2016年江苏省扬州市高考数学一模试卷
2016年江苏省扬州市高考数学一模试卷
二、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=．
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为．
3．（5分）如图所示的流程图，若输出的x的值为，则相应输出的y值为．
4．（5分）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为．
5．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．
6．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．
7．（5分）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为．8．（5分）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为．9．（5分）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．
10．（5分）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若?=1，则sin（2a+
）=．
11．（5分）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为．
12．（5分）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为．
13．（5分）已知在数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记
S n=a1+a2+…a n．若S n=2015，则n=．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=?，则实数a的取值范围为．
二、简答题：本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．
（1）求证：DE∥平面ABC1；
（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．
16．（14分）已知函数f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．
（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）=，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．
17．（15分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．
（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；
（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．
18．（15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式
为S=lh）
19．（16分）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．
20．（16分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．
（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；
（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
数学附加题．
21．已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x﹣y=1，求矩阵A．22．在极坐标系中，求圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值．
23．某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活
动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；
（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1=f（a n）
（1）求证：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜；
（2）求证：++…+≥4n+1﹣4．
2016年江苏省扬州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
二、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．（5分）（2016?扬州一模）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，
解得：0＜x＜2，即A=（0，2），
∵B={0，1，2}，
∴A∩B={1}，
故答案为：{1}
2．（5分）（2016?扬州一模）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为3．【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；转化思想；分析法；数系的扩充和复数．
【分析】由复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．
【解答】解：由z=i（3﹣2i）=2+3i，
则z的虚部为：3．
故答案为：3．
3．（5分）（2016?扬州一模）如图所示的流程图，若输出的x的值为，则相应输出的y
值为．
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=
的值，由x的值为，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=
的值，
由于：sin=＞cos，
所以：执行y=cos，输出y的值为．
故答案为：．
4．（5分）（2016?扬州一模）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为144．
【考点】程序框图．
【专题】对应思想；定义法；算法和程序框图．
【分析】根据频率和为1，求出男生身高在180cm以上（含180cm）的频率和频数．
【解答】解：根据频率分布直方图，得；
男生身高在180cm以上（含180cm）的频率为
1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.18；
对应的人数有800×0.18=144．
故答案为：144．
5．（5分）（2016?扬州一模）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为4．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其中a=3，b=4；
其焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0，
则焦点到其渐近线的距离d===4；
故答案为：4．
6．（5分）（2016?扬州一模）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这
2个数的和为偶数的概率是．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，求出基本事件总数和这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为偶数的概率．
【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，
基本事件总数n==10，
这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m==4，
∴这2个数的和为偶数的概率：p==．
故答案为：．
7．（5分）（2016?扬州一模）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5
项的和为31．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵a2+2a1=4，，
∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，
联立解得a1=1，q=2，
∴数列的前5项的和为=31
故答案为：31．
8．（5分）（2016?扬州一模）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为5．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；规律型；函数思想；空间位置关系与距离．
【分析】利用体积求出正四棱锥的高，求出底面对角线的长，然后求解侧棱长．
【解答】解：正四棱锥底面边长为，体积为32，
可得正四棱锥的高为h，=32，
解得h=3，
底面对角线的长为：4=8，
侧棱长为：=5．
故答案为：5．
9．（5分）（2016?淮安模拟）已知函数（0≤x＜π），且
（α≠β），则α+β=．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得α+β的值．
【解答】解：∵函数（0≤x＜π），∴≤2x+＜，
且（α≠β），不妨设α＜β，∴2α+=，2β+=2π+，
∴2α+2β=，∴α+β=，
故答案为：．
10．（5分）（2016?扬州一模）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若
?=1，则sin（2a+）=．
【考点】运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；三角函数的求值．
【分析】通过数量积推出三角函数关系，然后利用诱导公式化简所求的表达式，利用平方关系式，即可求出结果．
【解答】解：，，，，
可得2cosα+sinα=1.，又sin2α+cos2α=1，解得cosα=，
=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=．
故答案为：．
11．（5分）（2016?扬州一模）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为3．
【考点】基本不等式．
【专题】方程思想；消元法；不等式的解法及应用．
【分析】由对数的运算可得b2=a，整体代入可得=a+=a﹣1++1，由基
本不等式可得．
【解答】解：∵a＞b＞1，∴t=log a b＜1，
又∵2log a b+3log b a=7，∴2t+=7，
解得t=，或t=3（舍去），
∴t=log a b=，∴b2=a，
∴=a+=a﹣1++1
≥2+1=3，
当且仅当a﹣1=即a=2且b=时取等号．
故答案为：3
12．（5分）（2016?扬州一模）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为±1．【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的
斜率成等比数列，可得=k2，化为k2=1，即可求出直线l的斜率．
【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．
联立圆O：x2+y2=4，化为（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0．
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，
∴=k2，
∴（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2，
化为tk（x1+x2）+t2=0，
∴k?（﹣）+t=0，
∴k2=1，
∴k=±1．
故答案为：±1．
13．（5分）（2016?扬州一模）已知在数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=
（n∈N*），记S n=a1+a2+…a n．若S n=2015，则n=1343．
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a1+3=﹣a+3．分类讨论：当a∈（0，1）时，可得a n+4=a n．当a∈[1，2]时，可得：a n+2=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），
∴a2=﹣a1+3=﹣a+3．
①当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），∴a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），∴a5=a4﹣2=a∈（0，1），…，∴a n+4=a n．
∴a1+a2+a3+a4=a+（﹣a+3）+（1﹣a）+（a+2）=6．
∵S n=2015=335×6+5，∴a1=a≠5，a1+a2=3≠5，a1+a2+a3=4﹣a≠5，舍去．
②当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a∈[1，2]，∴a n+2=a n．
∵a1+a2=3，
∴S n=2015=671×3+2，a1=a=2时，n=671×2+1=1343．
故答案为：1343．
14．（5分）（2016?扬州一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=?，则实数a的取
值范围为．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】综合题；数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0
时的函数的最大值，条件等价为对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．
【解答】解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=?，
则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，
当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．
若a≤0，则当x≥0时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a+3a）=x，
∵f（x）是奇函数，
∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），
则f（x）=x，x＜0，
综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x﹣1）≤f（x）恒成立，
若a＞0，
若0≤x≤a时，f（x）=[﹣x+a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣x；
当a＜x≤2a时，f（x）=[x﹣a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣a；
当x＞2a时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a﹣3a）=x﹣3a．
即当x≥0时，函数的最小值为﹣a，
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f（x）的最大值为a，
作出函数的图象如图：
由于?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），
故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，
结合图可得1﹣3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤，
综上a≤，
故答案为：（﹣∞，]
二、简答题：本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（14分）（2016?扬州一模）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．
（1）求证：DE∥平面ABC1；
（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面ABC1．
（2）推民导出CC1⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，进而AD⊥BC1，由此能证明平面AB1D⊥平面ABC1．
【解答】证明：（1）∵D、E分别为BC、CC1中点，∴DE∥BC1，…（2分）
∵DE?平面ABC1，BC1?平面ABC1．
∴DE∥平面ABC1．…（6分）
（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，
∴CC1⊥AD，…（8分）
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC1∩BC=C，CC1，BC?平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，∵BC1?平面BCC1B1，∴AD⊥BC1，…（11分）
又∵BC1⊥B1D∩AD=D，B1D∩AD=D，B1D，AD?平面AB1D，
∴BC1⊥平面AB1D，
∵BC1?平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1．…（14分）
16．（14分）（2016?扬州一模）已知函数f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．
（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）=，且a=4，b+c=5，
求△ABC的面积．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2ωx+）+，利用周期公式可求ω，可得f（x）的解析式，由x∈[0，]，可得：sin（2x+）∈[﹣，1]，即可求值函数值域．
（2）由f（）=，结合范围A+∈（，），解得A的值，由余弦定理可得bc 的值，利用三角形面积公式即可求值得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx=×+sin2ωx=sin（2ωx+
）+，
∴由题意可得：=π，解得：ω=1，可得：f（x）=sin（2x+）+．
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，可得：sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴f（x）=sin（2x+）+∈[0，+1]．
（2）∵f（）=sin（A+）+=，A+∈（，），
∴A+=，解得：A=．
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：16=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=25﹣3bc，解得：bc=3，
∴S△ABC=bcsinA==．
17．（15分）（2016?扬州一模）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；
（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标，求得OP，MF1，MF2，的斜率，求得直线F1M的方程，F2M的方程，求得交点，即可得到所求M的横坐标；
（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．
【解答】解：（1）∵椭圆的方程为∴F1（﹣2，0），F2（2，0），
∴，
∴直线F2M的方程为：，直线F1M的方程为：，
由解得：，
∴点M的横坐标为；
（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），
∵∴
∴，
∵PO⊥F2M，
∴
即，
联立方程得：，消去y0得：
，
解得：或，
∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），
∴0＜a2﹣ac＜ac解得：，
综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．
18．（15分）（2016?扬州一模）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式
为S=lh）
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】计算题；应用题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），利用待定系数法求出，由此能求出隧道设计的拱宽．
（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出，从而20＜l≤40，S=
，由此利用导数性质能求出当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面
面积最小．
【解答】解：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），则抛物线过点，
代入抛物线方程解得：，…（3分）
令y=﹣6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．…（5分）
（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），
代入抛物线方程得：
令y=﹣h，则，解得：，
则，，…（9分）
∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，
∴，…（12分）
∴
，
当时，S'＜0；当时，S'＞0，
即S在上单调减，在（20，40]上单调增，
∴S在时取得最小值，此时，
答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．…（15分）
19．（16分）（2016?扬州一模）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．
【考点】利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用．
【分析】（1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．
（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
（3）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）=（2x2+x+2）e x，则f′（x）=（2x2+5x+3）e x=（x+1）（2x+3）e x…（2分）
令f′（x）=0，
∴，…（4分）
（2）问题转化为f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]e x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；
又e x＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；…（6分），
令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，
∵a＞0，对称轴
①当﹣1﹣≤﹣2，即时，g（x）在[﹣2，2]上单调增，
∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a≤…（8分）
②当﹣2＜﹣1﹣＜0，即时，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上单调减，在[﹣1﹣，
2]上单调增，
∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：，
∴＜a≤1+，
综上，a的取值范围是．…（10分）
（3）∵a=1，设h（x）=（x2+x+2）e x﹣x﹣4，h′（x）=（x2+3x+3）e x﹣1
令φ（x）=（x2+3x+3）e x﹣1，φ′（x）=（x2+5x+6）e x
2x
φ（x）增极大值减极小值增
∴，…（13分）∵，
∴存在x0∈（﹣1，0），x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0 ∴h（x）在（﹣∞，x1）上单调减，在（x1，+∞）上单调增
又∵
由零点的存在性定理可知：h（x）=0的根x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（0，1）即t=﹣4，0．…（16分）
20．（16分）（2016?扬州一模）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；
（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
【考点】数列的应用．
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．
（2）对m分类讨论：可得b m．进而得出前n项和．
（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不
超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）m=1，则a1=1≤1，∴b1=1；
m=2，则a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2；
m=3，则a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3．
（2）m为偶数时，则2n≤m，则；
m为奇数时，则2n≤m﹣1，则；
∴，
m为偶数时，则；
m为奇数时，则；
∴．
（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，
同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：
故，
由以下关系：
得d＜4，
∵d为正整数，∴d=1，2，3．
当d=1时，，
不合题意，舍去；
当d=2时，，
不合题意，舍去；
当d=3时，，
，
适合题意．
此时，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．
∵b3=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b3=10，
∴210≤27A＜211，∴．
当t=4时，，∴无解．
当t=5时，，∴无解．
当t=6时，，∴．
当t=7时，，∴无解，∴．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．
综上：d=3，A=64或65．
数学附加题．
21．（2016?扬州一模）已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：
x﹣y=1，求矩阵A．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【专题】转化思想；分析法；矩阵和变换．
【分析】设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．
【解答】解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），
由[]=[][]=[]，得，
又点M′（x′，y′）在l′：x﹣y=1上，
∴x′﹣y′=1，即（mx+ny）﹣y=1，
依题意，
解得：，
则矩阵A=[]．
22．（2016?扬州一模）在极坐标系中，求圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最
大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：圆ρ=8sinθ即：ρ2=8ρsinθ，化为x2+y2=8y，配方为：x2+（y﹣4）2=16，可得圆心（0，4），半径r=4．
直线θ=（ρ∈R）即y=x．
∴圆心到直线的距离d==2．
∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．
23．（2016?扬州一模）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先