘。其次对于看奥运非常心切的出行者来讲，出行耗时对他们也许是比较关键的。在此当给出供乘客选择的公交路线也应当尽可能的满足公交乘客的需求，那么什么样的出行路线又是出行者最需要的呢？这除了对个别的公交乘客进行心理分析得到不同的需求结果之外，还应当使得众多的公交乘客在选择上得到满意，为权衡这两方面的独立因素，有必要对看奥运的公交乘客进行心理调查，介于竞赛期间的时间关系本文对出行看奥运的出行者的心理调查就不作单独的深入研究，现参考在南京市做的一个公交乘客出行心里调查统计结果[1]，该调查主要对3个因素做了统计：换成次数，出行距离，出行耗时。其记录结果如下图（图3-2）所示：

图3-2 公交乘客出行心理分析图

从图中统计的心理分析结果可以看出，有%

.

41的出行者在选择出行路径时，首

16

先考虑的是换乘次数最少，其次考虑的是时间最短。在实际生活中，出行者往往受到行李、地理位置、天气等诸多因素的影响，选择最少换乘次数的公交路线往往能最大限度地解决某些因出行带来的麻烦，并且从一条线路换乘到另一条线路是费时又费力的，这也是大多数公交乘客希望换乘最少而与实际生活调查相吻合的主要原因。因此公交乘客在选择最优路线时应当是以换乘次数最少为第一目标。

另外，对于一个以出行看奥运为目的的出行者来说，达到目的地的出行总费用远不足以作为主要因素。并且出行费用受换乘次数的影响较显著，当不考虑地铁、较多站数的分段计价线路的公汽是不会有多大影响的，因此这不比作为主要目标加以考虑。

综上所述，可以以换乘次数最少为第一目标，以选择乘车所用时间最少为第二目标建立相应的线路选择的优化模型。但对这些目标函数和约束条件的具体考证和检验还需要进一步挖掘附件中的相关信息。

3.2分析附件中的主要相关信息

3.2.1直观统计结果

作为需要乘坐公交工具去看奥运的行者来说，了解乘车路线的相关信息同样是最重要的；由EXCEL软件统计【附件1.1】和【附件1.2】中的公交线路系统数据，得到如下信息：

（1）该公交系统共有公汽线路520条。

其中票价信息为分段计价的线路283条，单一票制1元的线路237条；

上下行路径不同的线路409条，上下行路径相同的线路89条，环行线路22条。

（2） 该公交系统共有公汽站点3957个。

（3） 该公交系统共有地铁线路2条。

其中直行线路1条，环行线路1条；

（4） 该公交系统共有地铁站点39个。

3.2.2信息处理

对于上述统计的直观信息，结合本文1.2节基本参数设定中的票价信息，结合上述第（1）条统计结果中的分段计价线路进行综合考虑，可得：

在分段计价路线中，共有27条的公汽站点数不超过20，有148条的公汽站点数在21~40之间，公汽站点数超过40的线路有108条。因此，从单独的计算角度来考虑，可以将分段计价中站数不超过20的线路归为单一票制1元的线路，因此上述信息（1）可修正为：票价信息为单一票制1元的线路264条；在分段计价的路线中，共有256条，其中有148条的公汽站点数在21~40之间，公汽站点数超过40的线路有108条。

从上述处理结果可以看到，在公汽的运行系统中“出行费用”的增长将胜过换乘次数的增长，其原因是出行者在乘坐分段计价的公汽线路时，将可能被多耗费用，所以将费用计算出来共乘客参考也是有必要的。为给出行者提供乘车路程，考虑到22条环行路线中，存在一定数量的单一票价制线路，因此还需要计算出所经历的相应站点总数。同样，当条件对步行时间给予强调时，步行时间应是为不便于步行的公交乘客所参考的。

为进一步简化问题，同时也便于统一变量所表示的含义。不妨对附件中的相关信息进行如下符号约定：

公汽站点 ik v : S v ik ∈；ik v 表示出行者选择第i 条公交线路所经过的第k 个站点。

公汽站点集 S :

{}395700020001,,,S S S S = 公汽线路 ik P : L P ik ∈；ik P 表示出行者选择第i 条公交线路所乘坐的第k 辆公交工具。 公汽线路集 L :

{}520002001,,,L L L L = 地铁站点 ik v : D v ik ∈；ik v 表示出行者选择第i 条公交线路所经过的第k 个站点。

地铁站点集 D :

{}390201,,,D D D D = 地铁线路 ik P : T P ik ∈；ik P 表示出行者选择第i 条公交线路所乘坐的第k 辆公交工具。 地铁线路集 T : {}21,T T T =

从上述信息可知，分析公交乘客的心理而得到出行者对路线选择目标的重要性是至关重要的，但还不能完全解决此类问题。可见要直接建立一个全面的，能快速选择任意两站点之间最优乘车路线的模型是比较困难的。同时就是能得到具体的出行线路，也还必须依赖于具体的公交行车路线和大范围的公交站点。根据解决问题的时应当采取化繁为简，先易后难的原则，本文在此不妨对所研究的问题进行重难点分析以得到相应的建模思路。

3.3重点、难点分析与建模思路

首先，对公交系统中乘客给出的任意一对起始站→终到站，如何确定其最优乘车方案是本文讨论的中心。所谓乘车方案即可看着是一个站点、线路的交替序列[1]，该序列说明从起点出发乘坐何种路线，途中如何换乘，直至到达终到站。因此，从前文的分析可以看出，建立站点、线路的交替序列[1]模型是分析公交线路选择问题的关键和出发点，也是本文所有问题讨论的基础。

其次，在站点上放置一个便于乘客查询到达目的地的理想乘车方案的计算机系统，必须让计算机收集到本站到其他任意一站的路径与换乘信息，因此单独设计这样的算法是相当困难的，而且算法的精度要求也比较高。对本文附件中的公交系统中所列的3957个公汽站点和39个地铁站点来说，直接要得到所有任意两站点之间的最优公交路径的计算量是相当大的。当面对这样一个密集的交通网络来说，对路线的选择主要是将面临一个P 类问题[4]，根据P 类问题的处理特点，可以用某种主次改进的方法来求解。由于每次改进中的计算量都是多项式界的，改进的次数也是多项式界的。目前已找到具有这种特性的算法，如椭球算法，卡马卡算法，但都相当复杂。因此要满足出行者的路线需求，则有必要对目标进行归类筛选，以降低不必要的选择、计算与搜索。不妨采用改进的广度优先搜索算法，基于改进次数为多项式界的算法理论，本文选择从某次乘公交的起点和终点的两端进行同时搜索，在满足换乘次数最少的条件下寻找不同线路中的共同站点或不同站点之间的相同线路，并计算其总路线的中的乘车时间和站点数。

3.4预备知识

据问题提出的相关信息可知，本文所要解决的根本问题是设计一个公交线路选择的自助查询的计算机系统，并从实际情况出发考虑，以满足查询者的各种不同需求。设计该系统的核心是线路选择的模型与算法。由附件中的统计信息可以知道，任意一个公交站点都不是孤立的，即连接任意两公交站点之间的公交路径都是存在的。当然这样的路径可能只有一条，也可能有多条，不妨记出行者所选择出行的起始站为0v ，终到站为d v ，从0v 到d v 的所有路径的集合也不妨记为TR ，其中第i 条路径为i TR 。进一步分析和考虑

出行者乘公交的具体情况，一个出行者的出行可简单描述为如下路径（图3-1）：

图3-1 出行者选乘公交路径规律分析示意图

注：图中i N 表示某出行者的换乘次数

从图中内容也可以反应，出行者出行乘公交的路径可看着是站点、车次、站点、车次的交替进行，直至到达终到站。为区别前后的车次或站点，使得前后排列的站点与车次都有一定的顺序，不妨设出行者选择第i 条路径i TR 时，所乘坐的第k 节公交工具为ik p ，第k 个换乘站点（中转站）记为ik v ，由于出行者不能在同一站点上出现两次，即ik v 各不相同，特别地令00v v i =，d N i v v i =+1；于是可以得到从0v 到d v 的所有路径集TR 中的第i 条路径为i TR ：

>=

因此将所有路径i TR 集在一起，可得：

{}>=<=d i i i i i i v v p v p v TR TR TR ,,,,,,|22110

由此而来，对任何一个出行者来说，只要知道他的出行起始站0v 和终到站d v 之后，便可以在路径集TR 中找到他最需要的出行路线，据此可以得到站点—线路交替序列的一般模型。

3.4.1站点—线路交替序列模型

通过前文的逐步分析，设出行者仅通过公汽及换乘从起始点0v 到达终到点d v ，出行者选择第i 条线路上的第k 次乘车的公交线为ik p ，经过的第k 个站点为ik v ，则该条选择

结束 选择路线

乘第3节公交 i

线路上的站点—线路交替序列i TR 为：

>=

其中站点—线路交替序列i TR 表示从起始点0v 选择线路11i i v p 到达，换乘2i p 到达2i v ，……，最终到达d v 的第i 种路径。

不妨将所有的站点—线路交替序列i TR 集在一起，可得到相应的从起始站0v 到达终到站d v 的公交线路选择集TR ，即：

{}>=<=d i i i i i i v v p v p v TR TR TR ,,,,,,|22110

可见本模型对路线的选择范围确定了界限，这样也明确了寻求最优线路的讨论范围，即搜索的路径（公交线路ik p ）和节点（公交站点ik v ）都是相互关联的。

3.4.2多目标优化函数的提出

通过前文对公交乘客的心理分析，已经得到设计出以换乘次数最少为第一目标，以出行时间最短为第二目标所建立的数学模型是比较合理的，因此这需要提出一个针对该种情况下的多目标函数。

设出行者选择第i 条路线时的换乘次数为i N ；出行者选择第i 条路线时所消耗的总时间为i t ；则在有序约束集TR 中，选择在满足换乘次数最少的情况下的出行时间最短的目标函数为：

),(min i i TR t N U i

在这里，),(i i t N U 是指一个目标优先的二元目标函数集，

即首先满足i N 达到目标后，再使得i t 达到目标的最优方案集。

相应地，i TR 表示出行者选择第i 条路线时的有序路径集

当然对所得的目标函数还必须赋予一定的函数性质，否则该目标函数将不会有任何实际意义。根据以上分析，可知),(i i t N U 应当满足：

i i i i t U N U t U N U ??>>??>??>??,0,0

同理，可将上述原理作一般性推广，如当需要建立以换乘次数最少为第一目标，出

行所消耗的时间为第二目标，所支付的公交费用为第三目标时的目标函数，可表示为：

),,(min i i i TR Q t N U i 其中，i i i i

i i Q U t U N U Q U t U N U ??>>??>>??>??>??>??,0,0,0 i Q 表示出行者选择第i 条公交线路从起始站到达终到站所应当支付的所有费用。 注：在本文中，后面所用到的上述目标优化函数，不作特别说明，都默认为分别具有相应的函数性质。

3.5针对问题一的分析与建模

在问题一中，要求仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型。根据前文对公交乘客的出行心理分析，以选择换乘次数最少为第一目标，以选择乘车所用时间最少为第二目标可得到相应的目标函数，而具体的约束条件则需要另外求得。对于换乘次数，联系被选择线路上的站点—线路交替序列i TR 的元素个数可以表示出来；站点总数则采用给同一线路上的站点排序的方法也可以求到，由于只考虑了公汽之间的换乘，则出行时间只与换乘次数和所历站数有关；对于出行费用则在换乘次数的基础上，引入分段计价的加价函数也可求得。

3.5.1模型1：公汽路线选择的通用模型

在问题的分析中，我们已经初步地得到了寻求线路最优的双目标函数选择的优化模型，现归纳如下：

目标函数：

若以换乘次数最少为第一目标，以选择乘车所用时间最少为第二目标可得总体的目

标函数，),(min i i TR t N U i

约束条件：

（1）当选择总目标),(i i t N U 取最小时，而换乘次数和乘车所用时间也都同样在要求最少，因此U 与i N 是正相关的；即，,0>??i

N U （2）同样U 与i t 也是正相关的，即：

,0>??i t U （3）由于在优先选择权上，按相应条件，在目标函数),(i i t N U 中，i N 应优于i t ，

即：i

i t U N U ??>>??； 很明显，上述优化函数满足多目标优化的条件，因此可转化为多目标求解。单由上述模型提供的总目标选择，还不能全面地选择出相应的全程公交线路；因此，需要进一步对目标函数中的相关子目标进行细化和计算。同时考虑该最优目标下的约束条件应是强约束的，而出行者所乘坐公交时的换乘次数与出行者乘公交所用时间不存在明显的相关性，因此这需要将两方面进行独立考虑，根据前文的分析与叙述已经知道，需要在满足i N 取最小值时，再进行其它变量的确定与计算，才能选择到相应的目标。即需要在可行域{}>=<=d i i i i i i v v p v p v TR TR TR ,,,,,,|22110 中进行优先性的条件搜索。

（1）换乘次数

不妨设i R 表示有序集>=

i TR Card R =， 于是换乘次数的计算公式可简单归纳为：

121--=i i R N

（2）所通过的总站数

设非环行线路ik p 上的两个站点1-k i v 和k i v 在沿着公交工具行进方向上的站数按照正整数从小到大的排序分别为),(1-k i ik v p k 和),(k i ik v p k ，其中仍然记00v v i =；d N i v v i =+1，于是由附件中的相关统计结果可知：

86),(),(11≤≤≤-k i ik k i ik v p k v p k

当线路ik p 为环行线路时，设该环行路线上的总站数为ik K ，1i v 为ik p 上的任意一站，0i v ，2i v 分别为公交工具在沿着ik p 行进方向上的最后一站和前一站，于是可标记

ik i ik K v p k =),(0；1),(1=i ik v p k ；2),(2=i ik v p k ；…；j v p k ij ik =),(；…

所以出行者乘坐ik p 线路的公交所经过的站点数目为：

?????+--=---.),(),(),(),(),(111为环行线路为非环行线路；ik ik k i ik k i ik ik k i ik k i ik ik k i ik p K v p k v p k p v p k v p k v v p

所以，出行者途经的总站数为共条行车路线上车站数的总和，即

∑+=-=1

11),(i N k k i k i ik i v v p S

（3）出行者所用时间

由于在只有公汽交通的线路中，仅存在公汽线路之间的换乘消耗时间和在公汽上的运行时间，于是由问题中的参数设定可以得到：

相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟；

公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟)；

不妨设出行者选择第i 条线路从起始站0v 到达终到站d v 所耗的平均总时间为i t ，换乘一次所耗的平均时间为o t =5分钟，相邻两站点之间乘车的平均时间为*

o t =3分钟。则有 )1(*

00-+=i i i S t N t t

（4）乘车总费用

由问题中的参数设定容易知道，乘车的总体花费会受到出行者换乘次数，乘坐分段计价车时通过的站数的影响，在附件统计信息已经得到，公汽线路上的单一制票价为1元，分段计价的票价标准为出行者通过本线路0~20个站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元。

不妨令公汽的单一票价为0i Q ，出行者在所选择的出行线路中所应支付的车旅费为

i Q ，所乘同一公交线路上的最高收费为1i Q ，分段计价时加价的最少站数为0L ，于是有： ∑=-??????????-???????++?=i N k i k i k i ik ik i i i Q L v v p p L N Q Q 1101*01),(min )()1(， 其中??A 表示取不超过A 的最大整数，参数：10=i Q （元），31=i Q （元），200=L .

???=.10)(*

为分段记价线路线路为单一票制线路；线路ik ik ik p p p L 综上所述，根据不同目标因素的优先性可建立不同的线路选择方案模型；当然针对不同的出行者的选择要求，将会有更多的选择方案的模型，但是无论优选目标顺序如何变化，它们的基本约束条件都是相同的，不妨记问题一中的约束条件集为1R ，则有：

（1）以换乘次数最少为第一目标，乘车所用时间最少为第二目标所建立的模型为：

),(min i i TR t N U i

???∈∈.;..11R t R N t s i i

（2）以换乘次数最少为第一目标，乘车总费用最少为第二目标所建立的模型为：

),(min i i TR Q N U i

???∈∈.;..11R Q R N t s i i

其中，基本约束条件集1R 为：

{}??????????????????????????=??????????-???????+?=-?+==?????+--=--==>=<==∑∑

=-+=----.10)(1),(min )()1().(.),(),(),(),()(;121;;,,,,,,|..*1101*0*0011,111,1221101为分段计价线路；线路为单一票制线路；线路，为环行线路为非环行线路；ik ik ik N k i ik k i ik ik i i i i i i N k ik k i ik i ik ik k i ik ik ik ik k i ik ik ik ik k i ik i i i i i d i i i i i i p p p L Q L v v p p L N Q Q S t N t t v v p S p K v p k v p k p v p k v p k v v p R N TR Card R v v p v p v TR TR TR t s R i i

为了使出行者在乘坐公交的过程中，达到最少换乘次数i TR N i

min ，而i N 只与出行者在某一公交体系中的初始站、终到站、公交线路、公交站点有关。因此可以考虑以换乘次数从小到大的排除选优搜索法进行求解计算。

3.5针对问题二的分析与建模

考虑地铁与公汽并行时的公交系统时，出行者的选择将变得更加灵活，其主要变化的因素有：

（1）地铁票价稍高但是固定且在地铁航线之间换乘而不需另外支付交通费用，相邻站点之间的距离较公汽站点大，而运行时间却相对减少。

（2）地铁与公汽之间进行换乘时，由于地铁站点不可能与公汽站点都建在同一个

地方，因此从地铁站到公汽站的步行时间相对较多，而且位于与地铁换乘的公汽站点还可以通过本地铁站进行免费耗时换乘到下一个公汽站。

综上所述，不妨将跨公交站的步行也同样看着是一条步行公交线路，不过该条公交线路具有免费耗时的特点。同问题一中的解决方案可建立相应的数学模型。

3.5.1地铁—公汽型公交线路选择模型

当并入地铁公汽的交通网络时，增加地铁站与其周围的公汽站之间的步行线连接转换后，本问题可转化为问题一中的模型求解，同样有出行者通过公汽换乘、地铁换乘、公汽与地铁之间的换乘后从起始站0v 到达终到站d v 的可行路径集为：

{}>=<=d i i i i i i v v p v p v TR TR TR ,,,,,,|22110

其中ik p 的属性将被扩大，它将表示公汽、地铁、步行这三类交通路线中的某一类交通路线；而ik v 的含义与问题一中ik v 的含义相同，仍表示公交站点或地铁站点。

（1）换乘次数与途经总站数

同样设路径i TR 的换乘次数为,i N 途经总站数为i S ，同问题一对i N ，i S 仍然有：

.i i i TR Card R =

121--=i i R N

∑+=-=1

11),(i N k k i k i ik i v v p S

（2）出行者乘公交所用时间

在地铁——公汽的公交系统中，出行者将会表现在公汽运行耗时，地铁运行耗时，地铁换乘公汽耗时，公汽换乘地铁耗时，公汽换乘公汽耗时，地铁换乘地铁耗时，公汽通过指定地地铁换乘公汽耗时。为简化变量，考虑出行者的异站步行也纳入到公交线的行列中，则所消耗的时间可归结为：交通工具运行耗时，交通线路换乘耗时两类。

根据基本参数设定的类型，不妨设出行者从起始站0v 到达终到站d v 所用的总时间为i t ，从公交站点1-k i v 乘k i p 线路公交工具到达公交站点k i v 所消耗的时间（包括相邻两站点间的停站时间）为：),(1ik k i v v t -，由k i p 线路的公交工具换乘到1+k i p 线路的公交工具

所消耗的时间为：),(1+k i k i p p t ，由基本参数设定的信息可得：

∑∑+==+--+?=111111)

,(),(),(i i N k N k k i k i ik k i ik k i ik i p p t v v t v v p t

其中

????

?????∈∈∈∈∈∈∈∈=-----.0;6

;7;5.2;3),(11111其它；；；

；D v S v S v D v D v D v S v S v v v t ik k i ik k i ik k i ik k i ik k i

?????∈∈∈∈=---.0

;5

;4),(111其它；；L p L p T p T p p p t ik k i ik k i ik k i

（3）乘车总费用 在问题二的讨论中，乘车的总体花费会受到出行者换乘次数，乘坐分段计价车时通过的站数的影响，而在本问题中，有假设知道同一地铁站对应的任意两个公汽站可以通过地铁站换乘而不需要支付地铁费，同样根据问题一中，对乘公交所支付费用的讨论思想，仍然令乘坐公汽的单一票价为0i Q ，出行者在所选择的出行线路中所应支付的车旅费为i Q ，所乘同一公交线路上的最高收费（含地铁收费）为1i Q ，分段计价时加价的最少站数为0L ，于是有：

∑∑=-=+??????????-???????+?=i

i N k i k i k i ik ik N k ik ik i i Q L v v p p L p p N Q Q 1101*1101),(min )(,，）（ 其中??A 表示取不超过A 的最大整数；参数：10=i Q （元），31=i Q （元），200=L .

???=.10)(*为分段记价的公交线路线路线路；为单一票制线路或地铁线路ik ik ik p p p L

?????∈?∈∈=+++其它0,3,1),(111T

p T p L p L p p p N ik ik i ik ik ik

数学建模比赛论文格式要求

比赛论文格式要求： 1、论文用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 2、论文第一页为泉州师范学院大学生数学建模竞赛承诺书，具体内容和格式见附件1，参赛队必须在竞赛承诺书上签名。 3、论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 4、论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 5、论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 6、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。图形应绘制在文中相应的位置，比例适当。 7、提醒大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（最好在300字以内，注意篇幅不能超过一页）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 8、引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出：（1）参考书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地，出版社，出版年。 （2）参考期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号，起止页码，出版年。 （3）参考网上查到的资料的表达方式： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 比赛流程： 参赛队伍利用2013.5.11到2013.5.13三天的时间利用所学的知识解决实际问题，由老师根据参赛队伍提交的论文，根据评奖标准评选出一等奖、二等奖、三等奖，评出的优秀队伍将送去参加全国性的比赛。注意：比赛规则与赛场纪律： 1、每个参赛队队员不得超过三名，参赛队队员应是具有泉州师范学院正式学籍的本、专科生，参赛队允许参赛队员跨年级跨专业跨学院组成，三人之间分工明确、协作完成。比赛期间参赛队不得任意换人，若有参赛队队员因特殊原因退出，则缺人比赛。 2、教师可以从事赛前辅导及有关组织工作，但在比赛期间不得以任何形式对参赛队员进行指导或参与讨论。 3、比赛以相对集中的形式进行，比赛期间，参赛队队员可以利

数学建模论文格式要求

高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文格式规范（选拔赛） 请严格按照如下规则编排论文 ●甲组参赛队从A、B题中任选一题，乙组参赛队从C、D题中任选一题。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第三页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开 始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采 用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文 评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第 一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。 [注] 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。 全国大学生数学建模竞赛组委会 2007年9月16日修订

数学建模论文格式官方要求

二、论文格式规范 (一)“论文首页”编写 竞赛论文首页为“编号页”，只包含队号、队员姓名、学校名信息，第二页起为摘要页和正文页。参赛队有关信息不得出现于首页以外的任何一页，包括摘要页，否则视为违规。 (二)“论文摘要页”编写 竞赛使用“统一摘要面”。为了保证评审质量，提请参赛研究生注意摘要一定要将论文创新点、主要想法、做法、结果、分析结论表达清楚，如果一页纸不够，摘要可以写成两页。

(三)“论文文本”要求————“全国研究生数学建模竞赛论文 格式规范” ●每个参赛队可以从A、B、C、D、E题中任选一题完成论文。（赛题类型以 比赛下载为准） ●论文用白色A4版面；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。 ●论文题目和摘要写在论文封面上，封面页的下一页开始论文正文。 ●论文从编号页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1 ”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。程序执行文件，和源程序一起附在电子版论文中以备检查。 ●请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），请认真 书写（注意篇幅一般不超过两页，且无需译成英文）。全国评阅时对摘要和论文都会审阅。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 全国研究生数学建模竞赛评审委员会 2011年9月20日修订

论数学建模文字体格式

数学建模论文格式要求 ●题名。字体为常规，黑体，二号。题名一般不超过 20 个汉字，必要时可加副标题。 ●摘要。文稿必须有不超过300字的内容摘要，摘要内容字体为常规，仿宋，五号。摘要前加“[摘要]”作标识，字体为加粗，黑体，五号。用了什么方法，解决了什么问题，得到了那些主要结论.可以有公式，不能有图表 ●正文。用五号宋体，1.5倍间距。文稿以 10000 字以下为宜。 ●文内标题。题末不用标点符号（问号、叹号、省略号除外）。层次不宜超过5级。第1级标题字体为常规，楷体，小四；第2级标题字体为加粗，宋体，五号；次级递减。层次序号可采用一．（一）．1．（1）．1），不宜用①，以与注释号区别。文内内容字体为常规，宋体，五号。 ●数字使用。4位以上数字采用3位分节法。5位以上数字尾数零多的，可以“万”、“亿”作单位。 ●附表与插图。附表应有表序、表题、一般采用三线表；插图应有图序和图题。序号用阿拉伯数字标注。常规，楷体，五号。图序和图题的字体为加粗，宋体，五号。 ●参考文献。参考文献放在文末。“[参考文献]”字体为加粗，黑体，五号；其内容的汉字字体为常规，仿宋，小五。引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出， 其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为：

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范.doc

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以

第六届MathorCup大学生数学建模挑战赛论文格式规范

第六届MathorCup大学生数学建模挑战赛 论文格式及提交规范 ●参赛队从A、B题中任选一题。（评奖时，一、二、三等奖的总名额按每道题参赛 队数的比例分配。） ●参赛队通过竞赛报名系统提交电子版论文（参见《第六届MathorCup大学生数学建 模挑战赛报名和参赛须知》，以下简称“报名和参赛须知”）。参赛队统一提交压缩包，压缩包的名称为“***#.zip”或者“***#.rar”，其中“***”为参赛队号，“#” 为题号。比如“0001B.zip”或者“0001B.rar”。 ●压缩包内必须包含承诺书（见《第六届MathorCup大学生数学建模挑战赛承诺书》）、 论文的PDF文件。承诺书的名称为“***承诺书.pdf”，论文名称为“***.pdf”其中“***”为参赛队号。比如0001参赛队提交的压缩包名称为“0001B.zip”或者“0001B.rar”，压缩包内含有两个PDF文件，一个为“0001承诺书.pdf”，另一个为“0001.pdf”。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第一页上（无需译成英文），并从此页开始编写 页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。 ●论文第二页为目录页，所有参赛队论文必须包含目录（但篇幅不能超过一页）。 ●从第三页开始是论文正文。论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校 等的信息。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在30页以内，附录页数不限）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在论文附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机源程 序（若有的话）。同时，参赛队的所有源程序文件必须保存至正式获奖名单公布。 ●本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求， 但要保持页面美观。 ●不符合本格式规范的论文将被视为违反竞赛规则，无条件取消评奖资格。 ●本规范的解释权属于MathorCup大学生数学建模挑战赛组委会。 MathorCup大学生数学建模挑战赛组委会 2016年4月3日修订

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国 评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开 始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四 号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文 评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第 一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。

华中地区数学建模邀请赛——论文格式规范

第五届华中地区大学生数学建模邀请赛 论文格式规范1 ●参赛队从A、B题中任选一题。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的页边距。 ●论文第一页为承诺书，论文题目和摘要写在论文第二页上，论文1—2页按组委会 统一要求编排，具体内容见下文。从第三页开始是论文正文。论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意，论文一律要求从左面装订。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小 四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅 不能超过一页）。阅卷组评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中： 书籍的表述方式为 [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为 [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为 [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 1本规范部分参考《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》，其解释权属于第五届华中地区大学生数学建模邀请赛竞赛组委会。

数学建模中常见的十大模型

数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。

华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范

华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范 ●参赛队从A、B题中任选一题，在组委会公布的比赛时间内完成一篇论 文。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的 页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第三页。 ●论文第二页为编号专用页，用于评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第四页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文（从论文题目和摘要那一页开始，直到附录结束）每一页的顶部都 需要有参赛队的参赛报名号以及页码。我们建议在每页上使用页眉，例如： 参赛报名号 # 321 第 1 页 共 20 页 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他 汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅 中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，不应该包含图表，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规 定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●必须以附录的形式提供论文中所用到的程序的全部源代码。计算结果和 相关的图表如果篇幅过长，也可以放入附录。 ●参赛队按组委会的规定提交的论文电子版，必须与打印版一致。承诺书 和编号专用页为第一个Word文件，以“承诺书”加参赛报名号为文件名，例如： 承诺书

数学建模最优路径设计

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名 参赛队员(打印并签名) ：1 2 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2015年7 月27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

数学建模竞赛论文格式规范和规则

东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则 参赛队从A、B题中任选一题。 １.论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。２.论文的第一页为封面页（本文档最后一页），根据中心安排的参赛编号填写参赛编号和选择题目，保留你选择的题目前的√号即可。 ３.论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ４.论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ５.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ６.论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ７.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ８.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。解答过程中使用的数据不得引用文献类型（１）（２）（３）（４）中出现的数据，引用数据必须表明出处。 各类文献的表述格式如下（其它类型文献不得引用）： （1）专著格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 书名[M]. 出版地：出版社，年代：页码. （2）期刊论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[J]. 期刊名称，年度，卷（期）：起止页码. （3）会议论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[C]//会议名称，会议举办地，年度，起止页码. （4）学位论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 学位论文名称[D]. 发表地：学位授予单位，年度：页码. （5）电子文献格式： 序号. 作者. 电子文献题名(电子文献及载体类型标识). 电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期。只考虑两种电子文献： ［DB/OL］—联机网上数据库(database online) ［EB/OL］—网上电子公告(electronic bulletin board online) 样例： [1]Peitgen H O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992:202-213. [2]Zhao Shi, Wang Yi-ding, Wang Yun-hong. Extracting hand vein patterns from low-quality images: a new biometric technique using low-cost devices[C]// Fourth International Conference on Image and Graphics. Sichuan, 2007:667-671.

数学建模面试最优化问题

C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)

（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行)。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间 甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2.xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)

数学建模论文格式及要求

数学建模论文的撰写 数学建模论文是注重实际应用的一类研究性论文, 是通过建立反映社会生产和生活中具有重要意义的现象的数学规律的模型, 并运用数学原理及计算机工具加以解决, 其结论或方法必须具有一定的独创性。 撰写数学建模论文和通常完成数学建模竞赛的答卷是类似的, 都是在完成了一个数学建模问题的全部过程后, 把所作的工作进行小结, 以有清楚定义的格式写出解法论文,用于交流或给有关部门、人员汇报。 事实上, 数学建模竞赛其中就包含了参赛人员写作能力的比试, 评比的主要标准除假设的合理性、建模的创造性、模型的数据和结论的可信性外, 还有一点就是文字表述的清晰程度。因此,下面简单谈谈建模论文的写作。 竞赛数学建模的论文评选标准主要是:

( 1) 假设的合理性; ( 2) 建模的创造性; ( 3) 结果的合理性; ( 4) 表述的清晰程度。 数学建模论文的结构： 一份完整的答卷应包含以下内容: 论文题目； 摘要； 问题的重述； 模型的假设、符号约定和名词解释； 模型的建立、模型的求解、模型的结果和检验； 模型的评价和改进； 参考文献； 附录。 论文题目 要能反映出该论文的实质, 简单明了、字数不宜过多。

摘要 一般为200～400 字； 其内容主要包括建模思想、模型特点、求解方法、主要结果等,其既要概括全文, 又要反映出本队的特点； 竞赛数学建模的论文摘要极为重要, 它是评委们首先看到的, 如果摘要写不好, 即使下面的内容写的再好也可能被提前淘汰。 摘要应具有独立性和自含性, 即只阅读摘要, 不阅读论文全文,就能获得必要的信息。摘要中要有数据、有结论, 是一篇完整的短文, 可以独立使用, 可以引用, 可以用于工艺推广。摘要的内容应包含与论文同等量的主要信息, 可供读者确定有无必要阅读全文, 也可供文摘等二次文献选用。摘要一般应说明研究工作的目的、实验方法, 结果和最终结论等, 重点是结果和结论。”对于大学生数学建模竞赛来讲, 由于是对同一个问题给出的解答, 为了使评阅人较快弄清作者的思路, 我们认为摘要还是尽可能详细一些为好。特别是应写清条件、结论、基本过程、关键步骤、要领、所采用的方法以及有

第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式规范

第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式及提交规范 ●参赛队从A、B、C、D题中任选一题。（A题和B题为传统的数学建模竞赛题，C 题和D题为信息交叉学科的题目；评奖时，一、二、三等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配。） ●参赛队通过竞赛报名系统提交电子版论文（参见《第五届MathorCup全球大学生数 学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》，以下简称“报名和参赛须知”）。参赛队统一提交压缩包，压缩包的名称为“***#.zip”或者“***#.rar”，其中“***”为参赛队号，“#”为题号。比如“0001B.zip”或者“0001B.rar”。 ●压缩包内必须包含承诺书（见《第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛承诺书》）、论文的PDF文件。承诺书的名称为“***承诺书.pdf”，论文名称为“***.pdf”其中“***”为参赛队号。比如0001参赛队提交的压缩包名称为“0001B.zip”或者“0001B.rar”，压缩包内含有两个PDF文件，一个为“0001承诺书.pdf”，另一个为“0001.pdf”。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第一页上（无需译成英文），并从此页开始编写 页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。 ●论文第二页为目录页，所有参赛队论文必须包含目录（但篇幅不能超过一页）。 ●从第三页开始是论文正文。论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校 等的信息。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在30页以内，附录页数不限）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在论文纸质版附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，参赛队的所有源程序文件必须保存至正式获奖名单公布。 ●本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求， 但要保持页面美观。 ●不符合本格式规范的论文将被视为违反竞赛规则，无条件取消评奖资格。 ●本规范的解释权属于MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会。 MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会 2015年3月3日修订

数学建模论文格式说明

摘 要 认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页，但要充分利用本页），勿庸置疑，摘要 在整个数模论文中占有及其重要的地位，它是评委对你所写论文的第一印象，因此在这一部分的写作上一定要花大功夫，千万不能马虎。摘要是论文是否取得好名次的决定性因素，评委们通过你的摘要就决定是否继续阅读你的论文。换句话说，就算你的论文其他方面写得再好，摘要不行，你的论文也不会得到重视。我认为在写摘要时应包括6个方面：对问题稍做描述（问题的研究有什么意义），用了什么方法，建立了什么样的模型（线性规化模形），针对所建立的模型用什么算法、软件解的，得到什么结论，模型、结论有什么特色。 简而言之，摘要应该体现你用什么方法，解决了什么问题，得出了什么结论。另外，好的摘要都包含了两个共同的特点：简要simple 和明确clear 。 学术论文要求：括地陈述论文研究的目的、方法、结果、结论，要求200～300字。应排除本学科领域已成为常识的内容；不要把应在引言中出现的内容写入摘要，不引用参考文献；不要对论文内容作诠释和评论。不得简单重复题名中已有的信息。不使用“我”、“我们”、“作者”等作为主语，应使用“本文”。使用规范化的名词术语，新术语或尚无合适的汉文术语的，可用原文或译出后加括号注明。除了无法变通之外，一般不用数学公式和化学结构式，不出现插图、表格。缩略语、略称、代号，除了相邻专业的读者也能清楚理解的以外，在首次出现时必须加括号说明。结构严谨，表达简明，语义确切。 摘要是论文的门面，摘要写的不好评委后面就不会去看了，自然只能给个成功参赛奖。摘要首先不要写废话，也不要照抄题目的一些话，直奔主题，要写明自己怎样分析问题，用什么方法解决问题，最重要的是结论是什么要说清楚，在中国的竞赛中结论如果正确一般得奖是必然的，如果不正确的话评委可能会继续往下看，也可能会扔在一边，但不写结论的话就一定不会得奖了，所以要认真写。摘要至少需要琢磨两个小时，不要轻视了它的重要性。很有必要多看看优秀论文的摘要是如何写的，并要作为赛前准备的内容之一。 关键词：关键词1；关键词2；关键词3用的方法中的重要术语） 其它汉字小四号宋字，行距用单倍行距（由于数学论文中通常有汉字和公式，建议行距用固定行距22磅。）

数学建模课程设计——优化问题

在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件

1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9