狭义相对论——应用

第13讲：狭义相对论——应用

内容：§18－4，§18－5

1．狭义相对论的时空观（50分钟）

2．光的多普勒效应

3．狭义相对论动力学的几个结论（50分钟）

4．广义相对论简介

要求：

1．理解狭义相对论的时空观，包括同时性的相对性、长度的收缩与时

间的延缓

2．了解光的多普勒效应。

3．掌握狭义相对论动力学的几个结论，明确当物体运动速度V〈〈C时，相对论力学过渡到牛顿力学，牛顿力学仅适用于低速动动的物体。

4．了解广义相对论的意义。

重点与难点：

1．狭义相对论时空观的理解。

2．狭义相对论动力学的主要结论。

作业：

问题：P213：7，8，9，11

习题：P214：11，12，13，14

复习：

伽俐略变换式牛顿的绝对时空观

迈克尔逊－莫雷实验

狭义相对论的基本原理

§18－4 狭义相对论的时空观

Outlook on Time_space of Special Theory of Relativity

一、同时的相对性（Relativity of Simultaneity）：

1．概念

狭义相对论的时空观认为：同时

是相对的。即在一个惯性系中不同地

点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。

例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。

2．例子：Einstein列车：

以u匀速直线运动，车厢中央有一闪光灯发出信号，光信号到车厢前壁为事件1，到后壁为事件2；地面为S系，列车为S'系。

在S'系中，A以速度v向光接近；B以速度v离开光，事件1与事件2同时发生。

在S系中，光信号相对车厢的速度v’1=c-v，v’2=c+v，事件1与事件2不是同时发生。即S'系中同时发生的两个事件，在S系中观察却不是同时发生的。因此，“同时”具有相对性。

说明：Lorentz速度变换式中，是求某质点相对于某参考系的速度，不可能超过光速。而在同一参考系中，两质点的相对速度应该按矢量合成来计算。2．解释：在S'系中，不同地点x1'与x2'同时发生两件事

t1'= t2'，Δ t'= t1'- t2'=0，Δ x'=x1' –x2'

在S 系中

()

2

21c v x c v t t -'?+

'?=

?

由于Δ t '=0。Δ x '=x 1' – x 2'≠0，故Δ t ≠0。

可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。

即不同地点发生的两件事，对S'来说是同时发生的，而在S 系中不一定是同时发生的。

若Δ x '=x 1' – x 2'=0，则Δ t =0，即是同一地点同时发生的两件事，则在不同的惯性中也是同时发生的。 3．进一步说明：

若t 1'< t 2'，S'系中，事件1早于事件2；但是随着x 1' – x 2'的取值不同，t 1- t 2就可能小于零、大于零或等于零，既事件1可能早于事件2，也可以晚于2，或同时发生，两事件的先后次序在不同的惯性系中可能发生颠倒。 例：地球上，甲出生于：x 1，t 1；乙出生于：x 2，t 2

若x 2- x 1=3000km ，t 2- t 1= 结论：甲——哥哥，乙——弟弟

若飞船上看，v =，t 2’- t 1’=0，甲乙同时出生

v =，t 2’< t 1’=0，甲——弟弟，乙——哥哥

* 相对论可以证明，关连事件的时序具有绝对性。

* 同时性的相对性否定了各个惯性系具有统一时间的可能性，否定了牛顿的绝对时空观。

*事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后

假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过Δ t 时间后到达x +Δx 处，则由：

()

2

21c v c v x t t --=

'

得到

()

(

)()

?

?

? ?

???=--?=

-?-?=

'?t x u c v c v u t c v c v x t t 1112

2

2

2

因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δ t ’与Δt 同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

二、长度的收缩（Length Contraction ）——洛伦兹收缩

S'、S 系，棒l 相对于S'静止于O X ’轴， 棒长（固有长度，Proper Length ） l =x 2' - x 1' 用S 的坐标表示，则

2

1111

1β

--='t v x x ，2

2222

1β

--='t v x x

同时测量t 1= t 2，则

2

1212

1β

--='-'x x x x 即 2

1β

-=

'l l

或 2

1β

-'=l l

1. 固有长度

观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。即

21β-'=l l

2. 洛伦兹收缩（长度缩短）

观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的2

1β-倍，即

物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。 结论：

1.相对观察者静止，其长度测量值大；

2.相对观察运动，则在运动方向上缩短，只有原长的2

1β-倍； 3.在与运动垂直的方向上长度不变。

汤普斯金的误解（伽莫夫——物理世界奇遇记，科普读物）：高速运动的物体变扁。这是不对的，长度收缩效应只能测量出来，是看不出来的。直到1955年，James Torrel 等人才开始纠正了这个错误。

长度收缩效应是时空属性，并不是由于物体运动引起物体之间的相互作用而产生的实在的收缩。应该强调的是，狭义相对论中的长度收缩完全是相对的。

三、时间的延缓（Time Dilation ）：——时间膨胀

S'系中处有一静止的钟，两事件发生在同一地点x '，对于时刻t 1'、t 2'，时间间隔（固有时间，Proper Time ）Δ t '= t 2'- t 1'。 S 系中，时刻1t 、2t 由Lorentz 变换得到：

??? ?

?

'+'=21

1v c x t t γ，??

? ??

'+'=222v c x t t γ 所以 ()t t t t t t '?='-'=-=?γγ12

12 即 21/β-'?=?t t

可见S'系同一地点发生的两个事件的时间间隔小于S 系所记录两事件的时间间隔，即运动的钟变慢。

在一个惯性系中，先后发生在同一地点的两个事件

之间的时间间隔称为该参考系的固有时间。

S 系观察者发现自己的那些同步钟走了1秒，那只相对自己运动的钟走了还不到1秒，因而他说运动的钟变慢。

佯缪：对同一事物，用一种推理得出一个结论，而用另一种推理却得到相反得结论。

*孪生子效应（Twin Effect ），不是Twin Paradox 问题：哥哥——风华正茂

有加速度的人会变年轻——生命过程将进行缓慢，不易衰老，对身体有好处。

弟弟——白发苍苍

中国神话：天上一日，地下一年

这种效应

能够证明——1971年，美国空军Cs 原子钟证明； 相对论观点：不会出现Paradox ，广义相对论可以解释。

四、狭义相对论时空观： 1．Lorentz 变换坐标的特点：

时间坐标与空间坐标互为函数

时间坐标与空间坐标都与惯性系的相对运动有关。 2．时空观：

时间与空间的测量都与观察者所在的参考系有关，空间与时间的测量不是彼此独立的，并且它们都与物质运动状态有着密切的关系。

例一 在惯性系S 中，有两个事件同时发生，在xx ’轴上相距×103m 处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距×103m 。问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少

解：由题意知，在S 系中，，12t t =，即012=-=?t t t ，m x x 3

12100.1?=-。而

在S’系看来，时间间隔为12t t t '-'='?，空间间隔为m x x 312

100.2?='-'。

由洛伦兹坐标变换式得：

()()

()

()

()

1112

122

121212

c v x x c v t t v x x x x --=

----='-'

()()

()

2

1221212

1c v x x c

v t t t t t ----='-'='?()()

()()

2121

22212x x c v c v x x c v

'-'=--=

由（1）式得

()()c c x x x x v 2341112

12

12

12212=??? ??-=??????'-'--=

代入（2）式得

()s c t 6

3

331077.510310310223-?=??=??='?

例二 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为×1016m 。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。若宇宙飞船的速度为 c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少

解：以地球上的时钟计算：

816

103999.0103.42????=

=?v s t a 91087.28=?=（a 为annual 之首字母）；

若以飞船上的时钟计算：（原时），因为

()2

1c v t t -'

?=?

所以得

()282

999.011087.21-??=-?='?c v t t

()a s 4.01028.17=?=

例三 假设火箭上有一天线，长m l 1='，以0

45角伸出火箭体外，火箭沿水平

方向以23c u =速度运行，问地面上的观察者测得这天线的长度和天线与火箭体的交角各多少

解：在S’系中：

()m l l x 22cos450

='=' ()m l l y 22sin450

='='。

在 S 系中：

()m l l y y 22='=

()(

)

()m c u l l x

x 422312212

2=-?=-'=

所以

(

)(

)

()

m l l l y x 791.041022422

2

22==+

=

+=

()626343.63200'====arctg l l arctg x y θ

这就是洛伦兹收缩

例题四（课本第10题）在惯性系S 中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为。从另一惯性系观察到这两个事件发生的时间间隔为。问从S’系测量到这两个事件的空间间隔是多少（设系以恒定速率相对S 系沿x 轴运动。）（注

意课本原题目有印刷错误）

解：由题意知，两个事件的固有时为在s 系中的时间间隔t ?=，由时间膨

胀可得在s’系中两个事件的时间间隔为：()2

1c v t

t -?='?，所以，s’系相

对于s 系的运动速度为：

()[]

()[]

359564112

122

12c c c c t t v ==-='??-=。

由洛仑兹变换式可得在s’系测量这两个事件的空间间隔是：

()

()

t v c v t v c v t v x x '

?-=-?-

=-?-?=

'?2

2

11（逆变换式也可得到）

*一般人的思维方式——复杂性思维

遇到问题时，思考用学过的知识是怎样教我们解决这个问题的，选择以经验为基础的、最有希望的方法，排除其他一切方法，并且沿着这个明显界定的方向去解决问题。 爱因斯坦——创造性的思维

发散思维——从多角度考虑问题，挖掘所有可供选择的解决方法 形象化思维——使自己的思维形象化，非常直观

同时性的相对性——理想列车闪电实验

时间相对性——坐在火炉上和在公园柳荫下与漂亮女郎谈情说爱 善于创造——248篇论文 Edison ——1093项专利 莫扎克——600多首乐曲 独创性的组合：质能关系

质速关系

在不同的事物之间建立联系 爱因斯坦：卓别林，伟大 ——您的电影全世界都能看懂 卓别林： 爱因斯坦，伟大

——您的相对论基本没有人能看懂

§18-5 光的多普勒效应

Optical Doppler Effect

前面讨论了机械波的多普勒效应，即运动物体的频率与参考系的选择有关。本节我们讨论光的多普勒效应。

如图所示，以光源B 为S'系，S'相对于S

系以速度v 运动，以探测器A 为S 系。开始时，t A =t B =0，S'系中B 发出一脉冲信号。

S'系测得此脉冲信号得时间间隔为B t ?。

S 系测得此脉冲信号得时间间隔应为Δt A1=γΔt B ，其中21βγ-= 光信号从B →A ，需时间Δt A2=x/c ，其中x=c Δt A1为光脉冲在Δt A2时间内经过的距离。

探测器A 测得的时间间隔为：

B

B B A B B A A A t c v t c v t t c

v t c x t t t t ???

?

??+=?+?=?+?=+

?=?+?=?1 121γγγγγ

即： ()B B A t t t ??

??

?

??-+=?+=?2

/1111βββγ

S 系A 钟测得得时间Δt A 比S'系B 钟测得的时间Δt B 要长。若以Δt 表示两连续光脉冲的时间差，即振荡周期，则频率可以由1/Δt 求得为：

B A νββν2

/111???

?

??+-=

式中νA 为S 系探测器接收的光信号频率；νB 为S'系中光源发出的光脉冲信号频率（即所谓的本征频率）。

若光源向着探测器运动，则：B A νββν2

/111???

?

??-+=

结论：当光源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的光的频率与光源的频率不同，若光源的频率为ν0，光源与观察者之间相对运动的速率为ν，则观

察者接受到的频率ν为：

02

/111νβ

β

ν???

? ?

?±=μ 其中c v /=β。

若光源与观察者互相接近，上式分子取正号，分母取负号，接受到的频率大于原来的频率；

若光源与观察者互相远离，上式分子取负号，分母取正号，接受到的频率大于原来的频率。

注意：光的多普勒效应不会改变光的颜色。

§18-6 狭义相对论动力学基础

一、相对论质量（Relativitic Mass ）： 1．牛顿力学：

质点得质量m 为恒量，在外力F ?作用下，由牛顿运动定律a m F ??=可知

质点得加速度不为零，速度逐渐增大，最终可超过光速c 。 2．狭义相对论：质量不是恒量。

前提条件：系统总质量与总动量守恒，由Lorentz 变换式可导出质量与速率的关系

2

01??

? ??-=

c v m m

式中m 0为粒子的静止质量。 运动物体质量增大了。

当光源与探测器相远离时，探测器测得光的频率要小于光的本征频率——红移现象。 当光源与探测器相向运动时，探测器测得光的

3．简单推导：

假设有两个静止质量相同的小球A 、B 作完全非弹性碰撞。对于静止的S 系，假设A 碰撞前的速度为v ，碰撞后的速度为u x ，则 ()mv u m m x =+0 （1） 而在运动的S '系中，则有

()mv u m m x -='+0 （2） 碰撞前后，质量守恒，均为m + m 0，m 为运动质量，m 0为静止质量 因而： x x u u -=' 由Lorentz 变换：

x x

x x u u c

v v

u u -=--=

'21 解得： 222111c v v u u c

v

u v x x x -

=-=- （3） （1）代入（3）得：

2

2

0011c

v m m m m m m +-=-+ 即

2

2

002c

v m m m m m m +-=+ 两边同乘以()0m m m +，则有

()()22

2

02

02c

v m m m m m m -+=+

化简，得 ???

? ?

?-=2

2

22

1c v m m 所以运动时球的质量为

2

1?

?

?

?

?

-

=

c

v

m

m——质速关系式

m0——静止质量（v =0）

m——运动质量（v≠0）

例子

假设有两个静止时质量均为m的小球，发生完全非弹性碰撞前的分别相对于S系和S’系静止，S’系相对于S系以速度

v

ρ

沿x轴正向运动。下面我们分析一下在两个参照系中的观察者所看到的物理过程。

（1）S系中观察者

本系小球：

=

=P

m

v，

，

另一小球：mv

P

m

v=

，

，

所以碰撞之前：总动量

mv

=

（完全非弹性）碰撞之后：由总质量守恒知总质量为

()u

m

m，

+

0，由总动量守恒知动量为：()u

m

m+

，这里u为总质量相对S系的速度。

由动量守恒定律得：

()u

m

m

mv+

=

0（1）（2）S’系中观察者

本系小球：

=

=P

m

v，

，

另一小球：mv

P

m

v-

=

-，

，

所以碰撞之前：总动量mv

-

=，（完全非弹性）

碰撞之后：

()u

m

m'

+，

0，总动量

()u

m

m'

+

=

0，这里u’为总质量相对S’系的速度。

由动量守恒定律得：

()u

m

m

mv'

+

=

-

0（2）

由（1）式和（2）式得： u u -='

由洛伦兹速度变换可得：()

2

1c uv v u u --='，将u u -='代入上式

可得：

()()()022

2=+-c v u v u v ，解之得：2211c v u v -±=；

由（1）式得：

10?+=m m m u v ，

所以取“+”得：

220

1c v m m -=

（3）

证毕。

4．说明：

1）在宏观物体所能达到的速度范围内，质量随速度变化非常小，可以忽略不计。

例如：v =104m/s ，102

842200106.5103102121111-?=???? ???=≈--=-ββ

m m m 2）在微观粒子实验中，粒子的速度经常达到或接近光速，此时质量变化很大：例如v =，m =。

3）v >c 时，质量m 为虚数，没有意义，因而光速是物体运动速度的极限。 4）当v =c 时，分母为零，要求质量m 为有限值，则必须m 0=0。

结论：光子静止质量为零，不存在静止的光子。 5．实验验证： 1）μ子衰变；

2）Bucherer 实验：电子质量与速度有关。

二、相对论动量 1．相对论动量：

2

01??

? ??-=

=c v v m v m P ???

动量守恒普通成立。

动量公式与牛顿力学形式完全相同，但是质量的含义不同。

2．动力学方程——相对论力学的基本方程。

2

01??? ??-==

c v v

m dt

d

dt P d F ???

在c v <<时，近似为a m F ?

?=，牛顿力学成立。

（1）当c v ??时，()a

m dt v d m v m dt d F ?

???000===，相对论动力学方程回到牛顿

运动定律。

（2）

()v

dt dm dt v d m v m dt d F ???

?+==，因此外力不仅改变物体的速度还改变物体的质量。

（3）当c v →时，

0→dt v d ?

，物体速度不再改变，因此光速为物体的极限速度。 （4）由220

1c v m m -=可知当c v →时，必须00=m ，否则表达式无物

理意义。因此光子静止质量为0。

三、相对论动能：

1．公式：2

02c m mc E k -=

2．推导

质点在力F ρ

作用下，速率由v →0，力对质点所作的功等于质点动能的增

量，即质点的未动能

()()()?????=?=?=?=v v

v v

k v m d v dt r d v m d r d v m dt d r d F E 0

00?

???????

式中

()dm v mvdv dm v v v d v m v m d v 2

+=?+?=??

????? （1）

又因为：2

01??

? ??-=

c v m m

得： 2

202222c m v m c m =-

两边微分：

02222

22=--vdv m dm mv dm mc

得： mvdv dm v dm c +=2

2 （2） 由（1）（2）可得： ()dm c v m d v 2

=??

?

故有 2022

c m mc dm c

E m

m k -==?

3．说明

1）动能公式在形式上与牛顿力学不相同。 2）当v <

()

2

2

222

21121111c v c v c v +=++=-Λ（麦克劳林展开）

得： 2

2

1mv E k =

与牛顿力学结论相同。

四、相对论能量：

在相对论动能公式中，等式右端两项具有能量的量纲。

可以认为静止能量（Rest Energy ）：——所有微观粒子支能及相互作用势能之和

200c m E =

相对论能量——静止能量与动能之和（质能关系，Mass Energy Relation ） 2

mc E =

质量变化——能量变化

2

mc E ?=?

1932年，英国物理学家J. D. Cockcroft 与E. T. Walton 利用他们所设计的质子加速器进行核蜕变实验，为此他们于1951年获得Nobel 物理学奖。 说明：

1）质能关系是相对论最有意义的结论之一，一定的质量相应于的能量，二者的数值只相差一个因子c 2；

例如：电子：m 0=×10-30kg ，E =×10-14J 质子：m 0=×10-27kg ，E =×10-10J

推导过程中的关键： 动能的定义 质速关系

质量是物质惯性的量度，能量是物质运动的量度；两者是两种属性不同的物理量。

2）对于一个孤立系统，质量与能量守恒，但可以有静质量与动质量的相互转化，相应地就有动能与静能的转化；

由能量守恒 ΣE i =Σm i c 2=const 可得 Σm i =const ——质量守恒 在相对论中，二者相同一。

3）在高能物质中，质能关系有很重要的应用。 例核反应：

m 10——反应粒子的质量，m 20——反应粒子的质量 E k1——反应前的总动量，E k2——反应后的总动量 能量守恒 m 10c 2+ E k1= m 20c 2+ E k2

E k2- E k1=( m 20- m 10)c 2

令 ΔE = E k2- E k1

——核反应释放的能量

Δm = m 20- m 10

——质量亏损

则 ΔE =Δm c 2

——原子能的基本公式

例：氢核与氚核的聚变

（中子） 1

0423121n He H H +→+

已知 ()u H m 0141022.22

1

0=，()

H m 0160497.331

0= (

)

u He m

0026033.442

0=，()n m

0086652.110

0=其中 kg u 27

10660552.1-?=

反应前后静质量之和

()

u m 0301519.50=∑前

，()u m 0112685.50=∑后

静质量减少

kg u m 27

0100311.00188834.0-?==?

释放能量

J MeV eV mc E 127210799.259.1710759.1-?==?=?=?

1kg 核燃料释放的能量为×1014J ，是1kg 优质煤燃烧所释放的热量（×107J ）

的×107J 倍，即1千万多倍。

五、能量与动量的关系：

由能量公式 E=mc 2 和动量的关系式 P=mv

可得 P E

c v 2

= 带入

()

22

022

02

1/1c E Pc m c c v m mc E ??

? ??-=

-=

=

得 4

20222c m c P E +=

对于光子 00=m ，Pc E =

λνh c h c E P ===

22c

h c E m ν

==

六、质能公式在原子核裂变核聚变中的应用 1、核裂变

有些重原子核能分裂成两个较轻的核，同时释放能量，这个过程称为裂变。 生成物的总静质量比铀-235的质量要减少 ，因此一个铀-235在裂变时释放的能量为(1u=×10-27kg)

由于氚核的质量比铀-235核的质量小，所以就单位质量而言，轻核聚变释放的能量要比重核裂变时释放的能量大得多。 2、轻核聚变

有些轻原子核结合在一起形成较大原子核，同时释放能量，这个过程称为聚变。

n

Sr Xe n U 1

095381395410235922++→+

Pc

He H H 422121→+

生成物的总静质量比两个氚核的质量要减少 ，因此两个氚核在聚变时释放的能量为

(

)()

MeV

J mc E Q 200103.310310

66.1026.0 11

2

827

2=?=????=?=?=-

例题1： 静止的+

π介子衰变为+

μ轻子和中微子v ，三者的静止质量分别为

μ

πm m ，和0，求+

μ和中微子的动能。

解：衰变公式（方程）为：()()中微子介子v +→++

μπ

而且在衰变过程中动量和能量均守恒：

（1）动量守恒

因为0=νm ，所以中微子不能静止而必须具有动量v P ；衰变前总动

量为0，因此衰变后

=-v P P μ，即：

v

P P =μ （1）

（2）能量守恒

衰变前总能量2

c m π，衰变后v E E +μ，因此有：

2c m E E v πμ=+ （2）

由相对论能量和动量关系:

224

2022202c P c m c P E E +=+=

可得：

42222c m E P c μμμ-= （3） 224

22220v v v v v E E c m E P c =-=-= （4）

由（1）、（3）、（4）式可得：

24

22v E c m E =-μμ （5）

联立（2）、（5）式可解得：

()

()

π

μπ

π

μπ

μ

m c m m

E m c m m

E v

222

22

2

22

-=

+=

，

根据2

02

c m mc E k -=得：

()

()

π

μ

π

π

μ

π

μ

μ

μ

m

c

m

m

E

E

m

c

m

m

c

m

E

E

v

kv

k

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

-

=

-

=

-

=

-

=

小结：

狭义相对论揭露了空间和时间之间，以及时空和运动物质之间的深刻

联系，把牛顿力学中认为互不相关的绝对空间和绝对时间，结合称为

一种统一的运动物质的存在形式。

与经典力学相比较，狭义相对论更客观、更真实地反映了自然的规律。

狭义相对论已经被大量的实验事实所证实，而且成为研究宇宙星体、

粒子物理以及一系列工程物理等问题的基础。

在宏观、低速物体的运动，牛顿力学仍然是十分精确的理论。

狭义相对论仍然需要发展