2021新高考数学二轮总复习专题突破练12 三角变换与解三角形 含解析
专题突破 三角变换与解三角形
1.(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π
2
-x cos (x -2π
3
),且f (π
3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-1
3,α∈(0,π
2),求sin 2α.
2.(2020山东滨州二模,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=4, ,求△ABC 的周长L 和面积S.
在①cos A=3
5,cos C=√5
5,②c sin C=sin A+b sin B ,B=60°,③c=2,cos A=-1
4这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.
3.(2020北京,17)在△ABC 中,a+b=11,再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a 的值;
(2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①:c=7,cos A=-1
7; 条件②:cos A=1
8,cos B=916.
4.(2020山东潍坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
a=2√3,A=π
.
3
,求b;
(1)若B=π
4
(2)求△ABC面积的最大值.
5.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.
(1)求sin C的值;
,求tan∠DAC的值.
(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-4
5
6.(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin A,sin B,sin C成等差数列;②sin B,sin A,sin C 成等比数列;③2b cos C=2a-√3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且
4S=√3(b2+c2-a2),试判断△ABC的形状.
7.(2020山东潍坊一模,17)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(c-a ,sin B ),n =(b-a ,sin A+sin C ),且m ∥n . (1)求C ;
(2)若√6c+3b=3a ,求sin A.
8.(2020山东模考卷,18)在△ABC 中,∠A=90°,点D 在BC 边上.在平面ABC 内,过D 作DF ⊥BC 且DF=AC.
(1)若D 为BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC ; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD ,求cos ∠CFB.
答案及解析
1.解(1)由已知f (π
3)=1,得2a ×1
2×1
2=1,解得a=2.
所以f (x )=4cos x
√32sin x-12
cos x
=2√3sin x cos x-2cos 2x =√3sin2x-cos2x-1 =2sin (2x -π
6)-1.
所以f (x )=2sin (2x -π
6)-1的最小正周期为π.
(2)f (α)=-1
3,2sin (2α-π
6)-1=-1
3,sin (2α-π
6)=1
3,因为α∈(0,π
2),所以2α-π
6∈(-π6,5π
6
).
又因为sin (2α-π
6)=1
3<1
2,
所以2α-π6∈(0,π6).所以cos (2α-π6)=√1-sin 2(2α-π
6)=
2√2
3, 则sin2α=sin (2α-π
6)+π
6=sin (2α-π
6)cos π
6+cos (2α-π
6)sin π
6 =1
3×
√32
+
2√23
×1
2=
√3+2√2
6
. 2.解方案一:选条件①.
因为cos A=3
5,cos C=√5
5,且0 5,sin C= 2√5 5 . 在△ABC 中,A+B+C=π,即B=π-(A+C ),所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=4 5×√55+35 × 2√5 5 = 10√525 = 2√5 5 .由正弦定理得,b=asinB sinA = 4× 2√5545 =2√5. 因为sin B=sin C ,所以c=b=2√5. 所以△ABC 的周长L=a+b+c=4+2√5+2√5=4+4√5,△ABC 的面积S=1 2ab sin C=1 2×4×2√5× 2√5 5 =8. 方案二:选条件②. c sin C=sin A+b sin B , 由正弦定理得,c 2=a+b 2. 因为a=4,所以b 2=c 2-4. 又因为B=60°,由余弦定理得b 2=c 2+16-2×4×c ×1 2, 所以c 2-4c+16=c 2-4, 解得c=5.所以b=√21. 所以△ABC 的周长L=a+b+c=4+√21+5=9+√21,△ABC 的面积S=1 2ac sin B=5√3. 方案三:选条件③. c=2,cos A=-1 4,由余弦定理得,16=b 2+4+2×b×2×1 4, 即b 2+b-12=0, 解得b=3或b=-4(舍去). 所以△ABC 的周长L=a+b+c=4+3+2=9.因为A ∈(0,π),所以sin A=2A = √15 4 .所以△ABC 的面积S=12bc sin A=1 2×3×2× √154 = 3√15 4 . 3.解方案一:选条件①. (1)∵c=7,cos A=-1 7,a+b=11, ∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A=(11-a )2+72-2(11-a )×7×(-1 7),∴a=8. (2)∵cos A=-1 7,A ∈(0,π), ∴sin A=√1-cos 2A = 4√3 7. 由正弦定理得a sinA =c sinC , ∴ 4√37 =7sinC ,∴sin C=√3 2. S=1 2ba sin C=1 2(11-8)×8×√3 2 =6√3. 方案二:选条件②. (1)∵cos A=18,cos B=9 16,A ,B ∈(0,π),∴sin A=√1-cos 2A = 3√7 8 ,sin B=√1-cos 2B = 5√7 16 . 由正弦定理得a sinA =b sinB , ∴ 3√78 = 5√716 ,∴a=6. (2)sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=3√78 ×9 16+ 5√716×1 8 = √7 4 . S=1 2ba sin C=1 2(11-6)×6×√74 = 15√7 4 . 4.解(1)由正弦定理得b= a ·sinB sinA = 2√3·sin π 4sin π3 =2√2. (2)因为△ABC 的内角和A+B+C=π,A=π 3,所以0 3. 因为b=a sinA sin B=4sin B ,所以S △ABC =1 2ab sin C=4√3sin B sin 2π 3 -B =4√3sin B √3 2cos B+12sin B =6sin B cos B+2√3sin 2B =2√3sin 2B-π 6+√3.因为0 3,所以-π 6<2B-π 6<7π 6 .当2B-π 6=π 2,即B=π 3时,△ABC 面 积取得最大值3√3. 5.解(1)在△ABC 中,因为a=3,c=√2,B=45°,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=9+2-2×3×√2cos45°=5,所以b=√5.在△ABC 中,由正弦定理b sinB =c sinC ,得 √5sin45° =√2sinC ,所以sin C=√5 5. (2)在△ADC 中,因为cos ∠ADC=-4 5,所以∠ADC 为钝角, 而∠ADC+∠C+∠CAD=180°, 所以∠C 为锐角. 故cos C=√1-sin 2C =2√5 5 , 则tan C=sinC cosC =1 2. 因为cos ∠ADC=-4 5, 所以sin ∠ADC=√1-cos 2∠ADC =35,tan ∠ADC=sin∠ADC cos∠ADC =-3 4. 从而tan ∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C )=-tan(∠ADC+∠C ) =-tan∠ADC+tanC 1-tan∠ADC×tanC =--34+ 121-(-34)× 12 =2 11. 6.解方案一:选条件①. 由4S=√3(b 2+c 2-a 2)可得2bc sin A=2√3bc cos A ,所以tan A=√3.又因为0 3. 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-bc , 因为sin A ,sin B ,sin C 成等差数列, 所以2sin B=sin A+sin C ,即2b=a+c , 即(2b-c )2=b 2+c 2-bc ,可得b=c. 所以△ABC 为等边三角形. 方案二:选条件②. 由4S=√3(b 2+c 2-a 2)可得2bc sin A=2√3bc cos A ,所以tan A=√3.又因为0 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-bc , 因为sin B ,sin A ,sin C 成等比数列, 所以sin 2A=sin B·sin C ,即a 2=bc , 所以(b-c )2=0,所以b=c. 所以△ABC 为等边三角形. 方案三:选条件③. 由4S=√3(b 2+c 2-a 2)可得2bc sin A=2√3bc cos A ,所以tan A=√3.又因为0 3. 因为2b cos C=2a-√3c , 所以2sin B cos C=2sin A-√3sin C , 即2sin B cos C=2sin(B+C )-√3sin C , 可得cos B=√3 2,所以B=π 6,所以C=π 2.所以△ABC 为直角三角形. 7.解(1)因为m ∥n ,所以(c-a )(sin A+sin C )=(b-a )sin B , 由正弦定理得(c-a )(a+c )=(b-a )b , 所以a 2+b 2-c 2=ab , 所以cos C= a 2+ b 2- c 2 2ab =ab 2ab =1 2. 因为C ∈(0,π),故C=π 3. (2)由(1)知B=2π 3-A ,由题设及正弦定理得√6sin C+3sin (2π 3-A)=3sin A , 即√2 2+ √3 2cos A+12 sin A=sin A ,可得sin (A -π 3)= √2 2 . 因为0 3 3<π 3,所以cos (A -π 3)= √22 ,故sin A=sin A-π 3+ π3 =sin (A -π3)cos π 3+cos (A -π3)sin π 3= √6+√2 4 . 8.解(1)如图所示, 在△ABC中,∠A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且 DF=AC,所以S△ABC=1 2·AB·AC,S△CDF=1 2 ·CD·DF,且△CDF的面积等于△ABC的面积. 由于DF=AC,所以CD=AB. D为BC的中点,故BC=2AC,所以∠ABC=60°. (2)如图所示, 设AB=k,因为∠A=90°,∠ABC=45°,BD=3DC,DF=AC, 所以AC=k,CB=√2k,CD=√2 4 k,DF=k. 因为DF⊥BC,所以CF2=CD2+DF2, 解得CF=3√2 4 k. 且BF2=BD2+DF2,解得BF=√34 4 k.在△CBF中,利用余弦定理得cos∠ CFB=CF 2+BF2-BC2 2·CF·BF = 9 8 k2+17 8 k2-2k2 ·3√2 4 k·√34 4 k =5√17 51 .