不同余项型泰勒公式的证明与应用讲解

不同型余项泰勒公式的证明与应用

The proofs and applications of Taylor formula with different types of remainders

专业:

作者:

指导老师:

湖南理工学院数学学院

二○一四年五月岳阳

摘要

本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.

关键词：余项；泰勒公式；证明；应用

Abstract

In this paper, we research different types of Taylor formulas，and give the proof of various Taylor remainder formula,focus on the applications of the different types of Taylor remainder formula .

Keywords:Remainder term；Taylor formula；Proof；Application

目录

摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I 关键词．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ABSTRAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 0 引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1泰勒公式简介．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2 带四种余项泰勒公式的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2

2.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明 (2)

2.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明..................................．．.3

2.3带积分型余项泰勒公式的证明 (4)

2.4带柯西型余项泰勒公式的证明.......................................．．5

3 泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5

3.1带佩亚诺型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．5

3.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.. (9)

3.3带积分型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12

3.4带柯西型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．．．13 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15

0 引言

泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用．利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义．泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项，带柯西型余项的泰勒公式．

1泰勒公式简介

泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的1n +次导数)的导数求得．但对于正整数n ，如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续n 阶可导，还满足(,)a b 1n +阶可导．则可任取[,]x a b ∈是一定点，则对任意[,]x a b ∈下式成立

()2

'()''()()()()()()......()()1!2!!

n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n =+-+-++-+.

()n R x 表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开：

（1）2+1

= 1+ + +...+ +

+()2!!(+1)!

n x x

n n x x e e x x R x n n α. （2）

2n 1

=1+ + + ... + +R ()1n x x x x x

. （3）24

62n cos =1 + +...+ (1) + R ()2!4!

6!(2)!

n

n x x x x x x n . （4）352+1n sin = + ...+ (1)+ R ()3!5!(2+1)!

n n

x x x x x

x n -. （5）2(1)

(1) (1)

(1)1...()2!

!

n n n x x x x R x n ααααααα---++=++

++

+.

2 带四种余项泰勒公式的证明

下面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.

2.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明

定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()(())0n f x T x o x x n =+-，即

()2

00000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x x f x f x f x x x x x x x o x x n -=+-+-++-+-.

(1)

证明 设

0()()(),()()n n n n R x f x T x Q x x x =+=-

现在只需证

()

()

lim

0n x x R x Q x →=. 由关系式

()00()()k k n f x T x =,1,2,...n =

可知

()000()'()...()0n n n n R x R x R x ====.

并容易知

()()0000()'()...()0,()!n n n n n n Q x Q x Q x Q x n =====.

因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某领域0()U x 内f 存在n-1阶导函数()f x ．于是，当

0()x U x ∈且0x x →，允许连续使用洛必达法则1n -次，得到

00(1)(1)()'()

lim

lim ()()...

()lim ()n n

x x x n n

n n n x x n

R x R x Q x Q x R x Q x →∞→--→===

00(1)(1)0000(1)(1)000()()()()lim !()()()1

lim[()]!0

n n n x x n n n x x f x f x f x x x n x x f x f x f x n x x --→--→---=--=--=

定理所证的（1）式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()R x f x T x n n =-则称为泰勒公式的余项，形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项．即（1）又称带有佩亚诺型余项的泰勒公式．

2.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的证明

定理2 如果一个函数在[],a b 上有直至n 阶的连续导数，在(),a b 之间有()1n +阶的导数，则任意给出的x ，[]0,x a b ∈，至少有一点(,)a b ξ∈，使得：

(1)2100000000''()()()()()'()()()...()().(2)

2!!(1)!

n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+ 证明 设辅助函数

()()'

()()[()()()...()!

n f t n

F t f x f t f t x t x t n =-+-++-

1

()()

n G t x t +=-.

即证明的（2）式为

(1)()

()()00(1)!n f F x G x n ξ+=+或者(1)()()0()(1)!

0n F x f G x n ξ+=+.

设0x x <，则()()F t G t 与在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导．

(1)()'

()()!n f t n

F t x t n +=--,

'()(1)()0n

G t n x t =-+-≠.

因为()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证明得

'(1)()()()()()

00'()()()(1)!00()

n F x F x F x F f G x G x G x n G ξξξ+-===

-+.

0(,)(,)x x a b ξ∈?其中，（2）式则称为泰勒公式，该泰勒公式的余项为

()(1)1000()

()()()(),()1!

n n n n f R x f x T x x x x x x n ξξθ++=-=-=+-+,

(1)()1

()()()(),()000(1)!

n f n R x f x T x x x x x x n n n ξξθ++=-=-=+-+. (01)θ<<

则称为拉格朗日型余项，所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式．

2.3 带积分型余项泰勒公式的证明

定理3 若函数()f x 在点0x 的领域0()U x 内有连续的1n +阶导数，则0()x U x ??，有

()00000'()1

()()()...()()()1!!

n n n f x f x f x x x f x x x R x n =+

-++-+. 其中0(1)1R ()()()!

x n n

n x x f s x s ds n +=

-?为积分型余项，且 +1110000()R ()(())(1)!

n n n

n x x x f x t x x t dt n +-=+--? （3） 证明 使用Newton - Leibniz 公式和使用分部积分法，得

00()()'()()'()()x x

x x f x f x f t dt f x f t d x t =+=--??

000()'()()''()x

x f x f x x x f x t dt =+-+-?

20001()'()()''()()2x

x f x f x x x f t d x t =+---?

220000011()'()()''()()'''()()22x

x f x f x x x f x x x f t d x t dt =+-+-+-?

···= 200000011

()'()()''()()...()2!

n n f x f x x x f x x x f x x n +-+

-++-+ 0

(1)1()()!x n n x f t x t dt n +-?． 然后做变量代换00()s x t x x =+-则得到 式（3）．

2.4 带柯西型余项泰勒公式的证明

定理4 若函数()f x 在点0x 的领域0()U x 内有连续1n +阶导数，则0()x U x ?∈，有

()00000'()()

()()()...()()1!!

n n f x f x f x f x x x x x R x n =+-++-+.

其中(1)

10001()(())(1)()!

n n n n R x f x x x x x n θθ++=+---，(01)θ≤≤特别当00x =，则又有简单形式

(1)

11()()(1)!

n n n n R x f x x n θθ++=

- (01)θ≤≤ . （4） 此处()n R x 统称为柯西余项．

证明 取定x ，不防设0x >，设辅助函数

()0

()

()()()!

k n

k f t t f x x t k φ==--∑

, 此时令

()t x t ?=-,

对()t φ与()t ?应用柯西中值公式，知存在(0,)x ξ∈使得

(1)1()()(0)'()()()''

()(0)'()!

n n n R x x f x x x n φφφξξξφφφξ++--===-,

此时，令x ξθ= (01)θ<<.即得到式（4）.

3 泰勒公式的应用

3.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的应用

3.1.1 利用佩亚诺余项泰勒公式判别函数的极值

应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数的极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另一种判别法．

若()f x 在点0x 及邻域0()U x 内具有n 阶连续导数，且

'''(1)()0000()()...()0,()0n n f x f x f x f x -====≠，

（1） 若n 为奇数，则0x 不是极值点;

（2） 若n 为偶数，则当()0()0n f x <，0()f x 为极大值；当()0()0n f x >，0()f x 为极小值．

证明 由已知条件及泰勒公式有()0000()

()()()[()]!

n n n f x f x f x x x o x x n =+-+-，则 ()0000()

()()()[()]!n n n f x f x f x x x o x x n -=-+- .

由于()0()0n f x ≠,则存在点0x 的某一邻域0()U x ，使得0()x U x ∈时式（1）等号右端由第一项符号决定

(1)若n 为奇数，在点0x 的某一邻域0()U x 内，当0x x <时，0()0n x x -<； (2)若n 为偶数且()0()0n f x <时，有0()()0f x f x -<即对一切0()x U x ∈0()()f x f x <故0()f x 为极大值，同理可证当()0()0n f x >，0()f x 为极小值．

(3)当0x x >，0()0n x x ->，即0x 的左右侧，式（1）的右端异号，所以0x 是非极值点．

例1 求函数43()(2)f x x x =+的极值．

解 由于32'()(2)(78)f x x x x =++，所以8

0,2,7

x x x ==-=-是函数的驻点，求()

f x 的二阶导数22''()6(2)(7168)f x x x x x =+++得8

''(0)0,''(2)0,''()07

f f f =-=-<，所以()

f x 在8

7

x =-时取得极大值．

3.1.2未定极限与无穷小的应用

在利用泰勒公式求极限时，首先看清楚所求极限的形式，然后根据所学的再来对极限进行泰勒展开．

例2 求极限2

2

40cos lim

sin x x x e x

-→-．

解 极限中分母的次数是4，现在把cos x ，22

x e -展开到x 的4次幂，

24411

cos 1()2!4!

x x x o x =-++

2222

42

11()()22!2x x x e

o x -=-+-+,

故 2

2

40cos lim

sin x x x e x

-→-

4

44

011(

)()

4!8lim x x o x x

→-+= 1

12=-

.

例3

求极限0

x →．

分析 因为分子中有根号项，可以运用洛必达法则来解决问题，但是步骤繁琐，只要我们使用泰勒公式来求解，问题就简单了.

解

0x =处点的麦克劳林公式展开2x 项得

22

1()28x x o x =+-+

221()28

x x o x =--+.

则

x →

0x →=

222

220(1())(1())

2828lim x x x x x o x o x x →+-++--+= 22

220()88lim 14

x x x o x x →--+==. 例4 确定α的值，使得函数223sin 2sin cos x x x x e x x x -+-+与x α为同阶无穷小．

解 3α= 因为

222332

2

33

3333sin 2sin cos 8(1())3(())(2())266

1

().6

x x x x e x x x

x x x x x x x o x x o x x o x x o x -+-+=-++++--++-+=+

例5 已知极限0arctan lim

k x x x

c x

→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，求k ，c . 解 0a r c t a n

l i m k x x x x

→- 2

1

02

2

102

3030111lim 1lim 11lim 1

lim .k x k x k x k x x kx x x kx x kx

kx

-→-→-→-→-+=+=+==

因为c 为常数，所以30k -=，即3k =，因此1

3

c =.

3.1.3求行列式的值

要用泰勒公式余项来计算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特点，构造与该行列式相对应的行列式函数，然后再把这个行列式函数在某点按泰勒公式展开，最后求出行列式函数的各阶导数值即可.

例 6[6] 求n 阶行列式

D=x z z z y

x z z

y

y x z y y y x

（5）

解 记()n f x D =，按泰勒公式在z 处展开：

'''()2()()

()

()()()()()1!2!

!n n

n n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-+

+- . （6）

易知

1

0000000

0()0

k k z y y z y y z y

y D z z y z y

y z

y

----=

=--- , （7）

由（7）得，1()(),1,2,...,k k f z z z y k n -=-=时都成立.根据行列式求导的规则,有

''''1122111()(),()(1)(),

,()2(),()1(()).n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x f x x ---==-==因为=

于是()n f x x z =在处的各阶导数为

''2

1'''''31111()()()|()()()()|()(1)()············

()|(1)2()(1)

2()(1)

2.

n n n x z n n n n x z n n n n n x z n n f z f z nf z nz z y f z f z nf z n n z z y f z f n n f z n n z

f z n n -=--=---====-===--==-=-=-

把以上各导数代入（6）式中,有

12321(1)

()()()()()()1!2!

(12)(1)21()().

(1)!!

n n n n n n n n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----.+

+-+--

1

()()[(1)]n n z y f x x y x n y -若=,有=-+-， ()()().n n

n z x y y x z z y f x z y

---若≠，有=

-

3.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的应用

3.2.1 证明中值公式

例7 设()f x 在区间上三阶可导，试证(,)c a b ?∈使得

31

()()'(

)()'''()().224a b f b f a f b a f c b a +=+-+- （8）

证明 设下式成立的实数

31()()'(

)()'''()()0224a b f b f a f b a f c b a +-----=， （9）

现在就要证明(,)c a b ?∈，使得'''()k f c =（10），令

3()()()'(

)()()224a x k

g x f x f a f x a x a +=-----， （11）

则()()0,g a g b ==由罗尔定理，(,)a b ??∈使得'()0g ?=由（11）式得

2'()'(

)''()()()02228a a a k

f f f a ?????++--+--=， （12）

上式是关于k 的方程，则'()f ?在点

2

a ?

+处的泰勒公式 2

1'()'(

)''()()'''()()22222a a a a f f f f c ?????++--=-+. （13）

(,)c a b ?∈，比较（12）

（13）式有221

()'''()()88

k a f c a ??-=-，则'''()k f c =，从而得到（8）.

3．2．2证明不等式和等式

在证明不等式的问题中，我们经常遇到题中的有高阶导数，我们就可以选择合适的泰勒展开点，而且展开的最高阶导数不得超过题中给出的最高阶导数，最后用高阶导数的放大有界性进行放缩，得到要证明的不等式. 对泰勒公式的展开点0x 和被展开点的x 的选择是有讲究的，因为展开的阶数和项数都可能根据需要而改变.

例 8 设函数()f x 在闭区间[0,1]上二阶可导，在开区间(0,1)内取到最大值1

2

，且二阶导数满足|''()|2f x ≤，证明|(0)(1)|2f f +≤．

证明 设0(0,1)x ∈为函数最大值点，则01

()2

f x =

且0'()0f x =．把函数()0,1f x x =在处的值用0x 处的带拉格朗日余项的泰勒公式表示，且最高导数为2 ，则

22000101010111

(0)()'()(0)''()(0)''(),(0,)222

f f x f x x f x f x x ξξξ=+-+

-=+∈, 22000202020111

(1)()'()(1)''()(1)''()(1),(,1)222

f f x f x x f x f x x ξξξ=+-+

-=+-∈. 于是2200|(0)||(1)|1+(1)1+1=2f f x x +≤+-≤．不等式得证．

例 9 证明lim sin(2!)2x n en ππ

→∞

=.

证明 由泰勒公式，可知

1011,01,!(1)!

n n

n k e e k n θθ+==∑

+<<+ 110111,01,!(1)!(2)!

n n

n k e e k n n θθ++==∑

++<<++ 将上述两式两边相减，得

11111

(1)!(1)!(2)!n n e e n n n θθ++=++++,

或

11

1(2)!n n e e n θθ+=+

+.

由

11

lim 1lim

1lim 0(2)!n n n x x x e e n θθθ+→∞

→∞→∞

=+=?=+,

故

11112!2(1...)!1!2!!(1)!

n en e n n n θππ=+

+++++ 22(1)!n k e n θππ=++，111

!(1...)1!2!!

k n n =++++ , 则

2sin(2!)sin 1

n

n en n e n θππ=+ 222sin()/()111n n n

n e e e n n n θθθπππ

=+++.

于是

22lim sin(2!)lim 2sin()/()111

n

n n

x x n n en e e e n n n θθθππππ→∞

→∞

=+++ 2π=． 3.2.3 计算近似值的应用

一些数值的近似计算和函数的近似计算式可以利用泰勒公式得到, 函数的近似计算式利用)(x f 麦克劳林展开得到

'''

2(0)(0)()(0)(0)2!!n n

f f f x f f x x x

n ≈+ + + + ，

误差是余项()n R x ．

例10 计算lg11的值,准确到5-10. 解

111

lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+

)=1+(1+,

因为

23ln(1)23x x x x +=-++ (1)

n x n -(-1)n

+(-1)11

(1)(1)

n n x n x ++++θ， 1x 0<θ<1, >-

要使

(1)1(1)10(1)(1)ln1010

n n n n -++-||θ

++5102(1)

n -n+1

-<<10+

542(1)1010n n -(n+1)-+>=,

取

4n =,

故

11111lg111ln1010200300040000≈+

(-++)≈1.04139.

3.3 带积分型余项泰勒公式的应用

3.3.1定积分计算

当题目或者问题条件出现具有二阶导二阶以上的连续导，可以考虑泰勒公式. 例 11 计算1

0(1)x n e x dx -? ()n N +∈.

解 设 ()x f x e = 则 (1)()n x f x e +=由公式有

1

10000

1(1)!(1...1)!

x n n

e x dx n e e e e n -=----

?

11!(2...)2!!n e n =--

--.

例 12 计算1

0(1)m n x x dx

-?.

解 (1)

11

1

00!(1)(1)(1)!n m n m n

n x m x x dx x dx m n +++??-=-?

?++??

??

!

!(1)!!!(1)!

m n m n n m m n ??=??

++??=

++.

3.4 带柯西型余项型泰勒公式的应用

3.4.1初等函数的幂级数的展开式中的应用

例 13 证明若函数()f x 在区间(,)a +∞内可导，且 '

lim ()()0x f x f x →∞

??+=??，则

lim ()0

x f x →∞

=． 证明 令 ()()x F x f x e =，()x G x e =，显然，'()0G x ≠.已知

'

lim ()()0x f x f x →∞

??+=?? ， 即0ε?>，0A ?>，x A ?>,有'|()()|f x f x ε+<，x A ?>，根据柯西中值定理，有

''()()()

()()()

F x F A F C

G x G A G C -=-，A c x <<.

或

'

()()()()()()1A x x A A x x A

f x f A e f x e f A e f c f c e e e

----==+--, 或

'|()||()||()()|(1)A x A x f x f A e f c f c e --≤+++.

已知lim 0A x x e -→∞

=，即1A A ?>，1x A ?>，有A x e ε-<与1A x e -<,于是，1x A ?>，有

|()||()|2(|()|2)f x f A f A εεε≤+=+,

即 lim ()0x f x →∞

=.

例 14 设函数()f x 在[,]a b 上可微，且a 与b 同号，证明：(,)a b ξ?∈，使得 （1）22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.

（2）'()()(ln )()b

f a f b f a

ξξ-=.

证明 （1）将原不等式变形为'22

()()()

2f b f a f b a ξξ

-=-知，只要引入辅助函数2()g x x =．由于()f x ，()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件，所以(,)a b ξ?∈

'22

()()()

2f b f a f b a ξξ

-=-. 即

22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.

（2）将原不等式变形为'()()()

1ln ||ln ||

f b f a f b a ξξ

-=-知，只要引入辅助函数()g x =ln ||x ，

由于()f x ，()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件，所以(,)a b ξ?∈，使

''()()()()1ln ||ln ||

f b f a f f b a ξξξξ

-==-，

即

()()f b f a -=''ln |

|()ln()()b b

f f a a

ξξξξ= 总结 从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活

巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰勒公式之间是可以转换的，但是，不同的余项型在解决不同的类型的问题时有各自的优点.我们知道泰勒公式经常用到的是在计算求极值、无穷小问题、近似值、行列式、定积分等一类问题中.比如例4，例5中就很好地运用了泰勒展开公式求无穷小的问题中，其中例5是2013年考研数学（一）中的一道题，行列式的运算例6.因此熟练地掌握一些常用泰勒公式展开点就显得非常重要，运用时才能举一反三，灵活应用.

致谢 本文是在方春华老师的指导和帮助下完成的, 在此对方老师表示衷心的感谢！

参考文献

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常用泰勒公式

简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]

泰勒公式的证明及应用(1)

一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)

Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同

19泰勒公式在证明不等式中的几个应用

泰勒公式在证明不等式中的几个应用 摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学畴，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用. 关键词：泰勒公式；偏导数；不等式 引言 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒公式能很好的 集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾： 定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域具有1n +阶导数，则对该邻域异于0x 的任意点 x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+ ()0f''x 2!02 (x -x )+???+ ()()0n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =() (1)(1)! n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x + ()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用 不等式是高等数学和近代数学分析的重要容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。 2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助

泰勒公式的证明及应用

摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用

绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc

《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极

限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）

泰勒公式的证明及其应用

泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y

泰勒公式证明必须看word资料11页

泰勒公式（提高班） 授课题目： §3.3泰勒公式 教学目的与要求： 1.掌握函数在指定点的泰勒公式； 2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用. 教学重点与难点： 重点：几个常用函数的泰勒公式 难点：泰勒公式的证明 讲授内容： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。 在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： ≈1，x e x+ x ln(． 1 +) x≈ 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在0 x处这些— = 次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．

但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式． 于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到 (1+n )阶导数，试找出一个关于(0x x -)的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=Λ (1) 来近似表达)(x f ，要求)(x p n 与)(x f 之差是比n x x )(0-高阶的无穷小，并给出误差)()(x p x f n -的具体表达式． 下面我们来讨论这个问题．假设)(x p n 在0x 处的函数值及它的直到n 阶导数在0x 处的值依次与)(0x f ，)(0x f '，)(,0)(x f n Λ相等，即满足 )()(00x f x p n =，)()(00x f x p n '='， )()(00x f x p n ''=''，)(,0)()(x f p n n n =Λ， 按这些等式来确定多项式(1)的系数n a a a a Λ,,,210.为此，对（1）式求各 阶导数，然后分别代人以上等式，得 )(00x f a =，)(101x f a '=?，)(!202x f a ''=，)(!,0)(x f a n n n =Λ ， 即得 )(00x f a =，)(01x f a '=，)(!2102x f a ''=，)(! 1,0)(x f n a n n =Λ. (2)

泰勒公式的证明及应用 开题报告

题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；

泰勒公式证明及应用讲解

泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.

泰勒公式及其应用

目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

泰勒公式及其应用 （河南城建学院数理系河南平顶山 467044） 摘要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍. 关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项

Abstract Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp -ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema -tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the in flection point of the function to judge, Generalized Integral Converg -ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction. Keywords：Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

高三数学培优资料（10）教师版 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟 在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+ ()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得 )(00)(2 00000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≥ 或)(00)(2 00000)(! )()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≤

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：

常见泰勒公式展开式

泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都

可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

泰勒公式的证明

泰勒公式 定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()0()n f x 存在, 则0()x x ?∈ ， 0()(,)n f x T x x =+()0()n x x - . ()200000000()()(,)()()()()()2!! n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- . 0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（ “切线”）. 证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()lim 0()n n x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -==== ， (1)00()()0n n n Q x Q x -=== ，()0()!n n Q x n = ()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim ()0n x a n R x Q x →?? ???反复使用洛必达法则1n -次. 证明 连续1n -次使用洛必达法则，得 (1)(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n n R x R x Q x Q x --→→????= ? ?????不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比. (1)(1)()0000()()()()lim (1)2() n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→??-=-= ?-?? . 注1 即使函数能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，0(,)n P x x 不一定是泰勒多项式. 如1()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()lim lim 0n n n x x f x x D x x x +→→==，故()()(0)n f x x x =→ . 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++ ，但是，根据海因定理，1()()n f x x D x += ，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）. 故2()0000n n p x x x x =++++ 并不是()f x 在0处的泰勒多项式. 注2 若f 能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，则多项式0(,)n P x x 是唯一的 （不论可导性）. 因为 若 () 00()(,)()n n f x P x x x x =+- ()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-++-+- （1） 则由（1） 00lim ()x x f x a →=， 反代入（1）式又得 0010 ()lim x x f x a a x x →-=-， 反代入（1）式又得 0010220()[()]lim ()x x f x a a x x a x x →-+-=-

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<