数学必修五知识点总结
数学必修五知识点总结
第一章 解三角形
1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；[xueba]
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． （正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形AB C 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点： 当无交点则B 无解； 当有一个交点则B 有一解； 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a
注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C
S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =
，222cos 2a c b ac +-B =，222
cos 2a b c
C ab
+-=．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2
2
2
a b c +=，则90C =；
②若222a b c +>，则90C <；③若222
a b c +<，则90C > 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型[xueba]
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角[xueba] (1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 一个步骤
3.解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 两种情形
4.解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 例1、一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯
D
bsinA
A
b
a
C
塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里
D ．103海里
解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，
在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是5
0.5＝10(海里/时)．
答案 C
例2、如图所示，
xueba
为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．
[审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .
解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝
a sin 105°
sin 45°
＝
3＋1
2
a .[xueba] 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝
AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝
22
a . 例3、如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．
解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故
CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .
又∵∠ABC ＝15°
在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC
sin ∠ABC ，
所以AB ＝
AC sin 60°sin 15°
＝
32＋6
20
(km)，
同理，BD ＝32＋6
20(km)．
故B 、D 的距离为32＋6
20
km.
例4、如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．
解 在△ADC 中，AD ＝10，
AC ＝14，DC ＝6，
由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2
2AD ·DC
＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.
在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD
sin B
， ∴AB ＝
AD ·sin ∠ADB sin B
＝10sin 60°
sin 45°
＝
10×
32
22
＝5 6.
第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等
差数列的公差．
12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2
a c
b +=
，则称b 为a 与c 的等差中项．
13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．
通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④1
1n a a n d
-=+；⑤n m
a a d n m
-=
-．
14、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q
=+（n 、p 、*
q ∈N ），则2n p q a a a =+；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m 项和构成的数列成等差数
列。
15、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()
112
n n n S na d -=+
． 16、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*
2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1
n n S a
S a +=奇偶．②
若项数为()
*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）
． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等
比数列的公比．
18、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2
G ab =，则称G 为a
与b 的等比中项．
19、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1
1n n a a q -=．
20、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③11
n n a q a -=；④n m
n m
a q
a -=． 21、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q
=+（n 、p 、*
q ∈N ），则2
n p q a a a =?；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m 项和构成的数列成等比数列。
22、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()
()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =??
=-?-=≠?
--?
．
1q ≠时，1111n n a a
S q q q
=
---，即常数项与n q 项系数互为相反数。 23、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()
*2n n ∈N ，则
S q S =偶奇
．
】 ②n
n m n m S S q S +=+?． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．
24、n a 与n S 的关系：()()11
21n n n S S n a S n --≥??=?=??
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为b kn a n +=，列两个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为c bn an a n ++=2
，列三个方程求解；
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为b aq a n
n +=，q 为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为d a a n n =-+1形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为),(1n f a a n n =-+形式，可用叠加法求解；
③若化简后为q a a n n =÷+1形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为b ka a n n +=+1形式，则可化为)()(1x a k x a n n +=++，从而新数列}{x a n +是等比数列，用等比数列求解}{x a n +的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x 是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：
①11S a = ② 1--=n n n S S a ③检验n a a 是否满足1，若满足则为n a ，不满足用分段函数写。 4、其他
（1）()1n n a a f n -=+形式，()f n 便于求和，方法：迭加；
例如：11n n a a n -=++ 有：11n n a a n -=++
()()
2132111341
413412
n n n a a a a a a n n n a a n a -=+=+=+++-=+++
++=+
各式相加得
（2）11n n n n a a a a ---=形式，同除以1n n a a -，构造倒数为等差数列；例如：112n n n n a a a a ---=，则
11
111
2n n n n n n a a a a a a ----==-，即1n a ??????
为以-2为公差的等差数列。
（3）1n n a qa m -=+形式，1q ≠，方法：构造：()1n n a x q a x -+=+为等比数列；
例如：122n n a a -=+，通过待定系数法求得：()1222n n a a -+=+，即{}2n a +等比，公比为2。 （4）1n n a qa pn r -=++形式：构造：()()
11n n a xn y q a x n y -++=+-+为等比数列；[来源:数理化网]
（5）1n
n n a qa p -=+形式，同除n
p ，转化为上面的几种情况进行构造；
因为1n
n n a qa p -=+，则11
1n n n n a a q p p p --=+，若1q p =转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法 二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若?
?
?<>00
1d a ，则n S 有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≤≥+001k k a a
②若??
?><0
1d a ，则n S 有最小值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≥≤+001k k a a
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：()213n
n a n =-?；
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：
()11111n a n n n n =
=-++，()()1111212122121n a n n n n ??
==-
?-+-+??
等； ④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：
21n n a n =+-等； 四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为d a d a -+和类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为q
a
aq 和
类型，这样可以相乘约掉。 附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于?
??
???+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = 2)1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2
n 3）2
333)1(2121??
????+=+++n n n
4） )12)(1(6
1
3212
2
2
2
++=
++++n n n n 5）
111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n
6）
)()11(11q p q
p p q pq <--= 例1、已知数列{a n }的通项为a n =
1
(1)
n n +,求这个数列的前n 项和S n .
解：观察后发现：a n =
11
1
n n -
+ ∴
1211111(1)()()2231111
n n
s a a a n n n =++???+=-+-+???+-+=-
+
例2：已知数列{a n }的通项公式为2n
n a n =?，求这个数列的前n 项之和n s 。
解：由题设得： 123n n s a a a a =+++???+
=1
2
3
1222322n
n ?+?+?+???+? 即
n s =1231222322n n ?+?+?+???+? ①
把①式两边同乘2后得
2n s =23411222322n n +?+?+?+???+? ②
用①-②，即：
n s =1231222322n n ?+?+?+???+? ① 2n s =23411222322n n +?+?+?+???+? ②
得
231
1
1111222222(12)
212
222(1)22
n n n n n n n n s n n n n +++++-=?+++???+-?-=-?-=--?=--
∴1
(1)22n n s n +=-+
例3. 求和S n =2
222321n ++++ 解: 由133)1(233+++=+k k k k 得
133)1(233++=-+k k k k ,令k=1、2、3、…、n 得
23
－13
=3·1
2
＋3·1＋1
33
－23
＝3·22
＋3·2＋1
43
－33
＝3·3
2
＋3·3＋1
…… （n+1）3
－n 3
=3n
2
+3n+1
把以上各式两边分别相加得： （n+1）3－1=3(1
2
+2
2
+…+n
2
)+3(1+2+3+…+n)+n
=3S n +2
3
n(n+1)+n 因此，S n ＝
6
1
n(n+1)(2n+1) 例4、已知数列：1，??
? ?
?+211，??
? ?
?++412
11，???
?
?+++814
1211，…，??
? ?
?+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ．
解：∵ a n ＝1＋21
＋4
1＋……＋
1
21-n
＝??? ??
-=--
n n 21122
11211∴a n ＝2－121-n
则原数列可以表示为：
(2－1)，??
? ?
?-212，??
? ?
?-2212，??
? ?
?-3212，…??
? ?
?
--12
12n
前n 项和S n ＝(2－1)＋??
? ?
?-212＋??
? ?
?-2212＋…＋??
? ?
?--12
12n
＝2n －??
? ?
?+++
+-1221212
1
1n ＝2n －2
11211-
-
n ＝2n －2???
??-n 211 ＝
1
21-n ＋2n －2
例5、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()2
1(*2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n
，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：取n ＝1，则a 1＝2
1)2
1(+a ?a 1＝1 又S n ＝
2)(1n a a n +可得：2)(1n a a n +＝2)2
1
(+n a ∵a n ≠－1(n ∈N *
) ∴a n ＝2n －1 ∴T n ＝1·2＋3·22
＋5·23
＋……＋(2n －1)·2n
①
2T n ＝1·22
＋3·23
＋5·24
＋……＋(2n －1)·2n ＋1
②
①－②得：、
∴－T n ＝2＋23
＋24
＋25
＋……＋2
n ＋1
－(2n －1)·2
n ＋1
＝2＋2
1)21(213---n －(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(1－n)·2n ＋2
∴T n ＝6＋(n －1)·2
n ＋2
例6、设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2
，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. ⑴ 求数列{a n }和{b n }通项公式．
⑵ 设C n ＝n
n b a
，求数列{C n }前n 项和T n ．
解：（1）当n ＝1时a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －2，故{a n }通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，d ＝4的
等差数列，设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴ q ＝41，故b n ＝b 1q n －1
＝14
2-n
（2）∵C n ＝
n
n b a ＝14)12(1
422
4--=--n n n n
∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝1＋3×4＋5×42
＋…＋（2n －1）4n －1
∴4T n ＝1×4＋3×42
＋5×43
＋…＋（2n －3）4n －n
＋（2n －1）4n
两式相减 3T n ＝]54)56[(3
1+-n
n
∴ T n ＝]54)56[(9
1
+-n n ．
第三章 不等式
1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质：①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+；
④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式2
4b
ac ?=- 0?> 0?= 0?<
二次函数
2y ax bx c =++
()0a >的图象
一元二次方程2
0ax
bx c ++=
()0a >的根
有两个相异实数根
1,22b x a
-±?=
()12x x <
有两个相等实数根
122b
x x a
==-
没有实数根
一元二次不等式的解集
20ax bx c ++>]
()0a >
{}
1
2
x x x x x <>或t]
2b x x a ??
≠-???
?
R
20ax bx c ++<
()0a >
{}1
2x x
x x <<
? ?
5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对
(),x y 构成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．
①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方．
②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．
①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线
0x y C A +B +=下方的区域．
②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线
0x y C A +B +=上方的区域．
10线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式．
线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
11、设a 、b 是两个正数，则2
a b
+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数． 12、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2
a b
ab +≥．
13、常用的基本不等式：
①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈； ②()22
,2
a b
ab a b R +≤
∈；
③()2
0,02a b ab a b +??
≤>> ???；④()2
22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???
．
14、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx+c>0(a>0)解的讨论.
0>?
0=? 0
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-
==
无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x ><或 ???
?
??-≠a b x x 2
R 的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
?
?
对于a<0的不等式可以先把a 化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)
()
(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）???≠≥?≥>?>0
)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：①型如：|x|＜a (a ＞0) 的不等式 的解集为：{}|x a x a -<< ②型如：|x|＞a (a ＞0) 的不等式 的解集为：{}|,x x a x a <->或
变型： {}||(0)|ax b c c x c ax b c +<>-<+<型的不等式的解集可以由解得。其中-c ax b c ax b c + +>-? 在解-c ③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.