当前位置：搜档网 › 2020 年北京市高考适应性测试数学试卷及答案

2020 年北京市高考适应性测试数学试卷及答案

数学第 1 页（共 6 页）

2020 年北京市高考适应性测试

数学

本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题

共 40 分）

一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项。

（1）在复平面内，复数i (i + 2) 对应的点的坐标为

（A ） (1, 2 )

（B ） (- 1, 2 )

（C ） ( 2, 1) （D ） ( 2, - 1)

（2）已知集合 A = { x x < 2} ， B = { - 1, 0,1, 2, 3 } ，则 A ∩ B =

（A ） { 0, 1} （B ）{ 0, 1, 2 } （C ） { - 1, 0, 1} （3）下列函数中，在区间(0, + ∞) 上为减函数的是

（D ） { - 1, 0, 1, 2 }

（A ） y = x

（B ） y = x 2 - 1

（C ） y = (1

（D ） y = log 2 x

（4）函数 f ( x) =

（A ）{x | x ≤ 2 或 x ≥ 3}

（C ） {x | 2 ≤ x ≤ 3}

的定义域为

（B ） {x | x ≤ - 3 或 x ≥ -2} （D ） {x | -3 ≤ x ≤ -2}

（5）圆心为( 2, 1) 且和 x 轴相切的圆的方程是

（A ） (x - 2)2 + ( y - 1)2 = 1 （B ） (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 1

（C ） (x - 2)2 + ( y - 1)2 = 5

（D ） (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 5

（6）要得到函数 y = sin(2x - π

) 的图象，只需要将函数 y = sin 2x 的图象

（A ）向左平移 π

个单位

（B ）向左平移 π

个单位

3 6 （C ）向右平移 π

个单位

（D ）向右平移 π

个单位

x 2 - 5x + 6

数学第 2 页（共 6 页）

x （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的

体积为（A ） 2

3 （B ） 4

（C ） 2 （D ） 4

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

（8）已知点 A ( 2, 0 ) ， B ( 0, - 2 ) ．若点 P 在函数 y = 的图象上，则使得△ P AB 的面积为 2

的点 P 的个数为（A ）1

（B ） 2 （C ） 3 （D ） 4

（9）设{a n }是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 S n ．则“ ?n ∈ N * ，S n +1 > S n ”是“

{a n }

为递增数列”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共

有36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另外一科等级为 B ．则该班

（A ）物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人（B ）物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人（C ）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生

至多有18 人

（D ）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生

至少有1 人

等级

科目

物理 10 16 9 1 0 化学

数学第 3 页（共 6 页）

x - 2

第二部分（非选择题

共 110 分）

二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。

（11）已知双曲线 a

2 y = 1 ( a > 0 ) 的一条渐近线方程为 x + y = 0 ，则 a = ?．（12）已知向量a = (1, m) ， b = (2, 1) ，且a ⊥ b ，则m = ?．

（13）抛物线 y 2 = 4 x 上到其焦点的距离为1 的点的个数为

．

（14）在△ABC 中， a = 4 ， b = 5 ， c = 6 ，则cos A = ?，

△ABC 的面积为．

（15）函数 f (x) 的定义域为[-1,1) ，其图象如图所示．函数 g(x) 是定义域为 R 的奇函数，满足

g(2 - x) + g(x) = 0 ，且当 x ∈(0,1) 时， g (x) = f (x) ．给出下列三个结论： ①

g(0) = 0 ； ②函数 g(x) 在 (-1, 5) 内有且仅有 3 个零点； ③不等式 f (-x ) < 0 的解集为{x | -1 < x < 0} ．其中，正确结论的序号是．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，

其他得 3 分。

1 2

-1

- 1 O

三、解答题共6 题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14 分）

如图，在四棱锥P - ABCD 中，PD = 2 AD ，PD ⊥ DA ，PD ⊥ DC ，底面ABCD 为正方形，M , N 分别为AD ，PD 的中点．

（Ⅰ）求证：PA∥平面MNC ；

（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．

（17）（本小题14 分）

已知{a n}是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n，满足a3=12 ，．是否存在正整数k ，使得S k> 2020 ？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．

从① q = 2 ，② q =1

，③ q =-2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

数学第 4 页（共6 页）

（18）（本小题14 分）

为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A, B, C 三块试验田中各随机抽取7 株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：

假设所有植株的生长情况相互独立．从A, B, C 三组各随机选1 株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙， C 组选出的植株记为丙．

（Ⅰ）求丙的高度小于15 厘米的概率；

（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为μ0．从A, B, C 三块试验田中分别再随机抽取1 株该种植物，它们的高度依次是14, 16, 15（单位：厘米）．这3 个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为μ1，试比较μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题15 分）

已知函数f (x) = e x (x -1) -1

e a x2， a < 0 ．

（Ⅰ）求曲线y = f ( x) 在点( 0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x) 的极小值；

（Ⅲ）求函数f (x) 的零点个数．

数学第 5 页（共6 页）

数学第 6 页（共 6 页）

3 l （20）（本小题 1

4 分）

已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为 A(0, 1) ， B(0, -1) ，焦距为2 ．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知直线 y = m 与椭圆C 有两个不同的交点 M , N ，设 D 为直线 AN 上一点，且直线 BD ，

BM 的斜率的积为 - 1

．证明：点 D 在 x 轴上．

（21）（本小题 14 分）

其中e 1 < e 2 <… < e l ，l ∈ N * 且l ≤ 6 ．定义变换?k 为“对于数阵的每一行，若其中有 k 或 -k ，则将这一行中每个数都乘以 -1 ；若其中没有 k 且没有 -k ，则这一行中所有数均保持不变”

（ k = e 1,e 2,…,e l ）．

?S (A 0) 表示“将 A 0 经过?e 变换得到 A 1 ，再将 A 1 经过?e 变换得到 A 2 ，… ， 1

以此类推，最后将 A l -1 经过?e 变换得到 A l ”

，记数阵 A l 中四个数的和为T S (A 0) ．

数学第 7 页（共 6 页）

2020年北京市高考适应性测试

数学答案第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1--5.BCCAA 6--10.DBCAD 10.D （见视频解读）

二、填空题共5题，每题5分，共25分。 11.1 12.2- 13.1 14.

①③（见视频解读) 15.解析.

因为函数()g x 是定义域为R 的奇函数，所以①正确；

由()2()0g x g x -+=知函数()y g x =的图像关于点()1,0成中心对称，

由此作出函数的图像如下，由图像知函数()y g x =在()1,5-内有5个零点，故②

错误；

对于③，方法一是利用

与

关于y 轴对称，由图像知③正确。

方法二是利用函数()y f x =的图像，直接解不等式01,10x x <-<-<<即得。故而正确。

注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.

三、解答题共6题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题14分）（Ⅰ）证明：

因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点

数学第 8 页（共 6 页）

所以PA MN ,

又因PA MNC

MN MNC

??平面平面

所以//PA MNC 平面；

（Ⅱ）由题意建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz 。

设AD=2，则(0,0,4),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),C(0,2,0)P B M N 则(2,2,4),(1,0,2),(1,2,0)PB MN MC =-=-=- 设平面MNC 的法向量为=(,,)n x y z ，

则2020

n MN x z n MC x y ??=-+=???=-+=??，令2,=1,=1x y z =则，即=(2,1,1)n 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，则1

sin 6

626n PB n PB

α?=

=??

即直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16

17.（本小题14分）

答案：当2q =时，存在，min 10k =。

当1

q =时，不存在。

当2q =-时，存在，min 11k =。理由分别如下。

当2q =时，1

13,32n n a a -==?，33232312n n n S -?=

=?--。由3232020k

?->得126743

k >，

9102512 , 21024k N +==∈，，min 10k =

当12q =时，11148,482n n a a -??==? ???，148481296961212

n S ??

-? ?????==-? ???-。

由1969620202k ??

-?> ???得4811242k

??-> ???，不等式无解。此时不存在。

当2q =-时，()

13,32n n a a -==?-，()()

()3321212n

n S -?-=

=----。由()122020k

-->得()22019k

-<-，

()

()()9

1011

2512 , 2102422048k N +-=--=-=-∈，,，min 11k =

数学第 9 页（共 6 页）

18.（本小题14分）

解：（1）设“丙的高度小于15厘米”为事件M

因为丙的高度小于15厘米的有13厘米、14厘米的两株，所以2()7

P M =. 即丙的高度小于15厘米的概率为

。 (2)设“甲的高度大于乙的高度”为事件N.

记A 组7株植物依次分别为1,234567,,,,,.A A A A A A A B 组7株植物依次分别为1,234567,,,,,.B B B B B B B 从A 中选出甲，从B 中选出乙共有7749?=种情况，其中满足甲的高度大于乙的高度的有：

41515261626371727374(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,).A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 、、、、、、、、、、

共10种. 所以10

()49

P N =

. 即甲的高度大于乙的高度的概率为1049

(3) 01μμ<.

19.

（本小题15分）（见视频解读）解：(1) ()f x 定义域为：R

()(1+()x x a x a f x e x e e x x e e '=--=-） (0)1f =- ∴切点为(0,1)- (0)0f '=

∴()y f x =在(0,1)-处的切线方程为：1y =-. (2) 令()0f x '=，解得：

0,x x a ==（0a <）

数学第 10 页（共 6 页）

()f x ∴在(,)a -∞、(0,)+∞单调递增，在(,0)a 单调递减. ()f x ∴在0x =处取得极小值为(0)1f =-.

(3)由（2）知()f x 的极大值为 2211

)(1)(1)022

a a a f a e a e a a a e =--=--<（,(0)a <

(0)10f =-<， 2)2a

f e e =-（

2， 0, 01, (2)0a a e f <∴<<∴> ∴函数()f x 的零点个数为1.

20.（本小题14分）

解答：（Ⅰ）由题意知c =222 , 1,4a c b x a b c >∴==+=只能且焦点在轴上，

所以椭圆C 的方程为：2

214

x y +=。

（Ⅱ）由题意可设00(,),(,)M x m N x m -,11m -<<。则22

04(1)x m =----①

因为点D 为直线AN 上一点，所以0(,1)AD AN x m λλ==-，

所以()()0,11OD AN OA x m λλλ=+=-+ 所以00(1)211

BD BM m m K K x x λλ-++?=

?=--

整理得22

04(1)8(1)m m x λλ-++=

将①代入整理得()1[(1)1]0m m λ+-+=， 10, (1)10m m λ+≠∴-+=，即0D y = 所以点D 在x 轴上。

21.（本小题14分）

设数阵111202122,a a A a a ??

= ???

其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈???，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =???????其

中*

12, 6.l e e e l N l <

k -，则这一行中所有数均保持不变”（）120(,,,).()l s k e e e A ?=???表示“将0A 经过1

e ?变换得到1A ，再将1A 经过2e ?变换得到2A ，,???以此类推，最后将1l A -经过l e ?变换得到

数学第 11 页（共 6 页）

l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .

（Ⅰ）若011A ?= ? 25???

，写出0A 经过2?变换后得到的数阵1A ；

（Ⅱ）若013A ?= ? 36?

，{1,3},S =求0()s T A 的值；

（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过-4.

解（Ⅰ）经过

变换1

（Ⅱ） 0

13A 36经过1变换得到113

A 3

6经过3变换得到

313

A 3

所以0()13(3+S T A ）（

-6)= -5 （Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A ,对于第一行11a 和12a ①若1112a a ，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。

①若11

12a a ，则含11a 且12a 的子集有16个，不含有11a 且不含12a 的子集有16个，这32个

l A 中第一行为11a ，12a ；不含有11a 含12a 的子集有16个，含有11a 不含12a 的子集有16个，这

32个l A 中第一行为11a ，12a ；所有l A 中第一行的和为0。同理，所有l A 中第二行的和为0。即0()

0U S U

A 但是00()A A ，所以

0011

22()0()

()

S T A T A a a a a

数学第12 页（共6 页）

数学第13 页（共6 页）

数学第14 页（共6 页）

数学第15 页（共6 页）

数学第16 页（共6 页）

数学第17 页（共6 页）

数学第18 页（共6 页）

2020 年北京市高考适应性测试数学试卷及答案

相关文档

最新文档