三 角 形 的 内 角 和 ( 2 0 2 0 )

数学三角形的所有定理!所有!

等腰三角形：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.性质：1.等腰三角形的两条腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等；3.等腰三角形是轴对称图形；4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.判定：1.有两条边相等的三角形是等腰三角形；2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.等边三角形：定义：三边都相等的三角形是等边三角形,也叫正三角形.性质：1.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,任意边的垂直平分线都是它的对称轴；2.等边三角形的三个角都相等,每个角都是60°.判定：1.三条边都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；3.有两个角是60°的三角形是等边三角形.直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.其中,构成直角的两边叫做直角边,直角边所对的边叫做斜边.性质：1.直角三角形的两个余角互余；2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.勾股定理.判定：1.有一个角是直角的三角形是直角三角形；2.有两个角互余的三角形是直角三角形；3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半,那么这个三角形是直角三角形；

4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形.15 定理三角形两边的和大于第三边?16 推论三角形两边的差小于第三边?17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°?18 推论1 直角三角形的两个锐角互余?19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和?20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角?21 全等三角形的对应边、对应角相等?22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等?23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等?24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等?25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等?26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等?27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等?28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上?29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合?30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）?31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边?32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合?33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°?34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）?35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形?36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形?37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么

它所对的直角边等于斜边的一半?38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半?39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等?40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上?41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合?42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形?43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线?44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上?45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称?46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2?47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形?48定理四边形的内角和等于360°?49四边形的外角和等于360°?50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°?51推论任意多边的外角和等于360°?52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等?53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等?54推论夹在两条平行线间的平行线段相等?55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分?56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形?57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形?58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形?59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形?60矩形性质定理1 矩形的四个角

都是直角?61矩形性质定理2 矩形的对角线相等?62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形?63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形?64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等?65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角?66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2?67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形?68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形?69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等?70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角?71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的?72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分?73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一?点平分,那么这两个图形关于这一点对称?74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等?75等腰梯形的两条对角线相等?76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形?77对角线相等的梯形是等腰梯形?78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段?相等,那么在其他直线上截得的线段也相等?79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰?80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边?81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半?82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h?83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc?

如果ad=bc,那么a:b=c:d?84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d?85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么?(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b?86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例?87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例?88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边?89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例?90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似?91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）?92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似?93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）?94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）?95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三?角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似?96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平?分线的比都等于相似比?97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比?98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方?99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等?于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值?101圆是定点的距离等于定

长的点的集合?102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合?103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合?104同圆或等圆的半径相等?105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线?107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线?108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线?109定理不在同一直线上的三点确定一个圆.?110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧?111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧?②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧?③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧?112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等?113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形?114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等?115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两?弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等?116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半?117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等?118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所有的弦是直径?119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形?120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对

角?121①直线L和⊙O相交 d＜r?②直线L和⊙O相切d=r?③直线L 和⊙O相离 d＞r?122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线?123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径?124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点?125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心?126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,?圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角?127圆的外切四边形的两组对边的和相等?128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角?129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等?130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等?131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的?两条线段的比例中项?132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割?线与圆交点的两条线段长的比例中项?133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等?134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上?135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切d=R+r?③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)?④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)?136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦?137定理把圆分成n(n≥3):?⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形?⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形?138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆?139正n边形的每个内角都等于（n-2）

×180°／n?140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形?141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长?142正三角形面积√3a／4 a表示边长?143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为?360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4?144弧长计算公式：L=n兀R／180?145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2?146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三角函数公式?两角和公

式?sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB?sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA?co s(A+B)=cosAcosB-sinAsinB?cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB?tan(A+B )=(tanA+tanB)-(1-tanAtanB)?tan(A-B)=(tanA-tanB)-(1+tanAtanB )?ctg(A+B)=(ctgActgB-1)-(ctgB+ctgA)?ctg(A-B)=(ctgActgB+1)-( ctgB-ctgA)?倍角公式?tan2A=2tanA-(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)-2ctga?cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a?半角公式?sin(A-2)=√((1-cosA)-2)?sin(A-2)=-√((1-cosA)-2)?cos(A-2 )=√((1+cosA)-2)?cos(A-2)=-√((1+cosA)-2)?tan(A-2)=√((1-co sA)-((1+cosA))?tan(A-2)=-√((1-cosA)-((1+cosA))?ctg(A-2)=√((1+cosA)-((1-cosA))?ctg(A-2)=-√((1+cosA)-((1-cosA))?积化和

差?2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)?2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)? 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)?-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)?和

差化积sinA+sinB=2sin((A+B)-2)cos((A-B)-2?cosA+cosB=2cos((A+B)-2)s in((A-B)-2)?tanA+tanB=sin(A+B)-cosAcosB

tanA-tanB=sin(A-B)-cosAcosB?ctgA+ctgBsin(A+B)-sinAsinB

-ctgA+ctgBsin(A+B)-sinAsinB?正弦定理a-sinA=b-sinB=c-sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径?余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角?诱导公式?sin(-a)=-sin(a)?cos(-a)=cos(a)?sin(pi-2-a)=cos(a)?cos(pi -2-a)=sin(a)?sin(pi-2+a)=cos(a)?cos(pi-2+a)=-sin(a)?sin(pi-a)=sin(a)?cos(pi-a)=-cos(a)?sin(pi+a)=-sin(a)?cos(pi+a)=-co s(a)?tgA=tanA=sinA-cosA?万能公式?sin(a)= (2tan(a-2))-(1+tan^2(a-2))?cos(a)=

(1-tan^2(a-2))-(1+tan^2(a-2))?tan(a)=

(2tan(a-2))-(1-tan^2(a-2))?其它公式?a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b-a]?a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a-b]?1+sin(a)=(sin(a-2)+cos(a-2))^2?1-sin(a)=(sin (a-2)-cos(a-2))^2?其他非重点三角函数?csc(a)=1-sin(a)?sec(a)=1-cos(a)

当三角【现场实战追-女孩教-学】形由一般的三角形变化为特殊的三角形时，其几个心的位置关系会发生相应的变化。

上面这个【Ｑ】方法简单易懂，速度也快，下面这个方法速度更

快，只是【⒈】稍微多了一点数学而已

稿件涉及【０】数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域，经采用【１】我们将奉上稿酬。

考虑到【６】三边与外接圆半径的关系复杂，且限定了角度关系，余弦定理【⒐】有角度与边的关系，但阶数为2；考虑面积，等式也很复杂【⒌】；考虑数形结合，角度不好找。

如果K【２】小于零，那么这就是类似于伪球面上的三角形，角盈为负，【б】三角形内角和小于π。

57 scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",a.x, a.y, b.x, b.y, c.x,

c.y);

“三角形的内角和等于180°”是从欧式几何里的公理五（又称之为平行公设）衍生出来的公理。在欧式几何里，“三角形的内角和等于180°”是正确的。

一条凸的闭曲线——卵形线，谈不上什么内角和与外角和。可是蚂蚁在上面爬的时候，它的方向也在时时改变。它爬一圈，角度改变量之和仍是360°（图2）。

做任意一条边的外接等边三角形，得到另一点，将此点与此边在三角形中对应的点相连

贝叶斯法则又被称为贝叶斯定理、贝叶斯规则，是指概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正(训练过程中不断修正)的标准方法。当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。

4.3.2角的比较与运算 教案

C B A 4.3.2 角的比较与运算 主备人：吴海红 参与人：邢霞 唐锡峰 备课时间：11月25日 上课时间：12月2日 教学目标 1．知识与技能 （1）在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，?丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系． （2）通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，?认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线． 2．过程与方法 进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法． 3．情感态度与价值观 能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情． 重、难点与关键 1．重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，?认识角平分线及画角平分线是本节课的重点． 2．难点：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小是难点． 3．关键：从动手操作过程中，认识角的大小关系，?认识角的和差关系及认识角平分线，也是学好本节课知识的关键． 教具准备 量角器、三角板、圆规、剪刀、透明纸、多媒体设备． 教学过程 一、引入新课 教师活动：在黑板上画出一个三角形．（如右图所示） 1．提出问题：比较图中线段AB 、BC 、CD 的长短．

学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法． 教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB、BC、CD三条线段长短的过程，并写出结论：AB>AC>BC． 2．提出问题： 怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？ 学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小． 教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，?比较它们的大小，板书结论：∠C>∠B>∠A．（2）启发引导学生，类比线段长短的比较方法，?也可以把它们叠合在一起比较大小． 二、新授 1．提出问题： 如何用叠合的方法比较角的大小？ 学生活动：进行小组交流讨论，动手操作：每个学生都在透明纸上画一个角，然后剪下这个角，并与小组中其它同学所画的角进行比较后归纳出比较方法和比较结果，然后观看多媒体演示角的比较过程． 教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动过程，打开多媒体演示角的比较过程：把一个角移到另一个角上，顶点与一条边重合；两个角的另一边都在重合边的同侧．观察这两边的位置关系，就能得出两个角的大小关系．注：讲解过程应强调操作过程，让学生掌握角的比较的操作过程． 完成课本第142页练习． 注：教师在评价学生完成练习的情况时，应对较好的方法给予肯定的评价，鼓励学生进行探索． 2．认识角的和差． 学生活动：思考课本第140页观察中的问题，小组交流思考的结论．

432角的比较与运算导学案

课题 4.3.2角的比较与运算 ［学习目标】：1、矣比较两个角的大小，能分析图中角的和差关系； 2、理解角平分线的概念，矣画角平分线。 【晝点难点】：角的大小比较和角平分线的概念是重点；从图形中观察角的和差关系是难点。 【导学指导】 一、知识键接 回顾线段大小的比较，，怎样比较图中线段AE 、BC 、CA 的长短？ AB Z C 的大小呢？ 二-白主学习 1、比较角的大小 (1) 度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 (2) 叠合法：把两个角査合在一起比较大小。 观察演示： 思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系? ZBOC=Z ____ -Z ZAOB=Z ____ -Z 3、用三角板拼甬— 探究：借助三角尺画出15°, 75。的角。 _副三角板的各个角分别是多少度？ _____________________________________ 学生尝试画角。 你还能画出哪些角？有什么规律吗？ 还能画出 ZAOB. ZAOC> ZBOCo 它们的关系是: 2、认识角的和差 图串 ZAOC=Z +Z

规律是：凡是 的倍数的角都能画出。 4、角平分线 在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合.想想看，折痕与角两边所成的两个角 的大小有什么关系？ 如图（1） 角的平分 线： 线。 类似地，还有角的三等分线等。如图（2）中的OB 、OCo OB 是上AOC 的一平分线，可以记作： Z AOC=2 z AOB=2 Z BOC 或 Z AOB= Z BOC= - 2 5、例题学习 例1如图，O 是宜线AB±一点，ZAOC=53°17Z ,求上BOC 的度数。 例2把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分） 【课堂练习】： 课本 140-141 页 K 2、30 【要点归纳】： 1、 角的大小比较的方法和角的和差关系； 2、 用一副三角板画角； 3、 角的平分线及表示。 【总结反思】： ______ 的两个角的射线，叫做这个角的平分

角的比较与运算

七年级数学学科电子备课

结论． 教师活动：讲解观察中的问题，给出图中各角之间的和差关 系．（如下图） ∠AOC=∠AOB+∠BOC， ∠AOB=∠AOC-∠BOC． 提出问题：∠AOC-∠AOB=________． 3．动手操作：用三角板拼出特殊角，完成课本第135页探究 中的问题． 学生活动：每个学生都用三角板进行尝试拼出15°、75°的 角，并讲出其中的理由． 提出问题： 利用一副三角板还能拼出多少度的角？ 学生活动：小组交流后说出这些角的度数，各小组之间互相补 充． 教师活动：评价学生的结论，对学生的答案进行归纳补充． 4．认识角的平分线． 教师活动：在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边 重合． 学生活动：观察老师演示过程，并思考下面问题．（如下图） 提出问题：∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？ 在图中，射线OB把∠AOC分成相等的两个角，即∠AOB=∠BOC， 小组交流后说出这些角的 度数，各小组之间互相补 充．

作业设计 课时作业设计 一、填空题． 1．如下图（1），比较图中四个角的大小， 并用“<”连接________． 2．如果∠1=∠2，∠1+∠3=90°，则∠2+ ∠3=_______． 3．如下图（2），有“＝”或“>”或“<” 填空： （1）∠AOC_______∠AOB+∠BOC；（2）∠AOC_______∠AOB； （3）∠BOD-∠BOC______∠DOC；（4）∠AOD______∠AOC+∠BOD． 4．如下图（3），OC平分∠AOB，OD平分∠ AOC，则图中相等的角有________，? ∠AOD=______∠AOC=______∠AOB． 二、选择题． 5．如右图，图中小于平角的角的个数是 （）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三、解答题． 6．如下图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，

432角的比较与运算 教案

C B A 4.3.2 角的比较与运算 教学内容 课本第139页至第141页． 教学目标 1．知识与技能 （1）在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，?丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系． （2）通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，?认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线． 2．过程与方法 进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法． 3．情感态度与价值观 能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情． 重、难点与关键 1．重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，?认识角平分线及画角平分线是本节课的重点． 2．难点：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小是难点． 3．关键：从动手操作过程中，认识角的大小关系，?认识角的和差关系及认识角平分线，也是学好本节课知识的关键． 教具准备 量角器、三角板、圆规、剪刀、透明纸、多媒体设备． 教学过程 一、引入新课 教师活动：在黑板上画出一个三角形．（如右图所示） 1．提出问题：比较图中线段AB 、BC 、CD 的长短． 学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法． 教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB 、BC 、CD 三条线段长短的过程，并写出结论：AB>AC>BC ．（线段的比较有度量法和叠合法） 2．提出问题： 怎样比较图中∠A 、∠B 、∠C 的大小？ 学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小． 教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，?比较它们的大小，板书结论：∠C>∠B>∠A ．（2）启发引导学生，类比线段长短的比较方法，?也可以把它们叠合在一起比较大小． 二、新授 1．提出问题：

4.3.2角的比较与运算练习题

角的比较 班级：________ 姓名：________ 一、填空题 1.由_______的_______射线组成的图形叫做角. 2.一条以一个角的_______为_______的射线把这个角分成_______的角，这条射线叫做这个角的_______. 3.一副三角板的六个角各是_______、_______、_______、_______、_______、_______. 4.一个周角是一个平角的_________倍，一个平角是一个直角的_________倍. 5.根据右图，比较∠AOC、∠BOD、∠BOC、∠COD、∠AOD的大小，它们从小到大排列为___________. 二、判断题 1.一条线就是一个平角. （） 2.从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线. （） 3.一个角的两边越长，这个角就越大. （） 三、读图填空 1.如图1，∠BDC=_______+_______，∠CDA=_______－_______.

2.如图2，OC⊥AB，OE为∠COB的平分线，∠AOE的度数为_______. 3.如图3，BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC=∠ECB，那么∠ABC=∠ACB吗？_______. 4.如图4，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°，∠COE=40°,那么∠BOD=_______°. 做一做 在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把

纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？ *自我陶醉 编写一道自己感兴趣并与本节内容相关的题，解答出来. 测验评价结果：_______________;对自己想说的一句话是：_______________________. 角的比较参考答案 一、1.略2.略3.45°45°90°90°30°60°4.2 2 5.∠BOC＜∠COD＜∠AOC=∠BOD=90°＜∠AOD 二、1.×2.×3.× 三、1.∠BDA∠ADC∠CDB∠BDA 2.135°3.相等4.55° 做一做略

4.3.2《角的比较与运算》教学设计

4.3.2 《角的比较与运算》教学设计 汉阴县初级中学龚主华 教材分析：本节课是人教版七年级(上册)第四章第三节的内容。在此之前，学生已经学习了角的基本概念、角的度量。这为本节课的教学做了知识和思维上的准备。同时它对学生下一节余角、补角的概念的理解进行了思维上的铺垫，从而为学生进一步学习平面几何图形打下了基础。所以本节内容起到了复习旧知识、承接新知识的作用。 学情分析：七年级学生刚刚从小学升入初中，还以形象思维能力为主。遵循这一特点，应该充分利用学生已有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式，结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导，引导学生在自己动手的过程中，利用知识的迁移，把新旧知识联系在一起，使学生抽象思维能力得到发展。同时教学时还应该针对不同层次的学生，给与不同层次的关注，实现有梯度层次的教学。 教学目标： 知识与技能：1、会用两种方法比较角的大小，知道两角和、差的意义。 2、掌握角平分线的概念，能够用角平分线的概念解决相关计算问题，会用量角器画角平分线。 3、经历比较角的大小、用量角器画角的平分线、用折纸法确定角平分线，积累活动经验，培养动手操作能力。 过程与方法： 观察、操作、合作交流，画图、比较、归纳 情感、态度、价值观 能通过角的比较等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段 教学重难点： 重点：叠合法比较角的大小，角平分线的概念及其应用 难点：运用几何语言描述角平分线的概念及进行简单的推理。 教学准备：复习角的概念、角的表示及角的单位等相关知识。 教学方法：合作探究、小组交流、动手操作、归纳总结 教学用具：三角板、量角器、电子白板、TRACEBook课件等

角的比较与运算练习题二

《角的比较与运算》基础练习2 1．一副三角板有6个角，这6个角中最小角的度数是（ ）． A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 2．如图所示，如果AOD BOC ∠>∠，那么下列说法正确的是（ ）． A ．COD AO B ∠>∠ B ．AOB COD ∠>∠ C ．CO D AOB ∠=∠ D ．AOB ∠与COD ∠的大小关系不能确定 3．在AOB ∠的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（ ）． A ．AO B AO C ∠>∠ B ．AOB BO C ∠<∠ C ．BOC AOC ∠>∠ D ．AOC BOC ∠>∠ 4．射线OC 在AOB ∠的内部，下列给出的条件中不能得出OC 是AOB ∠的平分线的是（ ）． A ．∠AOC =∠BOC B ．AO C BOC AOB ∠+∠=∠ C ．2AOB AOC ∠=∠ D ．12 BOC AOB ∠=∠ 5．如图，OC 是AOB ∠的平分线，OD 平分AOC ∠，若25COD ∠=，则AOB ∠的度数为（ ）． A ．100° B ．80° C ．70° D ．60° 6．如图所示，OC 是AOB ∠的平分线，OD 平分AOC ∠，且60AOB ∠=，则C O D ∠为（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．20°

7．如图，OC 平分AOB ∠，若25AOC ∠=，则AOB ∠=_________度． 8．计算：3352'2154'?+?=___________度____________分． 9．如图，O 是直线l 上一点，100AOB ∠=，则12∠+∠=___________度． 参考答案： 1．B ．（解析：一副三角板共两块（缺少一块就不成“副”了），一块是三个内角分别为45°、45°、90°；另一块是三个内角分别为30°、60°、90°，所以最小的角度为30°，故选B ．） 2．B ．（解析：因为AOD ∠与BOC ∠中都包含BOD ∠，所以都减去它，不等式仍成立，∵AOD BOC ∠>∠，∴AOD BOD BOC BOD ∠-∠>∠-∠，即AOB COD ∠>∠，故选 B ．） 3．A ．（解析：射线OC 在AOB ∠的内部，那么AOC ∠在AOB ∠的内部，且有一公共边；则一定存在AOB AOC ∠>∠，故选A ．） 4．B ． 5．A ．（解析：∵OC 是AOB ∠的平分线，∴AOC COB ∠=∠．∵OD 是AOC ∠的平分线，∴AOD COD ∠=∠．∵025COD ∠=．∴050AOC ∠=，∴0100AOB ∠=．故选 A ．） 6．A ．（解析：∵060AOB ∠=，OC 是AOB ∠的平分线，∴030AOC ∠=．又∵OD 平分AOC ∠，∴00130152 COD ∠=?=．故选A ．） 7．50．（解析：∵025AOC ∠=，OC 平分AOB ∠，∴0250AOB AOC ∠=∠=．）

432角的比较与运算导学案

第 1 页 共 3 页 复习 4.3.1角（一） 1．角的定义1： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 2．角的定义2： 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形。 3． 角的表示： ①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间： ∠AOB ； ②用一个大写字母表示：∠O ； ③用一个希腊字母表示：∠ａ； ④用一个阿拉伯数学表示：∠1。 4、角的度量 1周角=3600 ， 1平角=1800； 1直角=900 10=60′， 1′=60′′； 课题 4.3.2角的比较与运算 一、温故互查 回顾线段大小的比较，,怎样比较图中线段AB 、BC 、CA 的长短? （1） 度量法；（2）叠合法。 AB ＜AC ＜BC 那么怎样比较∠A 、 ∠ B 、 ∠ C 的大小呢? O A 顶点 边 边 B A B C

第 2 页 共 3 页 二、自主学习 1、比较角的大小 （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 （2）叠合法：把两个角叠合在一起比较大小。 教师演示： （1）∠AOB ＜∠AOB ′；（2）∠AOB=∠AOB ′；（3）∠AOB ＞∠AOB ′。 2、认识角的和差 思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ 图中共有3个角：∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 。它们的关系是： ∠AOC=∠AOB+∠BOC ； ∠BOC=∠AOC －∠AOB ； ∠AOB=∠AOC －∠BOC 三、合作探究 3、用三角板拼角 探究：借助三角尺画出150，750的角。 一副三角板的各个角分别是多少度？___________________________________ 学生尝试画角。 你还能画出哪些角？有什么规律吗？ 还能画出___________________________________ 规律是：凡是 的倍数的角都能画出。 4、角平分线 在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合．想想看，折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？ 如图（1） 角的平分线：从一个角的_____出发，把这个角分成_______的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 类似地，还有角的三等分线等。如图（2）中的 OB 、OC 。 OB 是∠AOC 的一平分线,可以记作: ∠AOC=2∠AOB=2∠BOC 或∠AOB=∠BOC=2 1 。 5、例题学习 例1 如图，O 是直线AB 上一点，∠AOC=53017′，求∠ BOC 的度数。 A O B B ′ A O B B ′ A O B （B ′） （1） （2） （3） A O B C A O B C A O B C D （2） （1） O A B C

角的比较与运算1 精品公开课教案(大赛一等奖作品)

4．3.2角的比较与运算 1．会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义；(重点) 2．掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线；(难点) 3．经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力．(重点) 一、情境导入 有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下)． 下面是他们的一段对话： 聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”． 明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”． 同学们有办法帮他们进行判断吗？ 二、合作探究 探究点一：角的比较 如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是( ) A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB C．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC 解析：A.∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC.D错误，故选D. 方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法．探究点二：角度的有关计算 【类型一】利用角平分线进行角度的计算 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC. (1)求∠EOD的度数； (2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．

解析：(1)根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12 (∠BOC ＋∠AOC )＝12 ∠AOB ，由此即可得出结论； (2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论． 解：(1)∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ， ∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ＝12 ×120°＝60°； (2)∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ， ∴∠AOE ＝12∠AOC ＝12 ×30°＝15°. 方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键． 【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠DOB ＝( ) A ．120° B ．180° C ．150° D ．135° 解析：由图可得∠AOC ＋∠DOB ＝∠AOB ＋∠COD ＝90°＋90°＝180°.故选B. 方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系． 【类型三】 折叠问题中角的计算 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处．若∠EFC ＝119°， 则∠BFC ′为( ) A ．58° B ．45° C ．60° D ．42° 解析：∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处，∠EFC ＝119°，∴∠EFC ′＝∠EFC ＝119°，∠EFB ＝180°－∠EFC ＝61°，∴∠BFC ′＝∠EFC ′－∠EFB ＝119°－61°＝58°，故选A. 方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．

432角的比较与运算说课稿

432《角的比较与运算》说课稿 云锦镇青狮初级中学 一、说教材 1、教材的地位与作用 本节课是人教版七年级(上册)第三章第四节的内容。在此之前，学生已经学习了角的基本概念、角的度量以及直线、线段、射线的概念及相关性质。这为本节课的教学做了知识和思维上的准备。同时它对学生下一节余角、补角的概念的理解进行了思维上的铺垫，从而为学生进一步学习平面几何图形打下了基础。所以本节内容起到了复习旧知识、承接新知识的作用。 2、学情分析I 七年级学生逻辑思维，观察能力，记忆能力和想象能力正在迅速发展，但同时，又好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，弓I发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。从认知状况来说，学生对角已经有了初步的认识，但对于角的计算的理解，由于其抽象程度较高，而且与以前学生学习的十进制运算不同，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 3、教学目标分析 (1)知识与能力目标： 会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义，掌握角平分线的概念，培养学生归纳、分析能力。 (2)过程与方法 进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法 (3)情感态度与价值观一 能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情. 4、教学重难点: 重点：叠合法比较角的大小，角平分线的概念及其应用难点：运用几何语言描述角平分线的概念及进行简单的推理。 二、说教法 鉴于七年级教材特点和学生的认知水平，主要采用启发式和师生互动的教学模式进行教学。注意加强师生之间的情感交流，以观察、思考、讨论、练习贯穿整个教学环节。积极利用多媒体演示，向学生提供更多的活动空间，使学生在动脑、动手、动口过程中获得充分的体验和发展，逐步加深对数形结合思想的认识。 三、说学法 在本节课中不断指导学生学会学习，鼓励学生动手实践，主动探索与合作交流，变被动学习”为主动学习”使每位学生都参与到学习过程中，同时获得轻松、愉快、成功的情感体验。 四、教学流程： (一)、复习提问，弓I入新知 1、复习角的概念，角的单位及它们之间的换算 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角的单位：度、分、秒 它们之间的换算：1° =60' , 1 ‘ =60〃 2 .请同学们回忆一下，前面我们学习了线段的哪些内容？ 3.如图，已知线段AB、CD,你有哪些办法比较它们的大小？