高考数学函数与导数易错知识点

高考数学函数与导数易错知识点

错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要

根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解

集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时要注意下面几点：

1分母不为0;

2偶次被开放式非负;

3真数大于0;

40的0次幂没有意义。

函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。对于复合函数，

要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。

错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种

基本的判断方法：

一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个

段上的单调区间进行整合;

二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。研究函数问题

离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函

数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。

对于函数的几个不同的单调递增减区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区

间是该函数的单调递增减区间即可。

错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数

具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。

判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这

个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。

在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进

行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。

错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。

解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。

抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，

每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

错因分析：如果函数y=fx在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

fafb<0，那么，函数y=fx在区间a，b内有零点，即存在c∈a，b，使得fc=0，这个c也

是方程fc=0的根，这个结论我们一般称之为函数的零点定理。

函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定

理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题。

错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包

括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上

恒大于0，就会出错。

研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导函数在某个区间上

单调递增减的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大小于等于0，且导函数在此区

间的任意子区间上都不恒为零。

错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函

数的极值点。

出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零

只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时

一定要注意对极值点进行检验。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。