概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确
(),n
T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ,
0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i
A p p p p n
B AB E AB E
??
???
?????
??
??=????==?? 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 ○
注:全体n 维实向量构成的集合n
R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的??
??
?????特征向量
○
注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+?
+=?+=???
有非零解=-
?
?
?????
→????
具有
向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???:
①称为n
的标准基,n
中的自然基,单位坐标向量87p 教材; ②12,,,n e e e ???线性无关; ③12,,,1n e e e ???=; ④tr =E n ;
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.
行列式的定义 12121211
12121222()121
2()n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
√ 行列式的计算:
①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A B 与都是方阵(不必同阶),则
==()mn A O A A O
A B O B O B B O
A A A B
B O
B O
*==**
=-1(拉普拉斯展开式)
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线:
(1)2
1121
21
1211
1
()n n n
n
n n n n n n n a O
a a a a a a a O
a O
---*
==-
1 (即:所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和)
⑤范德蒙德行列式:()1
2
2
22
1211
1112n
i j n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏
111
矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11
121212221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ??
?
?
= ?
?
??
称为m n ?矩阵.记作:()ij m n A a ?=或m n A ?
伴随矩阵 ()
1121112222*
12n T
n ij
n
n
nn A A A A A A A A A A A ?? ?
?
== ? ?
??
,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:
① 1
A A A *-= ○注: 1
a b d b c d c a ad bc --????= ? ?
--????
1 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→ 初等行变换
③1
2
31
1
1
1
2
13a a a a a a -????
? ?
=
? ? ? ? ??
??
?
3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -????
? ?
=
? ? ? ? ?????
√ 方阵的幂的性质:m
n
m n
A A A
+= ()()m n mn A A =
√ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???,
则
m s
AB C ?=?
()()1112121222121212
,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα?? ? ????= ? ??? ?
i i
A c β= ,
(,,)i s = 1,2?
i
β为
i
Ax c =的解
?()()()121
2
12,,,,
,,,
,,s s s A A A A
c c c ββββββ???=
???= ?12,,,s c c c 可由12,,,n ααα???线性表示.即:C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵. 同理:C 的行向量能由B 的行向量线性表示,T
A 为系数矩阵.
即: 11
1211121
222221
2
n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ?????? ??? ?
??? ?= ??? ? ??? ??????? ?111122121
211222222
11222n n m m mn m
a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+++=??
??+++=? √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
行向量;
用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵:T
T
T T
T A B A C C D B
D ??
??= ? ?????
分块矩阵的逆矩阵:1
11A A B B ---????
=
? ????
? 1
11A B B
A
---?
?
??= ? ?????
1111A C A A CB O B O
B ----????= ? ????? 1111A O A O
C B B CA
B ----????= ? ?
-???? 分块对角阵相乘:11
112222,A B A B A B ????==
? ????
??1111
2222A B AB A B ??= ??
?,1122n
n n A A A ??
= ???
分块对角阵的伴随矩阵:*
*
*A BA B AB ????=
? ????? *
(1)(1)mn mn A A B B
B A **?
?
-?
?= ? ?
?-????
√ 矩阵方程的解法(0A ≠):设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) A B E X ????→ 初等行变换
(I)的解法:构造()()
T T T T
A X
B X X
=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动)
④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动) ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<; m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=.
⑨ 若12,,,n ααα???线性无关,而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系; 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ; 对A 施行一次初等○
列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○
右乘A .
矩阵的秩 如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式,且任意r +1阶子式均为零,则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r = 向量组的秩 向量组12,,,n ααα 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα
矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =
向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作:()()1212,,,,,,n n αααβββ???=???
? 矩阵A 与B 等价?PAQ B =,,P Q 可逆?()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价.
? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示?AX B =有解?12(,,,)=n r ααα???1212(,,,,,,)n s r αααβββ???????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >,则12,,,s βββ???线性相关.
向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .
? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价;p 教材94,例10 ? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
? 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A 是m n ?矩阵,若()r A m =,A 的行向量线性无关;
若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα???线性无关. √ 矩阵的秩的性质:
①()A O r A ≠?若≥1 ()0A O r A =?=若 0≤()m n r A ?≤min(,)m n ②()()()T T r A r A r A A == p 教材101,例15
③()()r kA r A k =≠ 若0
④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?
若若0的列向量全部是的解
⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥
()()()()
A r A
B r B B r AB r A ?=?=若可逆若可逆 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O
A A
B A
C B C ο??=??
=??=???=?=??????=?=??
? 只有零解
在矩阵乘法中有左消去律;
若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=??
? 在矩阵乘法中有右消去律.
⑧()r
r E O E O r A r A A O O O O ????
=?
? ?????
若与唯一的等价,称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ????==+ ? ????? ()()A C r r A r B O B ??
≠+ ???
121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα?=?????→=??=?=?=?=?????→≠?=?? 当为方阵时
当为方阵时有无穷多解0
表示法不唯一
线性相关有非零解
可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则
表示法唯一 线127()(),,,()()()1()
n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ?
????
?
????=??
??≠?
?=???+=?
教材72
讲义8性无关只有零解
不可由线性表示无解 ○
注:Ax Ax ββ?
=<≠?
=<≠
有无穷多解其导出组有非零解
有唯一解其导出组只有零解
线性方程组的矩阵式 Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=
111211121
222221
2
,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????
? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
12,,2,,j j j mj j n αααα?? ? ?
== ? ? ???
1 1212(,,,)
n n x x x αααβ?? ? ?= ? ???
矩阵转置的性质: ()T T A A = ()T T T AB B A = ()T T kA kA =
T A A =
()T T T A B A B ±=± 11()()T T A A --= ()()T T A A **=
矩阵可逆的性质: 11()A A --=
111()AB B A ---= 111()kA k A ---=
1
1A A --= 111()A B A B ---±≠± 11()()k k k A A A ---==
伴随矩阵的性质:
2
()n A A
A -**= ()A
B B A ***=
1()n kA k A *-*=
1
n A A
-*=
***()A B A B ±≠±
11()()A A
A A -**-==
()()k k A A **=
() () 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=??
==-??<-?
若若若
AB A B =
n kA k A = k
k A A =
A B A B ±≠±
AA A A A E **==(无条件恒成立)
线性方程组解的性质:1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+??=??
=??++?
==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解
211212112212112212),(7),,,,1
00k k k k
k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη
ληληλλλ?????
????
???
?=?-=?
=??++=?++=??++=?++=? 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则
也是的解 是的解
√ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =?()()r A r A β= ?Ax β=一定有解,
当m n <时,一定不是唯一解?<方程个数未知数的个数
向量维数向量个数
,则该向量组线性相关.
m 是()()r A r A β 和的上限.
√ 判断12,,,s ηηη 是Ax ο=的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηη 线性无关; ② 12,,,s ηηη 都是Ax ο=的解;
③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
√ 若η*
是Ax β=的一个解,1,,,s ξξξ 是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη* 线性无关 √ Ax ο=与Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解?()()A r r A r B B ??
==
???
. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解,并且同解?()()A r r A r B B βγ??
==
???
.
√ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =(左乘可逆矩阵P );101p 教材 矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =(右乘可逆矩阵Q ). √ 关于公共解的三中处理办法:
① 把(I)与(II)联立起来求解;
② 通过(I)与(II)各自的通解,找出公共解;
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系,则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即:1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时,设11122c c ξηη++是(I)的通解,233c ξη+是(II)的通解,两方程组有公共解?2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即:12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-
③ 设(I)的通解已知,把该通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共
解。
标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量()12,,,T
n a a a α= 与()12,,,T
n b b b β= 的内积 11221
(,)n
i i n n i a b a b a b a b αβ==
=
+++∑
αβ与正交 (,)0αβ=. 记为:αβ⊥
向量()12,,,T
n a a a α= 的长度
2222
121
(,)n
i n
i a a a a ααα====+++∑ α是单位向量 (,)1ααα==. 即长度为1的向量.
√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=
③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==
A 的特征矩阵 E A λ-.
A 的特征多项式 ()E A λ?λ-=.
√ ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?=
A 的特征方程 E A λ-=0. Ax x x Ax x λ=→ (为非零列向量) 与线性相关
√ 12n A λλλ=
1
n
i
A λ
=∑tr ,A tr 称为矩阵A 的迹.
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.
√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.
√ ()1r A =?A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???
、21122()n n A a b a b a b A =+++ ,从而A 的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++ tr , 23n λλλ==== 0 p 指南358.
○注()12,,,T
n a a a 为A 各行的公比,()12,,,n
b b b 为A 各列的公比. √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ ,()f A 是多项式,则:
① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0
②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ ;12()()()()n f A f f f λλλ= .
√ 初等矩阵的性质:
(,)E i j =-1 [()]E i k k = [,()]E i j k =1 (,)(,)T E i j E i j = [()][()]T E i k E i k =
[,()][,()]T E i j k E j i k = 1(,)(,)E i j E i j -= 11[()][()]k E i k E i -= 1[,()][,()]E i j k E i j k -=- *(,)(,)E i j E i j =-
*1[()][()]
k E i k kE i = *[,()][,()]E i j k E i j k =-
√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ 为A 的一个多项式.
√ 1231
122,T A m m
k kA
a b aA bE A A A A A A λ
λλλλλλλλλλλ-*
??++???= 是的特征值则:分别有特征值 .???
???
√ 123
1122,A m m
k kA
a b aA bE
A
x A x A A A λλλλλλλλλλλ-*??++????=?????
是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2,m A A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与T
A 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
A 与
B 相似 1P AP B -= (P 为可逆矩阵) 记为:A B A 与B 正交相似 1P AP B -= (P 为正交矩阵)
A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ (称Λ是A 的相似标准形)
√ A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1
P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:
12
1212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n P
P
A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ
??
?
?===
? ??
?
. ○注:当i λ=0为A 的重的特征值时,A 可相似对角化?i
λ的重数()n r A =-= Ax ο=基础解系的个数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化.
√ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数(重根重复计算)()r A =.
√ 若A Λ ?k A =1k P P -Λ,1211()()()()()n g g g A Pg P P P g λλλ--??
?
?=Λ= ? ?
?
? √ 相似矩阵的性质:
①
E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
○注x 是A 关于0λ的特征向量,1
P x -是B 关于0
λ的特征向量. ②A B =tr tr
③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④()()r A r B =
⑤T
T
A B ;1
1
A B -- (若,A B 均可逆);*
*
A B ⑥k
k
A B (k 为整数);()()f A f B ,()()f A f B =
⑦,A B
A B C D C D ????
? ?
????
?
○
注前四个都是必要条件. √ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质:
① 特征值全是实数,特征向量是实向量;
② 不同特征值对应的特征向量必定正交;
○
注:对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; ③一定有n 个线性无关的特征向量.
若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--;
④必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形; ⑤与对角矩阵合同,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形; ⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.
正交矩阵 T
AA E =
√ A 为正交矩阵?A 的n 个行(列)向量构成n
的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质:① 1
T A A -=;
② T
T
AA A A E ==;
③ 正交阵的行列式等于1或-1;
④ A 是正交阵,则T
A ,1
A -也是正交阵; ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵;
⑥ A 的行(列)向量都是单位正交向量组.
二次型 1211
(,,,)n n
T
n ij i
j
i j f x x x x Ax a x x
====
∑∑ ij ji a a =,即A 为对称矩阵,12(,,,)T n x x x x =
A 与
B 合同 T
C AC B =. 记作:A B (,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵)
正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - 符号差 2p r - (r 为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =
√ 12(,,,)T
n f x x x x Ax = 经过正交变换
合同变换
可逆线性变换
x Cy =化为21
n
i i f d y =∑标准形.
√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由
()r A +正惯性指数负惯性指数
唯一确定的.
√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . √ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.
√ 惯性定理:任一实对称矩阵A
与唯一对角阵111
10
0??
?
?
? ?- ? ? ?
- ?
? ? ?
??
?
合同. √ 用正交变换化二次型为标准形:
① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量正交规范化;
③ 构造C (正交矩阵),作变换x Cy =,则
1112221()()T
T T T T n n n y d y y
d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -??
????
? ???
?
???=== ? ??? ?
???
??????
④ 新的二次型为
2
1
n
i i f d y =∑,Λ的主对角上的元素
i d 即为A 的特征值.
施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,
11
21221113132331
21122(,)
(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??
?=--??
正交化
单位化:111βηβ=
222β
ηβ= 333
βηβ= 技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交,再把第二个解向量代入方
程,确定其自由变量. 例如:123x x x +-=0取1β-?? ?= ? ???1 1 0,2β?? ?
= ? ???
112.
正定二次型 12,,,n x x x 不全为零,12(,,,)n f x x x > 0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
√ ()T f x x Ax =为正定二次型?(之一成立):
① x ο?≠ ,T
x Ax >0;
② A 的特征值全大于0; ③ f 的正惯性指数为n ; ④ A 的所有顺序主子式全大于0;
⑤ A 与E 合同,即存在可逆矩阵C 使得T
C AC E =;
⑥ 存在可逆矩阵P ,使得T
A P P =;
⑦ 存在正交矩阵C ,使得121T n C AC C AC λλλ-?? ?
?== ? ?
?
? (i
λ大于0). ⑧ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ A 为正定矩阵?ii a >0 ; 0A >. √ A 为正定矩阵?1,,T A A A -*也是正定矩阵. √ A 与B 合同,若A 为正定矩阵?B 为正定矩阵
√ ,A B 为正定矩阵?A B +为正定矩阵,但,AB BA 不一定为正定矩阵.