求函数值域的7类题型和16种方法

求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域：

1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

2.二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??

-+∞????

，当0a <时的值域为

24,4ac b a ??

--∞ ???

.，

3.反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >.

5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型

题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）

1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；

2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）

1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 当其 定义域为R 时，其值域为()()22

4 044 04ac b y a a

ac b y a a ?-≥>???-?≤

2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b

x a

=-与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b

m n a

-

∈,则当0a >时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；

当0a <时，()2b

f a

-是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b

m n a

-

?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知 ()

2

2f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。

例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为 ()1,17 。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x

k

y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d

y ax b

+=

+的值域：

（1）若定义域为b x R x a ??∈≠-????

时，其值域为c y R y a ??∈≠

????

（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by

x ay c

-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便

可求出函数的值域。

例3：函数23

321

x x y -=-的值域为

[)1,3,3??-∞+∞

???

；若[]1,2x ∈时，其值域为 11,511?

?

-???

? 。 例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321

x

y x -=

+的值域 34,2?

?--????

。 （2）已知()312x f x x -+=-，且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为 6,5?

?-∞- ??

? 。

例5：函数2sin 1

3sin 2

x y x -=

+的值域为

[)1,3,5??-∞?+∞ ??? ；若3,22

x ππ

??

∈????，其值域为 12,23??

-????

。

题型四：二次分式函数22dx ex c

y ax bx c

++=++的值域

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：2216x x y x x +-=+-； ()21,,7?

?+∞?-∞ ??

?

例7：22

2

1x x y x +-=-； {}1y R y ∈≠ 例8：432+=x x y ； 33,44??

-????

例9：求函数()2

1

1,21

x y x x x -=∈-+∞++的值域 解：由原函数变形、整理可得：()2

2110yx y x y +-++=

求原函数在区间()1,-+∞上的值域，即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围 当0y =时，解得：()11,x =∈-+∞ 也就是说，0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时，上述方程要在区间()1,-+∞上有解，

即要满足()10f -<或0

211

2y y ≥??

-?->-??

解得：108y <≤ ……②

综合①②得：原函数的值域为：10,8??

????

题型五：

形如y ax b =+ 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域

问题，然后求其值域。

例10： 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六：分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11： 21++-=x x y [)3,+∞ 例12： 2

41y x x =-++ (],5-∞

题型七：复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13：

)11y x =-≤≤ []0,2 例14

：y =

50,2??

????

四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）：

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量

x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值

域的方法。注意此法关键是定义域。

例1：已知函数()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 {}1,0,3-

例2：求函数1y =的值域。 [1,)+∞

例3：求函数()1y x =≥的值域。 )

+∞

例4：求函数y =

[)1,+∞

（2）配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别

是不能改变定义域。对于形如()2

0y ax bx c a =++≠或()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠????类的函

数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数322+--=

x x y 的值域。

分析与解答：因为0322

≥+--x x ，即13≤≤-x ，4)1(2++-=

x y ，于是：

44)1(02≤++-≤x ，20≤≤y 。

例2．求函数x

x x y 422++=在区间]4,41

[∈x 的值域。

分析与解答：由x x x y 4

22

++=配方得：62242

+???? ?

?-=++=x x x x y ， 当

241≤≤x 时，函数24++=x x y 是单调减函数，所以4

1

186≤≤y ； 当42≤≤x 时，函数24

++=x

x y 是单调增函数，所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是4

1

186≤≤y 。

（3）最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数2x

y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44??

????

例3：求函数2

256y x x =-++的值域。 73,8??

-∞ ???

（4）反函数法（逆求或反求法）：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围。对于形如)0(≠++=

a b

ax d

cx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1：求函数1212

x

x

y -=+的值域。 解：由1212

x x

y -=+解得121x

y y -=+， ∵20x

>，∴

101y

y

->+，∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(≠++=

c d

cx b

ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为

?

??

???

≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

，采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=，用复合函数法来求值域。 例1：求函数125

x

y x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++

-===-++++， ∵7

2025

x ≠+，∴1

2y ≠-，

∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2

y y ≠-。

（6）换元法（代数/三角）：

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如()

1

y f x =

的函数，令()f x t =

；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+≠均为常数的

t =

[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ??

=∈-

????

. 例1

：求函数2y x =

解：令t =0t ≥），则2

12

t x -=，

∴22

151()24

y t t t =-++=--+

∵当12t =

，即38x =时，max 5

4

y =，无最小值。

∴函数2y x =5

(,]4

-∞。

例2．求函数21)45)(125(22++-+-=x x x x y 的值域。

分析与解答：令4925452

2-??? ?

?

-=+-=x x x t ，则49-≥t 。

()()542182182

2++=++=++=t t t t t y ，

当49-≥t 时，161854492

min =+??

?

??+-=y ，值域为??????≥1618|y y

例3．求函数23102--+=x x x y 的值域。 分析与解答：由23102--+=x x x y =()2

52--+

x x ，令θcos 25=-x ，

因为()1cos 10cos 2205222

≤≤-?≥-?≥--θθx ，],0[πθ∈，则

()2

52--x =θsin 2，

于是54sin 25cos 2sin 2+??? ?

?

+=++=

πθθθy ，]45,4[4πππθ∈+，

14sin 22≤??? ?

?

+≤-

πθ，所以725≤≤-y 。 （7）判别式法：

把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥，从而求得原函数

的值域。对形如21112

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方

程，由于方程有实根，即0≥?从而求得y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。

注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。

例1：求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域。

解：由223

1

x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，

当1y =时，此方程无解；

当1y ≠时，∵x R ∈，∴，2(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥ 解得1113y ≤≤

，又1y ≠，∴1113

y <≤ ∴函数2231

x x y x x -+=-+的值域为11

{|1}3y y <≤

（8）函数单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。

例1：求函数y x =

解：∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大，

∴函数y x =1(,]2

-∞上是增函数。

∴1122

y ≤

=，

∴函数y x =1

(,]2

-∞。 例2．求函数x

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域。 分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则

()()()()2

12121211x x x x x x x f x f --=

-，因为21

0x x

<<，所以：0,02121><-x x x x ，

当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；

当1021<<

x y 1

+=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 例3：求函数()x x x f -++=11的值域。 分析与解答：因为110

10

1≤≤-???

?≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。现构

造相关函数()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。()21max =

=g g ，

()21min -=-=g g ，()2≤?x g ，()202≤≤x g ，

又()()422

=+x g x f

，所以：()422≤≤x f ，()22≤≤x f 。

（9）基本不等式法

利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。

利用基本不等式a b +≥“一正，二定，三相等”.

如利用

a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③

取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数(0,)n k

y x k n N x

=+

>∈的值域。 例1 求函数12

++=

x x y 的值域.

解:

211

11

2≥+

+=

=

+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2：求函数的值域：2211212x x y x x -+??

=> ?-??

.

解：()2

1

21121111

2121212122

2

x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----

11

,022

x x >∴->

1

12122x x ∴-

+≥=-

当且仅当

1

12

2

2

x

x

-=

-

时，即x=

1

2

y

∴≥

，所以元函数的值域为

1

2

??

+∞?

???.

例3. 求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例4. 求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

（10）函数有界性法：

利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如

d

x

b

c

x

a

y

+

+

=

cos

sin

，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。

例1：求函数

2

2

1

1

x

y

x

-

=

+

的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得

2(1)(1)y x y -=-+，

∵1y ≠，∴2

1

1

y x y +=-

-（x R ∈，1y ≠）， ∴1

01

y y +-

≥-，∴11y -≤<，s ∴函数221

1

x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<

形如2),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

例2．求函数121

2--=x x y 的值域

解： 由1212--=x x y 得112--=y y x

1101

1

,022-<>?>--∴

>y y y y 或 例3：求函数2cos 1

3cos 2

x y x +=

-的值域。

[)1,3,5??-∞?+∞ ??

? 例4：求函数2sin 2sin x

y x

-=+的值域。

1,33??

????

（11）数型结合法：

如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由

12

21

y y x x --可联想到两点()11,x y 与()22,x y 连

线的斜率或距离。

例1：求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。 解法

1：将函数化为分段函数形式：

??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象，由图象可知，函数的

值域是

{y |y ≥3}。

解法2（几何法或图象法）：∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]。如图

）

例2．求函数y

=

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为()f x =

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK =x

,则

EK =2x -,KF =2x +,AK

KC

由三角形三边关系知，AK +KC ≥AC =5。当A 、K 、C 三点共线时

取等号。

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。 例3．求函数x x y -++=11的值域。

解析：令x u +=1，x v -=1，则0,0≥≥v u ，22

2=+v u ，y v u =+，原问题转化为：当直线y v u =+与圆22

2=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当y v u =+经过点)2,0(时，2min =y ；

当直线与圆相切时，()

2222

max ==

==OC OD y 。

所以，值域为2

2≤≤y

例4. 求函数

y

=

解：将函数变形为y =

上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点(2,1)B -到点(,0)P x 的距离之差。即

y AP BP =-

由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '

，则构成ABP '?

，根据三角形两边之差小于第三边，有

AP BP AB

-<=

=即

y <

为直线AB 与

x 轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为(

注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的

两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。 （12）复合函数法：

对函数(),()y f u u g x ==，先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域，从而求出()y f u =的值域的方法。

例1、求函数1

33+=x x

y 的值域

（复合函数法）设t x

=+13 ，

则()11

1131113113>-=+-=+-+=

t t y x x x 101

1

01<<∴<<∴>y t

t

()01原函数的值域为∴

例2：求函数212log (253)y x x =-++的值域。 49,8??

+∞????

（13）非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数2

16x y -=的值域。 (2)求函数1

3

22+-=x x y 的值域。

解析：(1)161602

≤-≤x ， 41602≤-≤∴x 故 所求函数的值域为 []40，∈y 。

(2)012

>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2

+=-y y x ， 当1≠y 时，

y y x -+=

132， 02

≥x ，013≥-+∴

y

y ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ，

故 所求函数的值域为 ），13[-∈y 。

（不等式性质法）

例2：求下列函数的值域：

（1）y =262x +； （2）y =222410

22

x x x x ++++； （3）y =62sin 1x -

（4）y （2）y =1

3()4(1)2

x x -+≤-； （3）y =2

211log ()()42

x x +>

（14）导数法

若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在a ,b 点的极限值. 从而求得f 的值域.

例1： 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域.

分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x .

,2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .

所以, 函数f 的值域为)140,2(-.

（15）“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合函数特征

设()f x （x D ∈）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： （1）()f x 的值总是非负，即对于任意的x D ∈，()0f x ≥恒成立；

（2）()f x 具有两个函数加和的形式，即12()()()f x f x f x =+（x D ∈）； （3）()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+（x D ∈，c 为常数）

， 其中，新函数()g x （x D ∈）的值域比较容易求得.

2.运算步骤

若函数()f x （x D ∈）具备了上述的三个特征，则可以将()f x 先平方、再开方，从而得到

()f x =（x D ∈，c 为常数）.然后，利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的值域.例如

()[,]g x u v ∈，则显然()f x ∈.

3.应用四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1 求函数()f x =[,]x a b ∈，a b <）的值域.

解：首先，当[,]x a b ∈时，()0f x ≥；

其次，()f x 是函数1()f x 2()f x =的和；

最后，2()f x b a b a =-+=-+ 可见，函数()f x 满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、开方得

()f x [,]x a b ∈）.这里，()g x =[,]x a b ∈）.对()

g x

根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()g x 的值域为[0,

]b a -.于是，()f x 的值域

为.

例2

求函数()f x =（[,]a b

x k k

∈，a b <，0k >）的值域.

解：显然，该题就是例1的推广，且此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、

开方得()f x =[,]a b x k k ∈）.

这里，()g x =（[,]a b x k k ∈）.对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()g x 的值域仍为[0,]b a -.于是，()

f x

的值域也仍为.

例3 求函数()|sin ||cos |f x x x =+（x R ∈）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x

平方、开方得()f x x R ∈）.这里，()|sin 2|g x x =（x R ∈）.易知，()g x 的值域为[0,1].于是，()f x

的值域为.

例4 求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-（x R ∈）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、

开方得()f x x R ∈）.这里，()2|cos 2|g x x =（x R ∈）.易知，()g x 的值域为[0,2].于是，()f x

的值域为.

例5 求函数x x y -+-=

53 的值域

解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

[][][]

[]

2

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

[][][]

[]

2

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

（16）一一映射法

原理：因为)0c (d

cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范

围，就可以求另一个变量范围。

例1. 求函数1

x 2x 31y +-=的值域。

解：∵定义域为??

??

??->-<21x 21x |x 或

由1

x 2x 31y +-=得3

y 2y 1x +-=

故213y 2y 1x ->+-=

或2

1

3y 2y 1x -<+-= 解得2

3y 23y ->-<或

故函数的值域为??

? ??+∞-??? ??-∞-,2323,

（17）其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。

例1. 求函数3

x 2x y ++=

的值域。 解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2+=+

（1）当0t >时，

21

t

1t 11t t y 2≤+

=+=，当且仅当t =1，即1x -=时取等号，所以2

1y 0≤< （2）当t =0时，y =0。

综上所述，函数的值域为：??

????21

,0

注：先换元，后用不等式法

例2. 求函数4

24

32x

x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域。

解：423424

2x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=2

2

22x

1x x 1x 1++???? ??+-= 令2tan x β=，则β=???

? ??+-22

22

cos x 1x 1 β=+sin 21

x

1x 2

1sin 21sin sin 21cos y 22

+β+β-=β+β=∴161741sin 2

+??? ?

?

-β-=

∴当4

1sin =β时，16

17y

max

=

当1sin -=β时，2y min -=

此时2tan β都存在，故函数的值域为??

????-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。 例3.求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：（图象法）如图，值域为(]1,0

例4.求函数x

x y 2231+-?

?

?

??= 的值域

解（复合函数法）：令1)1(22

2+--=+-=x x x t ，则)1(31≤??

? ??=t y t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为??

????+∞,31

例5.求函数21x x y -+=的值域 解（三角代换法）： 11≤≤-x

∴设[]πθθ,0cos ∈=x

[]

[]

2

,12

,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π

θθθθθy

小结：

（1）若题目中含有1≤a ，则可设

)0,cos (2

2

,sin πθθπ

θπ

θ≤≤=≤

≤-

=a a 或设

（2）若题目中含有12

2

=+b a 则可设θ

θsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0 （4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x ，其中2

2

π

θπ

<

<-

（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x

??

?

?

?∈2,

0πθ 例6、求函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一：（逆求法）110112

<≤-∴≥-+=

y y

y

x

[)11-∴原函数的值域为 解法二：（复合函数法）设t x =+12

， 则 )1(2

11

212≥-=+-

=t t x y

(]1,11

12201-∴<≤-∴≤<

∴≥原函数值域为y t

t 解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2=++?+-y x x y 1） 1=y 时 不成立

2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y

11<≤-∴y

综合1）、2）值域}11|{<≤-y y

解法四：（三角代换法）∴∈R

x 设??

?

??-∈=2,2tan ππθθx ，则

()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12

2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ

θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y

小结：

已知分式函数)0(222

2≠+++++=d a f

ex dx c

bx ax y ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为)

(二次式

一次式

或一次式二次式==y y

5cm

5cm

8cm

8cm

的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(≠+

=x x

a

x y 的单调性去解。 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 五、与函数值域有关的综合题

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［4

3

,

32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160, 将x =

λ

10

22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+

λ

5

),

当8λ=

λ

5

,即λ=8

5(85<1)时S 取得最小值

此时高 x =

λ

4840

=88 cm, 宽 λx =8

5

×88=55 cm

如果λ∈［4

3,32］，可设32≤λ1<λ2≤43

,

则由S 的表达式得

)

5

8)((1044)

5

85

8(1044)()(2

1212

21

121λλλλλλλλλλ-

-=-

-+=-S S

又21λλ≥

85

32>,故8－

2

15λλ>0, ∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［4

3

,32］内单调递增

从而对于λ∈［4

3,

32］,当λ=32

时，S (λ)取得最小值

答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［4

3,32］,当λ=32

时，所用纸

张面积最小

例2已知函数f (x )=x

a

x x ++22,x ∈［1,+∞)

(1)当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

解 (1) 当a =

21时，f (x )=x +x

21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，

∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=2

7 (2)解法一 在区间［1，+∞)上，

f (x )=x

a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立

设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)

∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，

∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－

解法二 f (x )=x +

x

a

+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；

当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,

当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +

1

1

-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M (2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值

(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1 (1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +

1

1

-m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +1

1

-m >0恒成立， 故f (x )的定义域为R

反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +1

1

-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +

1

1

-m )＜0,解得m >1,故m ∈M (2)解 设u =x 2－4mx +4m 2+m +1

1

-m ,

∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小

而u =(x －2m )2+m +

1

1

-m , 显然，当x =m 时，u 取最小值为m +1

1

-m , 此时f (2m )=log 3(m +

1

1

-m )为最小值 (3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 1

1

-m +1≥3,

当且仅当m =2时等号成立 ∴log 3(m +1

1

-m )≥log 33=1