三、简单曲线的极坐标方程
【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义:在极坐标系中,如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ,并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上,那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
1. 直线与圆的极坐标方程
① 过极点,与极轴成α角的直线极坐标议程为
αθραθtan tan )(=∈=或R
②以极点为圆心半径等于r 的圆的
极坐标方程为 r =ρ
【知识迷航指南】
例1求(1)过点)4,
2(πA 平行于极轴的直线。 (2)过点)3,3(πA 且和极轴成
43π角的直线。 解(1)如图,在直线l 上任取一点),(θρM ,因为)4,
2(πA ,所以|MH|=224sin =?π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =
θρ,所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ。
(2)如图 ,设M ),(θρ为直线l 上一点。
)3,3(π
A , OA =3,3
π=∠AOB
x
由已知4
3π=∠MBx ,所以125343πππ=-=∠OAB ,所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在?MOA 中,根据正弦定理得 127sin )43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)4
3sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(π
A 且和极轴成43π角的直线为:23233)cos (sin +=+θθρ
〔点评〕求曲线方程,关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。
例2(1)求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程。(2)从极点O 作圆C 的弦ON ,求ON 的中点M 的轨迹方程。
解:(1)设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角?AOD 中θcos OA OD =,即 θρcos 8=, 这就是圆C 的方程。
(2)由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥,故M 在以OC 为直径的圆上。所以,动点M 的轨迹方程是:θρcos 4=。
〔点评〕 在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法,定义法,动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中(1)为直译法,(2)为定义法。此外(2)还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。
例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
(1)x y 42= (2)3π
θ= (3)12cos 2=θ
ρ (4)42cos 2=θρ
解:(1)将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2=
(2)∵x y =
θtan ∴ 33tan ==x
y π 化简得:)0(3≥=x x y (3)∵12cos 2=θρ ∴ 12cos 1=+θρ。即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。 化简得 )1(42--=x y 。
(4)由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x
〔点评〕 (1)注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定
πθρ20,0<≤>
(3)由极坐标方程化为极坐标方程时,要注意等价性。如本例(2)中。由于 一般约定.0>ρ故3πθ=表示射线。若将题目改为)(3R ∈=ρπθ 则方程化为:x y 3= 〔解题能力测试〕
1 判断点)35,21(π-是否在曲线2
cos θρ=上。 2.将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
(1)01222=--+x x y ;
(2)θ
ρcos 21-=。
3.下列方程各表示什么曲线?
(1)a y =: 。
(2)a =ρ: 。
(3)αθ=: 。
〔潜能强化训练〕
1极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是() A2B2C1D2
2 2在极坐标系中,点)2,
3(π关于6πθ=)(R ∈ρ的对称的点的坐标为 ( ) A )0,3( B )2,3(π C )32,3(π- D )6
11,3(π 3在极坐标系中,过点)3,
3(π且垂直于极轴的直线方程为( ) A 2
3cos =θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23= 4 极坐标方程 )0(22cos ≥=
ρθ 表示的曲线是 ( ) A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线
5 已知直线的极坐标方程为 22)4sin(=+
πθρ,则极点到该直线的距离是: 。 6 圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是: 。
7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ,P 为OM 上一点,已知1=OM OD 。 求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。
〔知识要点归纳〕
1 直线,射线的极坐标方程。
2 圆的极坐标方程
三、简单曲线的极坐标方程
〔解题能力测试〕
1、在
2、(1)2222cos 10(2)34210x y x ρρθ--=+--=
3、(1)在直角坐标下,平行于X 轴的直线。(2)在极坐标下,表示圆心在极点半径为a 的圆。(3)在极坐标下,表示过极点倾斜角为α的射线。
〔潜能强化训练〕
1、D
2、D
3、A
4、D 5
6.(1,)4π
7、以O 为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,直线方程化为2cos 4sin 10ρθρθ+-=,设000000(,).(,)2cos 4sin 10M P ρθρθρθρθ+-=则又000011θθθθρρρρ?=?=????==????
知 代入得:11
2cos 4sin 10,2cos 4sin θθρθθρρ+-=∴=+