章末综合测评2 数列
章末综合测评(二) 数列
(满分：150分时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n－1，…，则21是这个数列的()
A．第10项B．第11项
C．第12项D．第21项
B[观察可知该数列的通项公式为a n＝2n－1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B.] 2．一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝()
A.
3
2 B. 5
C.5－1
2 D.
1＋5
2
C[由题意知a n＝a n＋1＋a n＋2＝a n q＋a n q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝5－1 2
(负值舍去)，故选C.]
3．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于() A．8 B．－8
C．±8 D．以上选项都不对
A[∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a24＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q 为公比)，∴a4＝8.]
4．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五
尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )
A ．0.55尺
B ．0.53尺
C ．0.52尺
D ．0.5尺
A [设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ，所以S 30＝30×5＋30×292 d ＝390，解得d ≈0.55.]
5．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》，通过计算得到的答案是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
B [由题意设尖头a 盏灯，根据题意由上往下数第n 层有2n －1a 盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯，解得a ＝3.]
6．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，则数列{a n }( )
A ．是公比为2的等比数列
B ．是公差为2的等差数列
C ．是公比为12的等比数列
D ．既非等差数列，也非等比数列
D [∵log 2S n ＝n ，∴S n ＝2n ，则a 1＝2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.
∵a 1＝2不适合上式，∴{a n }既非等差数列，也非等比数列．]
7．已知等差数列{a n }中，a 1>0，前n 项和是S n ，且S 14＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
D [∵S 14＝S 8，∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝3(a 11＋a 12)＝0.
∵a 1>0，∴d <0，∴a 11>0，a 12<0，∴n ＝11.]
8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )
A ．a 1d >0，dS 4>0
B ．a 1d <0，dS 4<0
C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0 B [依题意a 24＝a 3a 8，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，解得
a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.]
9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23
＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16
＝0，所以k ＝24.]
10．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230.那么a 3·a 6·…·a 30等于( )
A ．210
B ．215
C ．220
D ．216
C [法一：a 1·a 2·a 3·…·a 30＝a 301q (1＋2＋3＋…＋29)＝(a 101q 145)3，a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101
q (2＋5＋8＋…＋29)＝a 101q
155. 所以a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 1·a 2·a 3·…·a 30)13q 10＝(230)13
·210＝220.故选C. 法二：a 1·a 4·a 7·…·a 28，a 2·a 5·a 8·…·a 29，a 3·a 6·a 9·…·a 30构成等比数列，公比为210.
设a 3·a 6·a 9·…·a 30＝x ，则有a 1·a 2·a 3·…·a 30＝x 220·x 210·x ＝230.所以x 3＝260，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.故选C.]
11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )
A ．15
B ．19
C ．21
D ．30
B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得
S 22＝S 1·
S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]
12．设数列{a n }满足a n ＋1＝－2a n ，a 1＝1，数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )
A ．22 019－1
B ．22 020－2
C ．22 018－1
D ．1－22 019 A [由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n
＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以|a n |＝|(－2)n －1|＝2n －1，所以S 2 019＝1－22 019
1－2
＝22 019－1.故选A.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________.
－6 [S 8＝8×(a 1＋a 8)2
＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.]
14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝________. 768 [由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.]
15．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.
30 [设{a n }的公差为d ，则d ≠0.
由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，
得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，
即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .
又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，
S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.]
16．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵：
a 1
a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
… … … … …
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．
598 [第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋19×182×1＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6
＝16，∴d ＝a 6－a 36－3
＝16－73＝3，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，∴a 200＝3×200－2＝598.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，