实变函数证明大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数
{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞
=于E 。
证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，
使得1
()n m E E n
-<
， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得
1
[||]()n n mE f g n m E E n
-≥≤-<，
因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞
=，..a e 于E
2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。
证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是
直线上的开集，设11
[](,)n n n E f c αβ∞
=>=
，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，
n
α可
能为
-∞
n
β可有为
+∞
）因此
22221
1
[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞
∞
==>=
<<=
><因为g 在2E 上可
测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。
证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，
0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是
开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞
=≥，
即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121
(0,),(0,),1,2,
,n n A A n n n
-==求出集列{}n A 的上限集和下限集
证明：lim (0,)n n A →∞
=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞
∈，
又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞
→∞
?∞=∞所以lim n n A φ→∞
=若有lim n n x A →∞
∈，则存在N ，使
任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，
211
,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞
=
（2）可数点集的外测度为零。 证明：证明：设{|1,2,
}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2
i i
I ε
=
所
以
1
i i I E ∞
=?，且1
||i i I ε∞
==∑，由ε的任意性得*0m E =
5、设}{
n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞
→∞
==
=
1
1
[lim lim ]n n
x x k E f f k ∞
→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞
及lim n x f →∞
都可测，所以lim lim n n x x f f →∞
→∞
-在E 上可测。
从而，对任一自然数k ，1
[lim lim ]n n x x E f f k
→∞
→∞
-<
可测。故 01
1
[lim lim ]n n
x x k E E f f k ∞
→∞→∞==
-<∏ 可测。既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。
6、设q
R E ?，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ? E ?n B 且m （n A -n B ）→0，
（n→∝）则E 可测.
证明：对于任意i ，i n n B B ?∞
=1
，所以 E B E B i n n -?∞
=-1
又因为 E A i ? ，i i i A B E B -?-
所以对于任意i ，)(**1
E B m E B m i n n -≤-∞
=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=
令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1
=-∞
=）（E B m n n 所以E B n n -∞
=1
是可测的又由于n B 可
测，有n n B ∞=1
也是可测的所以)(1
1E B B E n n n n --=∞
=∞= 是可测的。
7、设在E 上()()n f x f x ?，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2n =，则有()()n g x f x ?
设[]n n n E E f g =≠，则1
10n n n n m E mE ∞∞
==??≤= ???∑。
σ?>1n n n n E f g E E f f σσ∞=??
?-≥???-≥? ?????
??所以
1
n
n
n n
n m E f g m E
m
E f
σσσ∞
=???-≥?≤+?-
≥?=?-≥?
??
??
??
???
因为()()n f x f x ?，所以0lim lim 0n n n
n
mE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=????
即 ()()n g x f x ?
8、证明：()A B A B '''?=?。
证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从而
()A B A B '''???
反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有
(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=???为无限集，
从而(,)B x A δ?为无限集或(,)B x B δ?为无限集至少有一个成立，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''???。综上所述，()A B A B '''?=?。 9、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。 证明：由于11
[()()][]n E x f x g x E x f g n
∞
=≠=
-≥，而 111
[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k
-≥?-≥?-≥，
所以，
111
[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k
-≥≤-≥+-≥，
由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得
1lim []02n n mE x f f k
→∞
-≥
=，1
lim []02n n mE x f g k →∞-≥=。
所以，1
[]0mE x f g k
-≥
=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。 10、、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）。
证明：对任意0σ>，由于
()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，
所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，
1()()2n f x f x σ-≥和1
()()2
n g x g x σ-≥至少有一个成立。
从而
11
[[]][][]22
n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥，
所以，
11
[[]][][]22
n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。
又由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，
1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1
lim []02
n n mE x g g σ→∞-≥=。 所以，
lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞
±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）。
11、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）。
证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有
[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，
[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。
又由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞
-≥=。所以，
lim []0n n mE x f f σ→∞
-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）。
12、证明：1R 上的连续函数必为可测函数。
证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，
11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。所以，()f x 是1R 上的可测函
数。
13、证明：1R 上的单调函数必为可测函数。
证明：不妨设()f x 是1R 上的单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数的特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集。故()f x 是1R 上的可测函数。
14、设()()f x L E ∈，n E 是E 的可测子集，且mE <+∞，若l i m n n m E m E →∞
=，则
l i m ()d ()d n
E E
n f x x f x x →∞=??。
证明：因为n E 是E 的可测子集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从而由lim n n mE mE →∞
=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞
→∞
-=-=。又()()f x L E ∈，由积分的绝
对连续性，lim[
()d ()d ]lim ()d 0n
n
E
E E E n n f x x f x x f x x -→∞→∞-==?
??
。
15、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ?都有
()()d 0E
f x x x ?=?
，
则()0f x =..a e 于E 。
证明：由题设，取1,[()0]
()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ??∈>?
=∈=??-∈
，显然()x ?为E 上的有界可测函数，
从而()d ()()d 0E
E
f x x f x x x ?==?
?。所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E 。
16、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞
=；（2）lim 0n n n me →∞
?=。
证明：由()d ()d n
n e E
n me f x x f x x ?≤
≤?
?得，（1）lim 0n n me →∞
=。（2）由（1），注意到
()()f x L E ∈，由积分的绝对连续性得，lim ()d 0n
e n
f x x →∞
=?，从而注意到
0()d n
n e n me f x x ≤?≤?，
所以，lim 0n n n me →∞
?=。
17、若()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且
()()()b
a
V f f b f a =-。
证明：不妨设()f x 是[,]a b 上的单调增函数，任取[,]a b 的一个分割
011:i i n T a x x x x x b -=<<
<<<<=
则
1101
1
()()[()()]()()n
n
i i i i n i i f x f x f x f x f x f x --==-=-=-∑
∑
()()()()f b f a f b f a =-=-，
所以，11
()sup
()()()()n
b
i i a
T
i V f f x f x f b f a -==-=-∑
。
18、若()f x 在[,]a b 上满足：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有
1212()()f x f x K x x -≤-，
则 （1）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且()()b
a V f K
b a ≤-；
（2）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数。
证明：（1）由题设，任取[,]a b 的一个分割
011:i i n T a x x x x x b -=<<
<<<<=
则
1111
1
1
()()()()n
n n
i i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑
∑∑，
所以，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且11
()sup
()()()n
b
i i a
T
i V f f x f x K b a -==-≤-∑
。
（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交的开区间(,)i i x y ，1,2,
,i n =。由于
1
1
1
()()n
n n
i i i i i i i i i f x f y K x y K x y ===-≤-=-∑
∑∑，
于是，对任意0ε>，取K
ε
δ=
，则当
1
n
i i
i x y
δ=-<∑时，有
1
1
()()n
n
i i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑
∑，
即()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数。
19、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。
证明：由()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不
相交的开区间(,)i i x y ，1,2,
,i n =，只要1
n i i i x y δ=-<∑时，有1
()()1n
i i i f x f y =-<∑。
现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<
<<<<=，使得每一等份的
长度小于δ。易得1()1i
i a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上的有界变差函数。又11
[,][,]n
i i i a b a a -==
，
所以，1
1
()()i
i n
a b
a
a i V f V f n -==
≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。
20、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则 （1）全变差函数()x
a V f 是[,]a
b 上的递增函数；
（2）()()x
a
V f f x -也是[,]a b 上的递增函数。
证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21
()0x x V f ≥，有
2121
1
()()()()x x x x a
a
x a
V f V f V f V f =+≥，
即()x
a
V f 是[,]a b 上的递增函数。
（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到2
1
1()()()x i i x V f f x f x -≥-，有
212
1
2121()()[()()]()[()()]x x x a
a
x V f f x V f f x V f f x f x ---=--
2
1
21()()()0x x V f f x f x ≥--≥，
即()()x
a
V f f x -是[,]a b 上的递增函数。
21、证明Jordan 分解定理：()f x 是[,]a b 上的有界变差函数?()f x 可表示成[,]a b 上的两个增函数之差。
证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。
事实上，()()[()()]x
x
a
a
f x V f V f f x =--，由上题()x
a
V f 和()()x
a
V f f x -都是[,]a b 上的
递增函数。
实变函数期末考试卷A卷完整版
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
实变函数证明题全套整合(期末深刻复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c αβ∞ =>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>= <<= ><因为g 在2E 上可 测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2, ,n n A A n n n -==求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）
试卷共8 页第 1 页
实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页
()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论：
(20080619)实变函数期末复习指导(文本)
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
实变函数第一章答案
习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成
聊城大学实变函数期末试题
《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ???
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
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《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。 2、若0=mE ，则E 一定是可数集. 3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则 ()0E f x >?
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数论习题选解
《实变函数论》习题选解 一、集合与基数 1.证明集合关系式： （1）)()()()(B D C A D C B A --?---Y ； （2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--； （3）C B A C B A Y )()(-?--； （4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？ 证 （1）∵c B A B A I =-，c c c B A B A Y I =)(（对偶律）， )()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律） ， ∴)()( )()()()(D C B A D C B A D C B A c c c c c Y I I I I I ==---第二个用 对偶律 )()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=?=Y I Y I I I Y I I 交对并 分配律 . （2）)()() ()()()(c c c c D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律 结合律 )()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -== 第二个用对偶律 . （3）)()() ()()(C A B A C B A C B A C B A c c c c I Y I Y I I I = ==--分配律 C B A C B A c Y Y I )()(-=?. （4）A C C B A C B A ??--=-)()(Y . 证 必要性（左推右，用反证法）： 若A C ?，则C x ∈? 但A x ?，从而D ?，)(D A x -?，于是)(C B A x --?； 但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上， ∵A C ?，∴C C A =I ，如图所示： 故)()(C B A C B A --=-Y . 2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列 A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ 所成之集的势（基数）为c . 证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ， 即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
级实变函数期末试题B卷及答案
α α q α 2005 级 实 变 函数期末试题 B 卷 答案 一． 判断题（对的在括号内打√，错的打×）（每小题 3 分，共 18 分。） 1． 如果 R n 中可测集 E 的基数为 c ，则 mE > 0 。（ × ） 2．任意个开集的并集还是开集。（ √ ） 3． E ? R n ，则一定存在可测集G ，使 E ? G 并且 m * E = mG 。（ √ ） 4．狄利克雷函数 D ( x ) 在[0,1]上是几乎处处连续的。（ × ） 5． R n 上的非负函数总是积分确定的。（ × ） 6．每个可测函数都可以表示成一列简单函数的极限。（ √ ） 二．填空题（每题 3 分，共 15 分。） 1．如果 M = μ ，则 M 的幂集的基数是（ 2μ ）。 2．若集合 E 可以表示为可数个闭集的并集，则 E 称为（ F σ 型 ）集。 3．若 A , B 是 R n 中的可测集，且 A ∩ B = ? ，T 是 R n 中任一集合，则 m * (T ∩ A ) + m * (T ∩ B ) = （ m *T ）。 4．如果 mE < +∞ ，f ( x ) 在 E 上有界，则 f ( x ) 在 E 上可积的充分必要条件是（ f ( x ) 在 E 上可测 ）。 ? + ? n ? 5．设 A 1 1 ( 1) = ?1 + , 3 + ? , (n = 1, 2, ) ，则 lim A = （ (1, 3) ）。 n ? n 2 ? n n →∞ 三．（10 分）证明： E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I 证明：若 x ∈ E ? ∩ A α ，则 x ∈ E ，且存在α0 ∈ I ，使 x ∈/ α∈I 以 x ∈ ∪ (E ? A α ) 。 α∈I A ，故 x ∈ E ? A ，所 0 0 反之，若 x ∈ ∪ (E ? A α ) ，则存在α0 ∈ I ，使 x ∈ E ? A α0 ，从而 x ∈ E ，且 α∈I x ∈/ A 0 ，于是 x ∈ E 但 x ∈/ ∩ A α ，所以 x ∈ E ? ∩ A α 。 α∈I 综上可知 E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I α∈I 四．（第一小题 5 分，第二小题 8 分，共 13 分。） 设{E n } 是 R 中的可测集列，证明：
实变函数期末复习
实变函数期末复习 4.右｛代｝是一闭集列，贝U A n 是 n 1 A.开集 B. C.既非开集又非闭集 D. 5若f(x)可测，则它必是 A.连续函数 B. 单调函数 C 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 A. 简单函数一定是可测函数 () 闭集 无法判断 () 简单函数 D. 简单函数列的极限 () B. 简单函数列的极限是可测函数 C. 简单函数与可测函数是同一概念 D. 简单函数列的极限与 可测函数是同一概念 7设f(X )是可测集E 上的非负可测函数，则f(X ) () A.必可积 B. 必几乎处处有限 C. 必积分确定 D. 不一定积分确定 8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 () A.若｛ f n (x)｝在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数f (x)，则f n (x) —致收敛于f(x) B. 若｛ f n (x)｝在E 上基本上一致收敛于 f(x)，则f n (x) a.e 收敛于f(x) C. 若｛ f n (x)｝在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数 f (x)，则f n (x)基本上一致收敛于 f(x) D. 若｛ f n (x)｝在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数f (x)，贝V f n (x) f(x) 1?设A [丄 ,2 n (1)n ],n 1,2,...则 A. lim A n n [0,1] B. lim A (0,1] n c. lim A n n (0,3] D. 皿 A n (0,3) n 2.设 A j {x : i x i -},i N ，则 A , 2 i 1 A. (-1,1 ) B.[0,1] C. D.{0} 3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为 E 的 A.开集 B . . 边界 C. 导集 D. 选择题 闭包
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有 [()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()()()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立） 二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I （C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 3. 若()n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
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实变函数试题库及参考答案（3） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\B A B A I U A B U 2．设A 为无理数集，则A c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 3．设n E ?? ，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是 4．任意个闭集的交是 5．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x a f x b ??≤
A P 是可数集 B 0mP = C P 是不可数集 D P 是开集 4．下列集合关系成立的是（ ） A 若A B ?则c c B A ? B 若A B ?则c c A B ? C 若A B ?则A B B =I D 若A B ?则A B B =U 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ??=??? 为中有理数 为中无理数，则（ ） A ()D x 几乎处处等于1 B ()D x 几乎处处等于0 C () D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数 2．设n E ?? ，* 0m E =，则（ ） A E 是可测集 B E 的任何子集是可测集 C E 是可数集 D E 不一定是可数集 3．设n E ?? ，()10E c x E x x E χ∈?=? ∈? ，则（ ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集 C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数 D 当() E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集 4．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（ ） A ()f x 在(),a b 上有界 B ()f x 在(),a b 上可测 C ()f x 在(),a b 上L 可积 D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积 四、判断题
实变函数期末考试卷A卷[1]1(1)
实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。 6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。 7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。 三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x n nx R n ?+∞→103222 1sin 1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nx x n nx x f n 3222 1sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞ →x x f n n ； （3）因为 x nx nx x n nx nx x n nx 2121sin 12 1222132221=≤+≤+)(x F = 显然)(x F 在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理，有 0sin 1)(lim sin 1)(lim 103222 11032221=+=+??∞→∞→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n 2. 设?? ???=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算?]2,0[)(dx x f 。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。 于是 ? ??+=]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dx x f dx x f dx x f dx x dx x ??+=211026 112331=+= 四、证明题（每题8分，共40分）