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其他不等式的解法_1

其他不等式的解法

主 题 其他不等式的解法 教学内容 1. 掌握分式不等式的解法; 2. 掌握含绝对值不等式的解法。 一、分式不等式: 解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ,我们还可以用分类讨论的思想来求解 因为满足不等式组???<->+0104x x 或???>-<+0 104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立,且反过来也是对的,故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集. 试着用这种方法解下列三个不等式,你发现和我们用图像解的答案一样吗? (1)0)3)(2(>-+x x (2)0)2(<-x x (3))(0))((b a b x a x >>-- 让学生说说是怎么讨论的,最终大家会发现,无论是哪种理解方法,最终的结论是一样的,当二次项系数为正时,小于零是两根之间,大于零是两根之外。 (1) ()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同,为什么? (2)()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同,为什么? 通过转化为一元一次不等式组,进而进行比较。会发现(1)的解集是相同的,(2)的解集是不同的,由于分母不能为零,分式的不等式端点2不能取等。

练习:解不等式 (1) 073<+-x x (2)025152≤+-x x 解:(1)07 3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同, 解(3)(7)0x x -+<得:73x -<< 所以原不等式解集为:(7,3)- (2)025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤??+≠? 的解集相同 解(215)(52)0520x x x -+≤?? +≠? 得:51522x -<≤ 二、绝对值不等式: 1. a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或 不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<; 引导学生结合绝对值的几何意义,通过数轴求解 当0的解集是 R 不等式 a x <的解集是 ; φ 用绝对值的非负性很容易理解 2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈

一元一次不等式组的解法常考题型讲解

一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念: 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集: 一般地,几个不等式的解集的 公共部分 ,叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表: 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式组的概念 1. (2017春雁塔区校级月考)下列不等式组:①???<->32x x ,②???>+>420 x x ,③???>+<+4 2122x x x , ④???-<>+703x x ,⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

题型2:考察一元一次不等式组的解法 2.(2018春天心区校级期末)不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是( ) 3.解下列不等式组,并在数轴上表示解集: ! (1)?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x (2)?????≥-+->-154245 3312x x x x (3)?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x (4)?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —

(5)?????-<+-<-2322125.05.7x x x x (6)?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ! 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \

一元二次不等式及其解法教学设计

一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范.

一元一次不等式及其解法常考题型讲解

一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1且系数不为0的不等式,称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项: ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数,去分母后分子是多项式时,分子要加括号。 ②系数化为1时,注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式的概念 1. (2017春昭通期末)下列各式:①5≥-x ;②03<-x y ;③05<+πx ;④ 32≠+x x ; ⑤x x 333≤+;⑥02<+x 是一元一次不等式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.(2017春启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是( ) A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.(2017春寿光市期中)若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为( ) A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2:考察一元一次不等式的解法 4. (2016秋太仓市校级期末)解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1))21(3)35(2x x x --≤+ (2)2 2531-->+ x x

5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.(2016秋相城区期末)若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时,求x 的取值范围。 7. (2017春开江县期末)请阅读求绝对值不等式3x 的解集的过程: 因为3x ,从如图2所示的数轴上看:小于3-的数和大于3的数的绝对值是大于3,所以3>x 的解集是3-x 。 解答下列问题: (1)不等式a x <(0>a )的解集为, 不等式a x >(0>a )的解集为; (2)解不等式42<-x ; (3)解不等式75>-x 。

元高次不等式的解法

元高次不等式的解法 The manuscript was revised on the evening of 2021

一元高次不等式的解法 步骤:正化,求根,标轴,穿线(奇过偶不过),定解 穿根法(零点分段法)(高次不等式:数轴穿根法: 奇穿,偶不穿)解题方法:数轴标根法。 解题步骤: (1)首项系数化为“正” (2)移项通分,不等号右侧化为“0” (3)因式分解,化为几个一次因式积的形式 (4)数轴标根。 求解不等式:)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 解法:①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->形式,并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便) ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点。(即从右向左、从上往下:看x 的次数:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过)。注意:奇穿偶不穿。 ④若不等式(x 系数化“+”后)是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间: 注意:“≤或≥”标根时,分子实心,分母空心。 例1: 求不等式223680x x x --+>的解集。 解:将原不等式因式分解为:(2)(1)(4)0x x x +--> 由方程:(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==,将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图 由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为:{}|21,4x x x -<<>或 (1)()()()()00,f x f x g x g x >??> ()() ()()(2)00;f x f x g x g x

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞-?++∞ 当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结:

如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根, 所以,讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所以 只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 又如不等式22(1)40ax a x -++>,注意:有些同学发现其可以因式分解,就直接写成 (2)(2)0ax x -->,然后开始判断两根 2 a 和2的大小关系,这样做是有问题的。 事实上,这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式,所以参数a 是有可能为0 的。讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。所以此不等式的解集应该是: 注意,0a >和0a <时解区间的状况不同,一种为中间,一种为两边。 二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式 这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<(或,,>≤≥) 步骤: ①将不等式化为标准式,一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意!系数为正)或二次不可约因式(二次项系数为正)。 ②画出数轴如下,并从最右端上方起,用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。 例如,求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集,画出图如下,发现解集为 (,1)(2,3)(4,)-∞??+∞ 为什么数轴标根法是正确的呢?对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说,要满足四项 相乘为正,说明①四项均正,解集为(4,)+∞②两正两负,只能是(1),(2)x x --正,(3),(4)x x --负,此时解集为(2,3)③四项均负,解集为(,1)-∞。综上,解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。 由此可知,遇到奇数个一次项系数为负的情况,如果不把系数化为正的,结果一定是错误的。 注意,这种方法要灵活使用,若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->,使用数轴标根法

最新高一数学暑假预科讲义 第2讲 一元二次不等式解法 基础教师版

第二讲 一元二次不等式解法 考点1:一元二次不等式及其解集 1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式 20ax bx c ++>的解集为{} 21x x x x x ><或,不等式20ax bx c ++<的解集为 {}21 x x x x << 2.对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设 ac b 42-=?,它的解按照0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来 讨论一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a >或2 0ax bx c ++<(0)a >的解集. 24b ac ?=- 0>? 0=? 0a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ?

3.解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程2 0ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <(注意灵活运用因式分解和配方法); ②0?=时,求根a b x x 221-==; ③0?<时,方程无解 (3)根据不等式,写出解集. 题型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)250x x -<; (2)2440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 【解析】(1)方法一:因为2 (5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x =函数2 5y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >???,即05x <<或x ∈?.因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一:因为0?=,方程2 440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为:

高中数学必修常考题型一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法 【知识梳理】 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax 2+bx +c >0(≥0)或ax 2+bx +c <0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集. 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 题型一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式: (1)2x 2+7x +3>0; (2)x 2-4x -5≤0; (3)-4x 2+18x -814 ≥0; (4)-12 x 2+3x -5>0; (5)-2x 2+3x -2<0. [解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x 2+7x +3=0有两个不等实根x 1=-3,x 2=-12.又二次函数y =2x 2+7x +3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x |x >-12 ,或x <

-3}. (2)原不等式可化为(x -5)(x +1)≤0,所以原不等式的解集为{x |-1≤x ≤5}. (3)原不等式可化为????2x -922≤0,所以原不等式的解集为???? ??x |x =94. (4)原不等式可化为x 2-6x +10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x 2-6x +10=0无实根,又二次函数y =x 2-6x +10的图象开口向上,所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为2x 2-3x +2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x 2-3x +2=0无实根,又二次函数y =2x 2-3x +2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R . 【类题通法】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集. 【对点训练】 1.解下列不等式: (1)x 2-5x -6>0;(2)-x 2+7x >6. (3)(2-x )(x +3)<0;(4)4(2x 2-2x +1)>x (4-x ). 解:(1)方程x 2-5x -6=0的两根为x 1=-1, x 2=6. 结合二次函数y =x 2-5x -6的图象知,原不等式的解集为{x |x <-1或x >6}. (2)原不等式可化为x 2-7x +6<0. 解方程x 2-7x +6=0得,x 1=1,x 2=6. 结合二次函数y =x 2-7x +6的图象知,原不等式的解集为 {x |10.

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<.

因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =,

高中数学 考前归纳总结 常见基本不等式的解法

常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意 奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。(答:{}|12x x x ≥=-或); (2)不等式(0x -的解集是____(答:{}|31x x x ≥=-或); (3)设函数()()f x x ,g 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<, ()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ (答:()[),12,-∞+∞U ; (4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是______. (答:81[7,)8 ) 二、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子 分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式 不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如(1)解不等式25123 x x x -<---(答:()()1,12,3-U ); (2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞,则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________(答:()(),12,-∞-+∞U ). 三、绝对值不等式的解法: (1)零点分段讨论法(最后结果应取各段的并集): 如解不等式312242 x x -++≥(答:x R ∈); (2)利用绝对值的定义;(3)数形结合; 如解不等式13x x +->(答:()(),12,-∞-+∞U ) (4)两边平方:如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集. 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表 题型一:一元二次不等式解法 1.解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0.

题型二:三个“二次”关系的应用 2.若不等式ax 2 +bx +2>0的解集是?????? ??? ?x ??? -121a B .{x |x >a } C.? ????? ??? ?x ? ?? x >a 或x <1a D.? ????? ??? ?x ??? x <1 a 3.在R 上定义运算⊙:a ⊙ b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( ) A .(0,2) B .(-2,1) C .(-∞,-2)∪(1,+∞) D .(-1,2) 4.不等式mx 2-ax -1>0(m >0)的解集可能是( ) A.?????? ??? ?x ??? x <-1或x >1 4 B .R C.?????? ????x ? ?? -13

第三章 不等式练习题(一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法)

一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等式的 解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-040 1|{x x x }= φ∪{x|-4-0401x x 或???>+<-040 1x x ?x ∈φ或-4++或的代数解法: 设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++相应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为 2121x x x x ≤且、,则00212>--?>++)x x )(x x (a c bx ax ; ①若?? ?>>???<->-???<-<->. x x , x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得1x x <或2x x >;当21x x =时,得1x x ,R x ≠∈且. ②若?? ?>-<-?? ?>-<-<. x x , x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得21x x x <<;当21x x =时,得?∈x . 分析二:由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解:①求根:令(x-1)(x+4)=0,解得x (从小到大排列)分别为-4,1,这两根将x 轴分为三部分:(-∞,-4)(-4,1)(1,+∞);②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 例2:解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0; 解:①检查各因式中x 的符号均正;②求得相应方程的根为:-2,1,3;③列表如下:

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞ ;单调递减区间:(0, ,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=, 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 3 0,3202 x x <<->∴, ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立,故 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知,当(0,1]x ∈时,函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明:任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤,则

一元二次不等式及其解法例题分类

一对一个性化辅导教案

一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或,不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=?,它的解按照 0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集.

二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0?=时,求根a b x x 221- ==;

各类不等式的解法

一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有: (1) 对称性或反身性: a>b bb , b>c ,则 a>c ; (3)可加性: a>b a+c>b+c , 此法则又称为移项法则; (4) 可乘性: a>b , 当 c>0 时, ac>bc ;当 c<0 时, acb , c>d , 则 a+c>b+d ; (2)正数同向相乘:若 a>b>0, c>d>0,则 ac>bd 。 特例: (3)乘方法则:若 a>b>0,n ∈N +,则 a n b n ; 11 (4)开方法则:若 a>b>0,n∈N +,则 a n b n 11 (5)倒数法则:若 ab>0,a>b ,则 。 ab 例 1: 1)、 8 6 与 7 5 的大小关系为 . 2)、设 n 1,且 n 1, 则 n 3 1与 n 2 n 的大小关系是 1≤ ≤1 3)已知 , 满足 , 试求 3 的取值范围 1≤ 2 ≤ 3 例 2. 比较 a 1 2与 2 aa 1的大小。 例 3.解关于 x 的不等式 m(x 2) x m 二、一元二次不等式的解法 过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集 各类不等式的解法 元二次不等式 ax 2 bx c 0(a 0) 或 ax 2 bx c 0(a. 0) 的求解原理: 利用二次函数的图 象通

4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法:数轴标根法(奇穿偶切) 典型例题 例 1 解下列不等式 x - 3 2 (1) x + 7 <0 (2)3+ x <0 3) x -3 2-x > 3-x -3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式: (1)2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 (1) 2 (2) 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 (-2,3), 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时,不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立?

一元二次不等式的解法

- 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1.不等式x 2<3x 的解集是 ( ). A .{x |x >3} B .{x |x <0或x >3} C .R D .{x |0<x <3} 2.不等式-x 2-x +2≥0的解集是 ( ). A .{x |x ≤-2或x ≥1} B .{x |-2<x <1} C .{x |-2≤x ≤1} D .? 3.不等式x (x -a +1)>a 的解集是{x |x <-1或x >a },则 ( ). A .a ≥1 B .a <-1 C .a >-1 D .a ∈R 4.已知全集U =R 集合A ={x |x 2-2x >0},则?U A 等于 ( ). A .{x |0≤x ≤2} B .{x |0<x <2} C .{x |x <0或x >2} D .{x |x ≤0或x ≤2} 5.不等式ax 2+5x +c >0的解集为? ??? ?? x ?? 13 <x <12,则a ,c 的值为 ( ). A .a =6,c =1 B .a =-6,c =-1 C .a =1,c =1 D .a =-1,c =-6 6.已知集合M =? ????? ??? ?x ??? x +3 x -1<0,N ={} x | x ≤-3,则集合{x |x ≥1}等于 ( ). A .M ∩N B .M ∪N C .?R (M ∩N ) D .?R (M ∪N ) 7.若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y =3 000+20x -0.1x 2(0<x <240),若 每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( ). A .100台 B .120台 C .150台 D .180台 8.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的值的集合是 ( ). A .{a |0<a <4} B .{a |0≤a <4} C .{a |0<a ≤4} D .{a |0≤a ≤4} 9.关于x 的不等式a -x x +b <0, a +b >0的解集是 ( ). A .{x |x >a } B .{x |x <-b ,或x >a } C .{x |x <a ,或x >-b } D .{x |-b <x <a } 10.在R 上定义运算?:x ?y =x (1-y ).若不等式(x -a )?(x +a )<1对任意实数x 恒成立,则( ). A .-1<a <1 B .0<a <2 C .-12<a <32 D .-32<a <1 2 11、函数y =log 3(9-x 2)的定义域为A ,值域为B ,则A ∩B =________. 12、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0,x ∈R )的部分对应值如下表: 13、设f (x )=x 2+bx +1且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集为________. 14、关于x 的不等式ax 2-2ax +2a +3>0的解集为R ,则实数a 的取值范围为________. 15、不等式(3x -4)(2x +1) (x -1)2 <0的解集为________. 三、解答题 16、解不等式1)-2x 2+103x -1 3>0; 2)x -1x -2≥0; 3)2x -13-4x >1.

不等式的解法典型例题及详细答案

不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③

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