《圆》章节知识点总结
《圆》章节知识点总结
1、圆的概念
1、平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点为圆心的圆记作“”，读作“圆”。
2、确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小。
3、半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。
4、①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。
5、不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。
6、①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分
线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。（补充）圆的集合概念
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；解题注意点和圆的位置不确定性。圆的对称性圆是轴对称图形，他有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离如果圆O的半径为，圆心O到直线的距离为d，那么：
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
4、圆与圆的位置关系设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：外离（图1）无交点；外切（图2）有一个交点；相交（图3）有两个交点；内切（图4）有一个交点；内含（图5）无交点；
五、垂径定理（非常重要）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径② ③ ④ 弧弧⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。
6、圆心角定理顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④ 弧弧七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴
2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙中，∵是直径或∵ ∴ ∴是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不
同的角。八、圆内接四边形一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。
即：在⊙中，∵四边形是内接四边形∴ 九、切线的性质与判定定理直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径得垂直”。解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径。
9、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴ 平分
一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵直径，∴（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是割线∴ （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙中，∵、是割线∴
二、两圆公共弦定理两圆相切时，连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定，两个圆组成的图形是轴对称图形，对称轴是经过两圆圆心的直线。圆公共弦定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况：①两圆圆心在公共弦同侧，②两圆圆心在公共弦异侧。
三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。
四、圆内正多边形的计算各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。
经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距。正n边形的半径R与边心距r把正n边形分成2n个全等的直角三角形。（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，、
五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：
：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：补充：圆中四心：外心：各边垂直平分线的交点内心：各角角平分线的交点垂心：各边高线的交点重心：各边中线的交点