椭圆双曲线抛物线相关知识点的总结教师版
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结
一、 椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=>
将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆
②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在
标准方程
122
22=+b
y a x )0(>>b a 122
22=+b
x a y )0(>>b a 图 形
性质
焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F
焦 距 c F F 221= c F F 221=
范 围 a x ≤，b y ≤
b x ≤，a y ≤
对 称 性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±
轴 长
长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ,短半轴长=b
a b c 、、关系 222a b c =+
离 心 率
)10(<<=
e a
c
e
通 径
22b a
焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2
2
10,0,mx ny m n m n +=>>≠
与椭圆12222=+b
y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()22
22
21x y k b a k b k +=>-++ 二、 双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12
-222MF MF a a c =<
将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线
②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在
标准方程
22
22
1x y a b -= (0,0)a b >> 22
22
1y x a b -= (0,0)a b >> 图 形
性质
焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F
焦 距 c F F 221=
c F F 221=
范 围
x a ≥，y R ∈
y a ≥，x R ∈
对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点坐标
)0,(a ± ),0(a ±，
实轴、虚轴 实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=b
a b c 、、关系 222c a b =+
离 心 率
(e 1)c
e a
=>
渐近线方程 b y x a =±
a y x b
=±
通 径
22b a
y o
a
b
x
x
y o a b
x y
a
o
焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2
2
10mx ny mn -=>
与双曲线22221x y a b
-=共焦点的双曲线系方程可设为：()
22
222
21x y
b k a a k b k -=-<<-+ 与双曲线22221x y a
b
-=共渐近线的双曲线系方程可设为：()22
220x y a b
λλ-=≠
三、 抛物线的标准方程及其几何性质
抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等
的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
直线与抛物线相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式：
122
2(sin p
AB x x p AB αα
=++=
为弦的倾斜角） 直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：
12AB x x =-=