初中中考数学专题复习

考点一、实数的运算

1.计算：

sin45°2.计算：(

)1

01-3cos30 1.2π-?

??+-- ???

3.

0(4)6cos302-π-+- 4.

1

2cos454π-+?+（-2）； 5.计算：12)21(30tan 3)2

1(0

1+-+--- 6.

计算：131

|2|()cos303

---++7.计算：30)2(4)2011(2

3

-÷+---

8.计算：23860tan 211231

-+

-+?-?

?

?

??---

考点二、整式、根式与分式的化简求值

1.

计算：0

(3)1-+

．

2.分解因式8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy ．

3.先化简，再求值.22

1211

, 2.1

11x x x x x x x ??-+-+÷= ?+-+??其中 4.先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212

x x --???≤的解集中，选一个符合题意．．．．的x 的值代入求值． 5.先化简，再求值：2121

(1)1a a a a

++-?+，其中a

6.先化简，再求值：???

??-÷??? ??-+-+--142244122a

a a a a a a ，其中a =2－3

7.先化简（

23x x -－3x x +）÷2

9x

x -，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值． 8.观察下列算式：① 1 × 3 － 22 = 3 － 4 = －1

② 2 × 4 － 32 = 8 － 9 = －1

③ 3 × 5 － 42 = 15 － 16 = －1

④ ……

（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

考点三、二元一次方程、分式方程、一元二次方程

1.解方程组??? x －y =1

2x ＋y =2

2.解方程组：??

?=+=②

13

y 2x ①11

3y -4x

3.解方程：x 2＋3x ＋1=0． 5.解方程：x 2 + 4x ? 2 = 0；

5.解方程：

x 2+3

+x x =1 6.解分式方程：

21

2423=---x x x 。 7.解方程：51122x x x -+=--． 8.解方程：

233011

x x x +-=-- 考点四、不等式与不等式组的解法

1.解不等式：3－2（x －1）<1.

2.解不等式2x －3＜x ＋1

3，并把解集在数轴上表示出来．

3. 解不等式113

x

x +-≤

，并吧解集在数轴上表示出来. 4.解不等式组???x －1<3

2x +1>0.

5. .解不等式组：?

??≤-+>+1)1(2,

13x x x 并把它的解在数轴上表示出来．

6.解不等式组 )2( 13212

1)

1( 313???

??++≤+-<+x

x x x ，并写出它的所有整数解。 7. 解不等式组3(2)412 1.3

-x x x x -≤-??

+?>-??，

8.解不等式组：???

??+<-≥+3122

1302x x x ，并写出该不等式组的最小整数解.

考点五、全等三角形

1.已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC

2. ，D ，E ，分 别 是 AB ，AC 上 的 点 ，且AB=AC ，AD=AE ．求证∠B=∠C ．

A

B

C

D

E

3.如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ，CH=CD ，连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG .

4.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在

BC 上,且AE=CF.

(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.

5.如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足

分别为点E 、F ．求证：BE =CF ．

6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长

线相交于点F.

(1)证明：∠DFA = ∠FAB； (2)证明: △ABE≌△FCE.

7.已知:如图,在△ABC 中,D 为BC 上的一点,AD 平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC. 求证:AB=AC

8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合， 连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．

考点六、应用题

1. 一种商品时价为50元/件，打八折后，再降低10%，仍获利44%，求标价多少？

2.一种商品标价60元件，打8折后，销售仍获利60%，求该商品的进价每件多少钱？

3.某厂第一季度其生产钢材19万吨，二、三月份共生产15万吨，求平均月增长率。

4.某种商品，每件原价50元，经过两次相同幅度的降低后，每件售价仅为32元，试问每次降价的百分率是多少？

5小明将100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的得息又全部探子一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本息和56元，求这种存款的年利率。

B

C

A

D

A Ｃ

D

B

6.某商场进了一批空调，单价为1200元/台，当标价为2000元/台时，每月能卖出10台，已知每打一折每个月就多销出5台空调，问打多少折时，月利润达到9000元？

7.开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了

同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，

奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.

8.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C )。

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量 为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？

考点七、尺规作图

1. （2010泰州）已知△ABC ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要

求填空：

(1)作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ；

(2)作线段BD 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ． 由⑴、⑵可得：线段EF 与线段BD 的关系为

2.（2010 珠海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD

（1）用尺规作图方法，作∠DAB 的角平分线AF （只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状（只写结果）

3.（2010玉林）如图7，Rt△ABC 中，∠C ＝90

，AC ＝4，BC =３， （1）尺规作图：作斜边AB 边上的高CD ，垂足为D ；（只保留作图痕迹） （2）求CD 的长

4.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ． （1）以AB 边上一点O 为圆心，求作⊙O ，使得⊙O 过A 、D ，（保留作图痕迹）； （2）若（1）中的⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，AB=6，BD=32， 求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

B

E O （第5题）

A

B

C

A

B

C

5. 如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上，

四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠ 的平分线（请保留画图痕迹）．

6.作图，已知∠AOB ，

（1）求作：在∠AOB 内找一点P ，使点P 到OA 、OB （2）若∠AOB=60°，OP=6cm ，求点P 到OB 的距离。

7.已知△ABC

（1）在BC 上找一点P ，使点P 到AB 、AC 的距离相等。

（2）若AB=3cm ，AC=2cm ，求△APB 与△APC 的面积之比。

8.已知△ABC ，

（1）求作△ABC 的内切圆⊙O ，

（2）若AB=5，AC=4，BC=3，求⊙O 的半径r 。

考点八、一次函数与反比例函数 1．如图，函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与函数y 2＝

k 2

x

(x ＞0)的图象交于点A (2，1)、 B ，与y 轴交于C (0，3)．

(1)求函数y 1的表达式和点B 的坐标；

(2)观察图象，比较当x ＞0时y 1与y 2的大小．

2．如图，正比例函数12y x =

的图象与反比例函数k

y x

=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ?的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合）， 且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.

3.如图，已知反比例函数11k

y x

=（k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B

两点，AC ⊥x 轴于点C . 若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值？

4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函

数y ＝x

m

(m ≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B

的坐标为(6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝4

5

．

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．

5．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42(0)m

y x x

-=>的图 象于点A 、B ，交x 轴于点C ．

(1)求m 的取值范围；

(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且

BC AB ＝ 1

3

，求m 的值和一次函数的解析式．

6.如图所示，直线1l 的方程为1y x =-+，直线2l 的方程为5y x =+，且两直线相交于点P ，过点P 的双曲线k

y x

=与直线1l 的另一交点为Q （3，m ）． （1）求双曲线的解析式． （2）根据图象直接写出不等式

1k

x x

>-+的解集．

7.如图，已知A （4，a ），B （－2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数

x

m

y =

的图象的交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积.

8.如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）

两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集；

（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．

考点九、统计与概率

1.有四张正面标有式子：2，x 2-1,x-1,x+1的不透时卡片，它们除式子不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后任取一张，不放回，然后再取一张。 （1）用树状图分析该事件的所有可能情况

（2）求两次抽取的卡片都是多项式的概率是多少？

（3）把第一次抽取的卡片上式子作为分子，第二次抽取的卡片上的式子作为分母，化简后仍是分式的概率是多

少？

2. 有四张正面标有数字：3，0,2,5的不透时卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后任取一张，不放回，然后再取一张。 （1）用树状图分析该事件的所有可能情况

（2）求两次抽取的数字之和为偶数的概率是多少？ （3）设两次抽取数字之和为a ，则使分式方程2--x a x +1=x

-21

有整数解的概率是多少？

3在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同。小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y 。 （1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数6y x =-+图象上的概率；

（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy>6，则小明胜；若x 、y 满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?

4.有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0、1、2、3，乙布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0、1、2．王红先从甲布袋中随机取出一个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从乙布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字． （1）若用（m , n ）表示王红取球时m 与n 的对应值，请画出树状图或列表写出的所有取值情况； （2）求出点（m , n ）落在函数y ＝

2

x

的图象上的概率，并写出这些点的坐标． 5.在不透明的袋中有大小、形状和质地完全相同的小球，它们分别标有数字-1、-2、1、2，从袋中任意摸出一个小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球.

（1）请你表示摸出小球上的数字出现的所有结果；

（2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程2

320x x -+=的根，则小明赢；如果摸出两个萧秋水的数字都不是2

320x x -+=的根，则小亮赢.你认为这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请说明理由.

6.一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，小明从中随机摸出一张记下牌面上的数字为x ，然后放回洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y ，组成一对数（x ，y ）。 （1）用列表法或树状图表示出（x ，y ）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率。

7.甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球． （1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？

（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．

8.如图15，阅读对话，解答问题．

(1)试用树形图或列表法写出满足关于x的方程x2+px+q=0的所有等可能结果；

(2)求（1）中方程有实根的概率．

考点十、解直角三角形

1.在学习了解直角三角形的有关知识后，一学习小组到操场测量学校旗杆的

高度．如图，在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE的大小为

30°，量得仪器的高CD为1.5米，测点D到旗杆的水平距离BD为18米，请你根据上述数据计算旗杆AB的高度.

2.一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东

岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前

行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．

3.如图，李军在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30

米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号）

4.某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：

甲：我站在此处看树顶仰角为45°．

乙：我站在此处看树顶仰角为30°．

甲：我们的身高都是1.5m．

乙：我们相距20m．

请你根据两位同学的对话，参考图计算这棵古松的高度．（结果保留两位小数）．

5.如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继

续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，

有无触礁的危险？

5..图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图.建筑物AB与铁塔

CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C

点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.

6.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心

A到斜坡底C的水平距离为8.8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为

0.8m，树影落在斜坡上的部分CD＝3.2m．已知斜坡CD的坡比i＝1

求树高AB． 1.7）

7.五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的

顶部C处．从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为

45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为33米，求出小鸟飞行的距离AC和

房屋的高度CD．

8．如图7，河流两岸互相平行，是河岸上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸上的处测得

，然后沿河岸走了100m到达处，测得，求

河流的宽度的值（结果精确到个位）．

考点十一、平行四边形证明与计算

1．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由

2．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

3.（2008迁宿）如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延

长交的延长线于点．

(1)求证：；

(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明

理由．

4.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线

MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

5.已知；如图．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结AE、DE．

(1)试判断四边形AODE的形状,不必说明理由；

(2)请你连结EB、EC．并证明EB=EC．

6.如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的

延长线分别交于．

（1）求证：；

（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

7.如图7，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥

BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DECF为正方形？

8.如图11，已知平行四边形中，对角线

交于点，是延长线

上的点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形．

考点十二、二次函数

1.抛物线y=ax 2＋bx ＋3经过A （－3，0），B （－1，0）两点． （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点M 的坐标。

2.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B (1，0)，C (5，0)，抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M ． 求抛物线的解析式和对称轴；

3.已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？

4.抛物线2y x bx c =++的顶点为(1,4)D --,与y 轴相交点(0,3)C -，与x 轴交于,A B 两点（点A 在B 的左边）． （1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明ACD ?为直角三角形；

5.已知二次函数y = － 12 x 2 － x + 3

2

.

（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围；

（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

6.如图，已知二次函数y= －x 2+bx +3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B .

(1)求此二次函数关系式和点B 的坐标；

(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，

OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

8.如图，在直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与x 轴交与点A （－1,0）、B （3,0）两点，抛物线交y 轴于点C （0,3），点D 为抛物线的顶点．直线y=x －1交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． (1)求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？

考点十二、圆

1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交BC 于D ．

(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．

2.已知：如图，M 是

的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，

设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝

cm.

（1）求圆心O 到弦MN 的距离；（2）求∠ACM 的度数.

3.如图，⊿ABC 内接于⊙O ，AD 是⊿ABC 的边BC 上的高，

AE 是⊙O 的直径，连接BE ，(1)⊿ABE 与⊿ADC 相似吗？请证明你的结论。 (2)若AB=4,AC=3,AD=2,求⊙O 的半径.

26题图

4.如图，在中，，

，

，是的角平分线．过

三点的圆与斜边

交于点，连接．

（1）求证：；（2）求外接圆的半径．

5．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E

，点D 在AB 边上且DE BE

⊥． （1）判断直线AC

与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若6AD AE ==，BC 的长．

6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线F A ⊥x 轴于点A ，点D 在F A 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交 x 轴于点C .，判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明。

7.如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切O 于T ，AC PQ ⊥于C ，

交⊙O 于D ．

（1）求证：AT 平分BAC ∠；

（2）若2AD =，TC =O 的半径．）

8.如图10，已知是⊙O 的直径，点在⊙O 上， 且，．（1）求的值． （2）如果，垂足为，求的长． （3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．

考点十三、规律探究题

C （第26题）

B

D

A

E （第23题图）

题型1：数的规律探索

1. 数列 4，7，10，13，16， ， ……；第100个数是 ，第n 个数是 。

2. 数列0，3，8，15，24， ， ……；第100个数是 ，第n 个数是 。

3.观察数列：1，3，6，10，15, …… ，第n 个数是

4.观察数列：0，

43，98，1615，2524，

…… ，第n 个数是 5.将一列整式按某种规律排成x,－2x 2

,4x 3

,－8x 4

,16x 5

…则排在第六个位置的整式为________； 6．（2010遵义）小明玩一种挪动珠子的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：

当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数 颗。

7.观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ ）

21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

8.（2011菏泽）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 .

题型2：数式的规律探索

1.观察：12341111111

13243546

a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a = (n=1，2，3，…).

2.（2010湖北荆门）观察下列计算：

211211-=? 3121321-=? 4131431-=? 51

41541-=? … 从计算结果中找规律，利用规律计算

+?+?+?+?541431321211…=?+201020091 。 3.（2010 山东莱）已知：3212323=??=

C ，103213453

5=????=C ，154

321345646=??????=C ，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算=6

10C ．

4. （2010淮安）观察下列各式：

()1121230123?=

??-?? ()1232341233?=??-?? ()1

343452343

?=??-?? …… 计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（ ）

A ．97×98×99

B ．98×99×100

C ．99×100×101

D ．100×101×102 5.（2011济南）观察下列各式：

（1）1=12；（2）2+3+4=32；（3）3+4+5+6+7=52；（4）4+5+6+7+8+9+10=72

… 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）

A 、1005+1006+1007+…+3016=20112

B 、1005+1006+1007+…+3017=20112

C 、1006+1007+1008+…+3016=20112

D 、1007+1008+1009+…+3017=20112

6．（2011湛江）若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60，A 54=5×4×3×2=120，A 64

=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过

程，寻找计算规律计算A 73

=

7.（2011桂林）若，，

，…；则a 2011的值为 ．（用含m 表示）

8.（2009湛江）已知22223322333388

+

=?+=?，， 244441515+=?，……，若288a a b b

+=?（a 、b 为正整数）则a b += ．

题型3：图形的规律探索

1．（2011哈尔滨）观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★，第n 个图形中共有 个★ 。 2．（2011沈阳）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆．

3.（2011?重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）

A 、55

B 、42

C 、41

D 、29 4. 观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有 个．

5. （肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n

（n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．

6．（内蒙古）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有 个小圆.

第1个图 第2个图 第3个图 第4个图

第1…… 第2第3第4

B 5

B 4B 3

B 2

C 5

C 4

C 3

C 1

C 2

B 1

C

A

第4题图

D 1

A

B

C

D E F

G

第3题图

7.（绵阳）观察图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第____个图形共有120 个。

8.观察上面图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ） A ．22n + B ．44n + C ．44n - D ．4n

题型4：规律探索的计算

1.（2011武汉）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒， 拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒 根．

2.（2011德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n

（B ）4n

（C ）1

2

n + （D ）2

2

n +

3.（2010丹东）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角 边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ， …，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

4.边长为1的菱形ABCD 中，?=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱 形11D ACC ，使 ?=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C

AC ， 使 ?=∠6012AC D

；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ．

5.（2011龙岩）如图，依次以三角形、四边形、…、n

图1 图2

图3

……

……

第1个

第2个

第3个

第1个 第2个 第4个 第3个

E 4

E 3

E 2

E 1

边形的各顶点为圆心画半径为l 的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为3S ，四边形与各圆重叠部分面积之和记为4S ，…。n 边形与各圆重叠部分面积之和记为n S ．则90S 的值为_________．(结果保留π)

6.如图所示：如图，△ACB 1，△AB 1B 2，△AB 2B 3，△AB 3B 4，…，△AB n-1B n 均是直角三角形，且以A 为顶点的锐角均为30°，分别以A 为圆心，以AC ，AB 1，AB 2，AB 3，…，AB n 为半径画弧，交AB 1于C 1，交AB 2于C 2，…，AB n 于C n 。设AC=3 （1）求AB 1= ，AB 4= ，AB n = CC 1⌒= BC 2⌒= C n-1B n ⌒=

（2） 设CC 1⌒为L 1 ，C 1C 2⌒为L 2 ，C 2C 3⌒为L 3 ，┄, C n-1C n ⌒为L n ，求L 1+ L 2 +L 3+┄+L n 的值。

7. 如图，正三角形ABCD 中，以A 为圆心AC 为半径画CE 1⌒交BA 的延长线于点E 1，

再以B 为圆心，以BE 1为半径画E 1E 2⌒ 交CB 的延长线于点E 2，再以C 为圆心，CE 2为

半径画E 2E 3⌒交AC 的延长线于点E 3，再以A 为圆心，以AE 3为半径画E 3E 4⌒交BA 的延

长线于点E 4，┄，依此规律一直画弧下去，得到的图形称正三角形的渐开线。设AB=1 （1）CE 1⌒= E n-1E n ⌒= ， E n-1E n ⌒所在圆的半径= （2）设CE 1⌒为L 1 ，E 1E 2⌒为L 2 ，E 2E 3⌒为L 3 ，┄, E n-1E n ⌒为L n ，

E 6

E 5

E 4

E 3

E 2E 1

D

A

B C

求L 1+ L 2 +L 3+┄+L n 的值

8．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心DC 为半径画CE 1⌒交AD 的延长

线于点E 1，再以A 为圆心，以AE 1为半径画E 1E 2⌒ 交BA 的

延长线于点E 2，

再以B 为圆心，BE 2为半径画E 2E 3⌒交CB 的延长线于点E 3，再以C 为圆心，

以CE 3为半径画E 3E 4⌒交DC 的延长线于点E 4，┄，依此规律一直画弧下

去，得到的图形称正方形的渐开线。设AB=1，

（1）CE 1⌒= E n-1E n ⌒= ， E n-1E n ⌒所在圆的半径= （2）设CE 1⌒为L 1 ，E 1E 2⌒为L 2 ，E 2E 3⌒为L 3 ，┄, E n-1E n ⌒为L n ，

求L 1+ L 2 +L 3+┄+L n 的值

考点十四、阅读理解题

1.(2010安徽)下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）

A ）495

B ）497

C ）501

D ）503

2．如上图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：（1）a = , b= （2）根据上面的规律，写出()5

a b +的展开式。

（3）利用上面的规律计算：5

4

3

2

252102102521-?+?-?+?-

3.阅读材料：为解方程(x 2

－1)2

－5(x 2

－1)＋4＝0，

我们可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1＝

1

55

1

14411331

12

1111b

b a

y ……①，

那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．

当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2

＝2，∴x ＝±2； 当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5，∴x ＝±5，

故原方程的解为x 1＝2，x 2＝2-，x 3＝5，x 4＝5-．

解答问题：

(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用

_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

(2)请利用以上知识解方程x 4－x 2

－6＝0．

4.（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果n

a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么

18a =_______，n a =________；

（2）如果欲求2

32013333++++

+的值，

可令2

320133

33S =++++

+ ①

将①式两边同乘以3，得_______________________ ② 由②减去①式，得S =____________________．

（3）用由特殊到一般的方法知：若数列1

2

3

n

a a a a ，，，，，从第二项开

始每一项与前一项之比的常数为q ，则n

a =________（用含1

a q n ，，的

代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么1

2

3n a a

a a +++

+=________

（用含1

a q n ，，的代数式表示），并写出求解过程。

5.先阅读下列材料，再解答后面的问题

材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：a.a.a …..a=a n

。如23

=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为

()38log 8log 22=即。一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n 且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即。

问题：（1）计算以下各对数的值:

=

==64log 16log 4log 222.

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？

64log 16log 4log 222、、 之间又满足怎样的关系式？

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

()0,0,

10log log >>≠>=+N M a a N M a a 且

根据幂的运算法则：m n m

n a a a +=?以及对数的含义证明上述结论。

6. 阅读材料，解答问题．

例 用图象法解一元二次不等式：2

230x x -->． 解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数．

10a =>∴，抛物线开口向上．

又

当0y =时，2

230x x --=，解得1213x x =-=，．

∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．

∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >．

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2

230x x --<的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：2

10x ->．（大致图象画在答题卡．．．上） （3）由上题可以得出不等式ax 2

+bx+c>0(a>0)或ax 2

+bx+c<0(a>0) 的解集：

（其中x 1,x 2是方程ax 2

+bx+c=0的两根，且x 1>x 2）

①当b 2

-4ac<0时，ax 2+bx+c>0的解集为 ； ②当b 2

-4ac=0时，ax 2

+bx+c>0的解集为 ； ③当b 2

-4ac>0时，ax 2

+bx+c>0的解集为 ； ④当b 2

-4ac<=0时，ax 2

+bx+c<0的解集为 ； ⑤当b 2

-4ac>0时，ax 2

+bx+c<0的解集为 ； （4）利用上面的规律试解不等式：

①X 2

-3x-10>0 ②-2x 2

+3x-1>0

7. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E． （1）求证：AC∥OD； （2）如果DE⊥BC，求AC的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）2π． 【解析】 试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度． 试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO， ∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD； （2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三 角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606 180 π? =2π． 点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．

【答案】画图见解析. 【解析】 【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下： 【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 3．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC． （1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin∠ABE= 3 3 ，CD=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为3 ． 【解析】 分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下： 连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE． 又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED， ∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

中考数学专题复习题及答案

2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）

中考数学重难点突破专题二：作图问题

中考数学重难点突破专题二：作图问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

专题二作图问题 类型1尺规作图 1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B； (2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：______________________________________________ (2)已知：直线l和l外一点P. 求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

(2)如图⊙P 即为所求． 2．(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)． (2)求PA ＋PB 的最小值． 解：(1)如图1所示，点P 即为所求； (2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直 线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又 ∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值 为2 2. 3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)； (2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如图1，⊙O 即为所求．

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），

中考数学三轮专题复习

中考三轮专题复习：操作设计型问题 第一部分讲解部分 一．专题诠释 操作设计型中考题是指与设计几何图案有关的问题，它把代数计算与几何作图融为一体，新颖独特，是中考试题中一道亮丽的风景．这类问题格调清新，不但有利于考查学生的识图能力、计算能力、动手操作能力和空间想象能力，而且能够充分体现义务教育阶段《数学课程标准（修订稿）》倡导的“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”新课程理念． 二．解题策略和解法精讲 平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识是解决图案设计型问题的重要理论工具．因此，要想圆满地解答这类问题，必须要掌握几种图形变换的相关知识。解决图案设计类问题，关键是要学会自觉地运用平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，使实际问题转化为我们熟悉的数学问题，从而达到问题的解决． 三．考点精讲 纵览2011年全国各地中考题，图案设计型问题主要是通过两种形式来表现的，一是给出设计好的图案，让考生指出图案的特征或求出图案的性质；二是让考生利用图形的变换知识设计出和谐、丰富、美观的几何图形． 考点一：辨别图案的对称类型 这类中考题，给出设计好的图案，让考生辨别它是平移变换图形、轴对称图形、中心对称图形和位似变换图形中的哪一种图形或哪几种图形．这类题通常以选择题的形式出现，属于基础题． 例1 （2011·浙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）. 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，图案1是轴对称图形，但不是中心对称图形；图案2和图案3是中心对称图形，不是轴对称图形；图案4是轴对称图形，又是中心对称图形．因此本题选择D． 【评析】这道中考题取材于现实生活中的图案，这一极富现实情景的几何图形，对学生

2018中考数学专题03 求阴影部分的面积(选填题重难点题型)(解析版)

1 中考指导：在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这 类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．解决这类问题的常见方法有：规则图形直接利用公式计算、不规则图形利用图形的面积的和差计算、通过分割，割补转化为规则图形计算. 典型例题解析: 【例1】（浙江省鄞州区2017届九年级下学期教学质量检测一）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. π﹣2 B. 2 13π- C. π﹣4 D. 223 π- 【答案】A 【例2】（2017年浙江省金华市金东区中考数学模拟）在矩形ABCD 中，2BC=2，以A 为圆心，AD 为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）

2 A. 22 π - B. 22 2π - C. 2π- D. 22 π- 【答案】A 点睛：本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键． 【例3】（2018年河北邢台市宁晋县换马店镇初级中学中考模拟）AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直于AB 交于点E ，∠COB=60°，CD=23，则阴影部分的面积为（ ）

实用文档 用心整理 3 A. 3π B. 23 π C. π D. 2π 【答案】B 【解析】连接OD ． ∵CD ⊥AB ， ∴CE=DE= 1 2 3， 故S △OCE =S △ODE ， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积， 又∵∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S 扇形OBD =2602360?=23π，即阴影部分的面积为23 π． 故选B ． 强化训练 1．（山东省青岛市2018年中考数学试卷样题二）如图，正方形ABCD 的边AB=1， BD u u u r 和AC u u u r 都是以1为半径的圆 弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法． 【典型例题精析】 例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD． （1）求证：AB2=AQ·AC： （2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． P 分析：要证A B2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，?∴只需再证明一个角相等即可． 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等． （2）欲证PC=PQ， ∵是具有公共端点的两条线段， ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边） 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，?利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ∴∠PCA=∠E=90°-∠1． 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，?充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，?这样有利于做题时发生迁移，联想． 例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、?DE． （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值； （3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

中考数学专题复习

中考数学专题复习 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：2π是 数，不是 数，2 π 是 数，不是 数。 2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、 b 互为相反数2π 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数2π 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 2π = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 无限不循环小数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）

2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±2π ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。 2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做2π ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例1 （2012?六盘水）实数2 π 中是无理数的个数有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解：2π，所以数字2 π 中无理数的有：2π ，共3个． 故选C ． 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。 对应训练 1．（2012?盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ B ） A ．0 B ．2π C ．﹣2 D ． 2 π 考点二、实数的有关概念。 例2 （2012?乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元 解：根据题意，支出237元应记作﹣237元． 故选B ． 点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例3 （2012?遵义）﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 4 解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，∴﹣（﹣2）=2． 故选B ． 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 例4 （2012?扬州）﹣3的绝对值是（ ） A ．3 B ． ﹣3 C ． ﹣3 D ． 2 π 解：﹣3的绝对值是3． 故选：A ． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

中考数学重难点专题讲座

中考数学重难点专题讲座 第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题 【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。 第一部分真题精讲 【例1】2010，海淀，一模 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B D C的面积为S， 2111 ?B D C的面积为S，…，?B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n 含n的式子表示）． B1B2B3B4B5 D1D 2 D3D4…… A C 1C2C 3 C4C5 【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 ?B AC,?B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三22332

2 3 3 = 2 3 .接下来通过总结 ,我们发现所求的 S = 1 n + 1 角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长 2 2 2 2 3 3 的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是 2 3 2 3 2 2 三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来 的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发 现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分 n 点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2 D C = n + 1 - 1 n n ? 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要 减 1?) S ?B n +1D n C n = 1 1 2n 3n D C ? 3 = 3 = 2 n n 2 n + 1 n + 1 【例 2】2010，西城，一模 在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ， 则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐 n n n n 标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的 n n n n 单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）． y 4 B A -8 O -4 D C 8 x 【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

初三中考数学总复习资料(备考大全)

2011年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点: 一、实数的分类: ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 １、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式,其中ｐ、ｑ是互质的整数,这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数,如１.10100100010000１……；特定意义的数,如π、45sin °等。 ３、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1）实数a 的相反数是 -a; (2）a 和ｂ互为相反数?ａ+b ＝０ 2、倒数: (１）实数a(a ≠０）的倒数是a 1;(2)a 和b 互为倒数?1=ab ；(3）注意0没有倒数 ３、绝对值: (1）一个数ａ 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号。 ４、n 次方根 （1)平方根，算术平方根:设a ≥0,称a ±叫ａ的平方根，a 叫a 的算术平方根。 (2）正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。 (3)立方根:3a 叫实数ａ的立方根。

中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题

中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二

的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

中考数学专题训练--函数综合题

中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A

° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A

x

(1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22