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考研数学线代定理公式总结

概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确

(),n

T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ,

0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i

A p p p p n

B AB E AB E

??

???

?????

??

??=????==?? 是初等阵

存在阶矩阵使得 或 ○

注:全体n 维实向量构成的集合n

R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的??

??

?????特征向量

注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

+=?+=???

有非零解=-

?

?

?????

→????

具有

向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???:

①称为n

的标准基,n

中的自然基,单位坐标向量87p 教材; ②12,,,n e e e ???线性无关; ③12,,,1n e e e ???=; ④tr =E n ;

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.

行列式的定义 12121211

12121222()121

2()n n n

n n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

1

√ 行列式的计算:

①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若A B 与都是方阵(不必同阶),则

==()mn A O A A O

A B O B O B B O

A A A B

B O

B O

*==**

=-1(拉普拉斯展开式)

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④关于副对角线:

(1)2

1121

21

1211

1

()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-

1 (即:所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和)

⑤范德蒙德行列式:()1

2

2

22

1211

1112n

i j n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏

111

矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11

121212221

2

n n m m mn a a a a a a A a a a ??

?

?

= ?

?

??

称为m n ?矩阵.记作:()ij m n A a ?=或m n A ?

伴随矩阵 ()

1121112222*

12n T

n ij

n

n

nn A A A A A A A A A A A ?? ?

?

== ? ?

??

,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:

① 1

A A A *-= ○注: 1

a b d b c d c a ad bc --????= ? ?

--????

1 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→ 初等行变换

③1

2

31

1

1

1

2

13a a a a a a -????

? ?

=

? ? ? ? ??

??

?

3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -????

? ?

=

? ? ? ? ?????

√ 方阵的幂的性质:m

n

m n

A A A

+= ()()m n mn A A =

√ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???,

m s

AB C ?=?

()()1112121222121212

,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα?? ? ????= ? ??? ?

i i

A c β= ,

(,,)i s = 1,2?

i

β为

i

Ax c =的解

?()()()121

2

12,,,,

,,,

,,s s s A A A A

c c c ββββββ???=

???= ?12,,,s c c c 可由12,,,n ααα???线性表示.即:C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵. 同理:C 的行向量能由B 的行向量线性表示,T

A 为系数矩阵.

即: 11

1211121

222221

2

n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ?????? ??? ?

??? ?= ??? ? ??? ??????? ?111122121

211222222

11222n n m m mn m

a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+++=??

??+++=? √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○

行向量;

用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○

列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

√ 分块矩阵的转置矩阵:T

T

T T

T A B A C C D B

D ??

??= ? ?????

分块矩阵的逆矩阵:1

11A A B B ---????

=

? ????

? 1

11A B B

A

---?

?

??= ? ?????

1111A C A A CB O B O

B ----????= ? ????? 1111A O A O

C B B CA

B ----????= ? ?

-???? 分块对角阵相乘:11

112222,A B A B A B ????==

? ????

??1111

2222A B AB A B ??= ??

?,1122n

n n A A A ??

= ???

分块对角阵的伴随矩阵:*

*

*A BA B AB ????=

? ????? *

(1)(1)mn mn A A B B

B A **?

?

-?

?= ? ?

?-????

√ 矩阵方程的解法(0A ≠):设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) A B E X ????→ 初等行变换

(I)的解法:构造()()

T T T T

A X

B X X

=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动)

④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动) ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<; m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=.

⑨ 若12,,,n ααα???线性无关,而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系; 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:

对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ; 对A 施行一次初等○

列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○

右乘A .

矩阵的秩 如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式,且任意r +1阶子式均为零,则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r = 向量组的秩 向量组12,,,n ααα 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα

矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =

向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作:()()1212,,,,,,n n αααβββ???=???

? 矩阵A 与B 等价?PAQ B =,,P Q 可逆?()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.

矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价.

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示?AX B =有解?12(,,,)=n r ααα???1212(,,,,,,)n s r αααβββ???????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >,则12,,,s βββ???线性相关.

向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价;p 教材94,例10 ? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.

? 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A 是m n ?矩阵,若()r A m =,A 的行向量线性无关;

若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα???线性无关. √ 矩阵的秩的性质:

①()A O r A ≠?若≥1 ()0A O r A =?=若 0≤()m n r A ?≤min(,)m n ②()()()T T r A r A r A A == p 教材101,例15

③()()r kA r A k =≠ 若0

④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?

若若0的列向量全部是的解

⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B

()()()()

A r A

B r B B r AB r A ?=?=若可逆若可逆 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O

A A

B A

C B C ο??=??

=??=???=?=??????=?=??

? 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律;

若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=??

? 在矩阵乘法中有右消去律.

⑧()r

r E O E O r A r A A O O O O ????

=?

? ?????

若与唯一的等价,称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ????==+ ? ????? ()()A C r r A r B O B ??

≠+ ???

121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα?=?????→=

当为方阵时有无穷多解0

表示法不唯一

线性相关有非零解

可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则

表示法唯一 线127()(),,,()()()1()

n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ?

????

?

????=??

??≠?

?=?

教材72

讲义8性无关只有零解

不可由线性表示无解 ○

注:Ax Ax ββ?

=<≠?

=<≠

有无穷多解其导出组有非零解

有唯一解其导出组只有零解

线性方程组的矩阵式 Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=

111211121

222221

2

,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????

? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????

12,,2,,j j j mj j n αααα?? ? ?

== ? ? ???

1 1212(,,,)

n n x x x αααβ?? ? ?= ? ???

矩阵转置的性质: ()T T A A = ()T T T AB B A = ()T T kA kA =

T A A =

()T T T A B A B ±=± 11()()T T A A --= ()()T T A A **=

矩阵可逆的性质: 11()A A --=

111()AB B A ---= 111()kA k A ---=

1

1A A --= 111()A B A B ---±≠± 11()()k k k A A A ---==

伴随矩阵的性质:

2

()n A A

A -**= ()A

B B A ***=

1()n kA k A *-*=

1

n A A

-*=

***()A B A B ±≠±

11()()A A

A A -**-==

()()k k A A **=

() () 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=??

==-??<-?

若若若

AB A B =

n kA k A = k

k A A =

A B A B ±≠±

AA A A A E **==(无条件恒成立)

线性方程组解的性质:1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+??=??

=??++?

==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解

211212112212112212),(7),,,,1

00k k k k

k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη

ληληλλλ?????

????

???

?=?-=?

=??++=?++=??++=?++=? 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则

也是的解 是的解

√ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =?()()r A r A β= ?Ax β=一定有解,

当m n <时,一定不是唯一解?<方程个数未知数的个数

向量维数向量个数

,则该向量组线性相关.

m 是()()r A r A β 和的上限.

√ 判断12,,,s ηηη 是Ax ο=的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηη 线性无关; ② 12,,,s ηηη 都是Ax ο=的解;

③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.

√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√ 若η*

是Ax β=的一个解,1,,,s ξξξ 是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη* 线性无关 √ Ax ο=与Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解?()()A r r A r B B ??

==

???

. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解,并且同解?()()A r r A r B B βγ??

==

???

.

√ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =(左乘可逆矩阵P );101p 教材 矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =(右乘可逆矩阵Q ). √ 关于公共解的三中处理办法:

① 把(I)与(II)联立起来求解;

② 通过(I)与(II)各自的通解,找出公共解;

当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系,则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.

即:1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+

当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时,设11122c c ξηη++是(I)的通解,233c ξη+是(II)的通解,两方程组有公共解?2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即:12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-

③ 设(I)的通解已知,把该通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共

解。

标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量()12,,,T

n a a a α= 与()12,,,T

n b b b β= 的内积 11221

(,)n

i i n n i a b a b a b a b αβ==

=

+++∑

αβ与正交 (,)0αβ=. 记为:αβ⊥

向量()12,,,T

n a a a α= 的长度

2222

121

(,)n

i n

i a a a a ααα====+++∑ α是单位向量 (,)1ααα==. 即长度为1的向量.

√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=

③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==

A 的特征矩阵 E A λ-.

A 的特征多项式 ()E A λ?λ-=.

√ ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?=

A 的特征方程 E A λ-=0. Ax x x Ax x λ=→ (为非零列向量) 与线性相关

√ 12n A λλλ=

1

n

i

A λ

=∑tr ,A tr 称为矩阵A 的迹.

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.

√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.

√ ()1r A =?A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???

、21122()n n A a b a b a b A =+++ ,从而A 的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++ tr , 23n λλλ==== 0 p 指南358.

○注()12,,,T

n a a a 为A 各行的公比,()12,,,n

b b b 为A 各列的公比. √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ ,()f A 是多项式,则:

① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0

②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ ;12()()()()n f A f f f λλλ= .

√ 初等矩阵的性质:

(,)E i j =-1 [()]E i k k = [,()]E i j k =1 (,)(,)T E i j E i j = [()][()]T E i k E i k =

[,()][,()]T E i j k E j i k = 1(,)(,)E i j E i j -= 11[()][()]k E i k E i -= 1[,()][,()]E i j k E i j k -=- *(,)(,)E i j E i j =-

*1[()][()]

k E i k kE i = *[,()][,()]E i j k E i j k =-

√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ 为A 的一个多项式.

√ 1231

122,T A m m

k kA

a b aA bE A A A A A A λ

λλλλλλλλλλλ-*

??++???= 是的特征值则:分别有特征值 .???

???

√ 123

1122,A m m

k kA

a b aA bE

A

x A x A A A λλλλλλλλλλλ-*??++????=?????

是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2,m A A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与T

A 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

A 与

B 相似 1P AP B -= (P 为可逆矩阵) 记为:A B A 与B 正交相似 1P AP B -= (P 为正交矩阵)

A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ (称Λ是A 的相似标准形)

√ A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1

P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:

12

1212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n P

P

A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ

??

?

?===

? ??

?

. ○注:当i λ=0为A 的重的特征值时,A 可相似对角化?i

λ的重数()n r A =-= Ax ο=基础解系的个数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化.

√ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数(重根重复计算)()r A =.

√ 若A Λ ?k A =1k P P -Λ,1211()()()()()n g g g A Pg P P P g λλλ--??

?

?=Λ= ? ?

?

? √ 相似矩阵的性质:

E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

○注x 是A 关于0λ的特征向量,1

P x -是B 关于0

λ的特征向量. ②A B =tr tr

③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④()()r A r B =

⑤T

T

A B ;1

1

A B -- (若,A B 均可逆);*

*

A B ⑥k

k

A B (k 为整数);()()f A f B ,()()f A f B =

⑦,A B

A B C D C D ????

? ?

????

?

注前四个都是必要条件. √ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质:

① 特征值全是实数,特征向量是实向量;

② 不同特征值对应的特征向量必定正交;

注:对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; ③一定有n 个线性无关的特征向量.

若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--;

④必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形; ⑤与对角矩阵合同,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形; ⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.

正交矩阵 T

AA E =

√ A 为正交矩阵?A 的n 个行(列)向量构成n

的一组标准正交基.

√ 正交矩阵的性质:① 1

T A A -=;

② T

T

AA A A E ==;

③ 正交阵的行列式等于1或-1;

④ A 是正交阵,则T

A ,1

A -也是正交阵; ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵;

⑥ A 的行(列)向量都是单位正交向量组.

二次型 1211

(,,,)n n

T

n ij i

j

i j f x x x x Ax a x x

====

∑∑ ij ji a a =,即A 为对称矩阵,12(,,,)T n x x x x =

A 与

B 合同 T

C AC B =. 记作:A B (,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵)

正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - 符号差 2p r - (r 为二次型的秩)

√ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =

√ 12(,,,)T

n f x x x x Ax = 经过正交变换

合同变换

可逆线性变换

x Cy =化为21

n

i i f d y =∑标准形.

√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由

()r A +正惯性指数负惯性指数

唯一确定的.

√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . √ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.

√ 惯性定理:任一实对称矩阵A

与唯一对角阵111

10

0??

?

?

? ?- ? ? ?

- ?

? ? ?

??

?

合同. √ 用正交变换化二次型为标准形:

① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量正交规范化;

③ 构造C (正交矩阵),作变换x Cy =,则

1112221()()T

T T T T n n n y d y y

d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -??

????

? ???

?

???=== ? ??? ?

???

??????

④ 新的二次型为

2

1

n

i i f d y =∑,Λ的主对角上的元素

i d 即为A 的特征值.

施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,

11

21221113132331

21122(,)

(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??

?=--??

正交化

单位化:111βηβ=

222β

ηβ= 333

βηβ= 技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交,再把第二个解向量代入方

程,确定其自由变量. 例如:123x x x +-=0取1β-?? ?= ? ???1 1 0,2β?? ?

= ? ???

112.

正定二次型 12,,,n x x x 不全为零,12(,,,)n f x x x > 0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

√ ()T f x x Ax =为正定二次型?(之一成立):

① x ο?≠ ,T

x Ax >0;

② A 的特征值全大于0; ③ f 的正惯性指数为n ; ④ A 的所有顺序主子式全大于0;

⑤ A 与E 合同,即存在可逆矩阵C 使得T

C AC E =;

⑥ 存在可逆矩阵P ,使得T

A P P =;

⑦ 存在正交矩阵C ,使得121T n C AC C AC λλλ-?? ?

?== ? ?

?

? (i

λ大于0). ⑧ 合同变换不改变二次型的正定性.

√ A 为正定矩阵?ii a >0 ; 0A >. √ A 为正定矩阵?1,,T A A A -*也是正定矩阵. √ A 与B 合同,若A 为正定矩阵?B 为正定矩阵

√ ,A B 为正定矩阵?A B +为正定矩阵,但,AB BA 不一定为正定矩阵.

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