高三数学第一轮复习资料基础篇
高
三
数
学
一
轮
复
习
讲
义
高一数学新课标必修一复习
第一章集合
第一节集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．
解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B
2．若?{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0
3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.
答案：B A
4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N={x|x 2+x=0}，得N ={-1,0}，则N M .答案：②
5．已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5. 答案：a <5
6．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1
＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B .
B 组
1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a|＋b |b|＋ab
|ab|
可能取的值组成的集合是________．
解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案：{3，－1}
2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ?A ，则实数m ＝________.
解析：∵B ?A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1.答案：1
3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．
解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8
4．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．
解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝?时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1
a
＝1或－1，∴a ＝1或－1.
答案：0,1，－1
5．满足{1}A ?{1,2,3}的集合A 的个数是________个．
解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
6．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋1
6
，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的
关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C
7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x 5”的________．
解析：结合数轴若A ?B ?a ≥4，故“A ?B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件 8．设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．
解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511
9．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A ，且k ＋1?A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.
∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1
x
}．
于是必有|x |＝1，1
x
＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.
11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，
(1)若B ?A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ?B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，
(1)∵B ?A ，∴①若B ＝?，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ?A .
②若B ≠?，则????
?
m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，
2m －1≤5.
解得2≤m ≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ?B ，则依题意应有????
?
2m －1>m －6，m －6≤－2，
2m －1≥5.
解得????
?
m>－5，m≤4，m≥3.
故3≤m ≤4，
∴m 的取值范围是[3,4]．
(3)若A ＝B ，则必有?
????
m －6＝－2，
2m －1＝5，解得m ∈?.，即不存在m 值使得A ＝B .
12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．
(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．
解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，
(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2. (2)若B 是A 的子集，即B ?A ，由数轴可知1≤a ≤2.
(3)若A =B ，则必有a =2
第二节 集合的基本运算
A 组
1．设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩?U B ＝____.
解析：?U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩?U B ＝{x |0 2．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )中的元素共有________个． 解析：A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，?U (A ∩B )＝{3,5,8}．答案：3 3．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 解析：由题意知，N ＝{0,2,4}，故M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2} 4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ?B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ?A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ?B ＝________. 解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ?B ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12 6．已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}． (1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ； (2)若B ?A ，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1 B 组 1．若集合M ＝{x ∈R |－3 解析：因为集合N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}．答案：{－1,0} 2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(?U A )∩B ＝________. 解析：?U A ＝{0,1}，故(?U A )∩B ＝{0}．答案：{0} 3．若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(?U N )＝________. 解析：根据已知得M ∩(?U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0} 4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4} 5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(?U A )∪(?U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________． 解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素， ∵(?U A )∪(?U B )＝?U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n 6．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则?U (A ∪B )＝________. 解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得?U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8} 7．定义A ?B ＝{z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ?B )?C 的所有元 素之和为________． 解析：由题意可求(A ?B )中所含的元素有0,4,5，则(A ?B )?C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18 8．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 解析：由????? x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.?? ???? x ＝0， y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2. 9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，?I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________． 解析：∵A ∪(?I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}． 答案：?，{1}，{2}，{1,2} 10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0?a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3. (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ， ①当Δ<0，即a <－3时，B ＝?满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得 ????? 1＋2＝－2(a ＋1) 1×2＝a2－5?????? a ＝－52，a2＝7， 矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝ 6 x ＋1 －1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(?R B )； (2)若A ∩B ＝{x |－1 (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1 (2)∵A ＝{x |－1 ∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2 (1)若A ＝?，求实数a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠?}． 解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．。 若a ＝0，方程有一解x ＝2 3 ，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >9 8 . 综上可知，若A ＝?，则a 的取值范围应为a >9 8. (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{2 3 }符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝9 8 时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{4 3}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{4 3 }． (3)当a ＝0时，A ＝{2 3 }≠?.当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤9 8 . 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠?}＝{a |a ≤9 8} 第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A 组 1．函数y ＝ －x2－3x ＋4 x 的定义域为________． 解析：? ???? －x2－3x ＋4≥0，x≠0，?x ∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1] 2．如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ， A ， B 的坐标分别为(0,0)， (1,2)，(3,1)，则f (1 f(3) )的值等于________． 解析：由图象知f (3)＝1，f (1 f(3) )＝f (1)＝2.答案：2 3．已知函数f (x )＝????? 3x ，x≤1， －x ，x>1.若f (x )＝2，则x ＝ ________. 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数 个数有________个． 解析：如图．答案：1 5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________. 解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3； 再令x ＝0与x ＝1得? ??? ? －1＝1＋b1＋b2＋b33＝8＋4b1＋2b2＋b3， 解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f (x )＝???? ? 1＋1 x (x>1)，x2＋1 (－1≤x≤1)， 2x ＋3 (x<－1). (1)求f (1－ 1 2－1 )，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝3 2 ， 求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解． (1)∵1－1 2－1 ＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝3 2 . (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1 ； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤3 2 ，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1. ∴f (3x －1)＝??? 3x 3x －1 (x>2 3)， 9x2－6x ＋2 (0≤x≤23 )，6x ＋1 (x<0). (3)∵f (a )＝3 2 ，∴a >1或－1≤a ≤1. 当a >1时，有1＋1a ＝3 2 ，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±2 2 . ∴a ＝2或±2 2 . B 组 1．函数y ＝ 1 3x －2 ＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >2 3 } 2．函数f (x )＝???? ? －2x ＋1，(x<－1)，－3，(－1≤x≤2)， 2x －1，(x>2)， 则f (f (f (3 2 )＋5))＝_. 解析：∵－1≤32≤2，∴f (3 2 )＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7 3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________． 解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，② ①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)， ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋1 3 lg(1－x )，(－1 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋1 3 lg(1－x )，(－1 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个． 解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数 5．设函数f (x )＝???? ? 2 (x ＞0)x2＋bx ＋c (x≤0) ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________， 关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个． 解析：由题意得 ????? 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ? ???? b ＝4 c ＝2， ∴f (x )＝? ???? 2 (x ＞0)x2＋4x ＋2 (x≤0). 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个． 答案：? ??? ? 2 (x ＞0)x2＋4x ＋2 (x≤0) 3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝1 2 ，g (x )的图象过点 A (4，－5)及 B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________． 答案：2 (－1,3) 7．设函数f (x )＝? ???? x2－4x ＋6，x≥0 x ＋6，x<0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3. 当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3 8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ???? log2(4－x)， x≤0， f(x －1)－f(x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________． 解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－2 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________． 解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得????? 5a1＝20 5a1＋15(a1－a2)＝35，得 ? ???? a1＝4a2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤95 3，又知x ≥20，故解 析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤ 953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤95 3 ) 10．函数f (x )＝(1－a2)x2＋3(1－a)x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1， (ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意； (ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． ②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数． 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立， ∴????? 1－a2>0，Δ≤0，∴????? －1 11 ≤a ≤1. (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴????? 1－a2<0， －2＋1＝3(1－a)a2－1，－2＝6 1－a2 ， Δ＝[3(1－a)]2－24(1－a2)>0 ∴???? ? a<－1或a>1， a ＝2，a ＝±2. a<－5 11或a>1 ∴a ＝2. 11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的 解析式． 解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1. 又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )， ∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z . 12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数) (1)写出g (x )，h (x )的解析式； (2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 解：(1)g (x ) ＝20003x (0 216－x (0 (2)f (x )＝??? 2000 3x (0 216－x (87≤x<216，x ∈N*). (3)分别为86、130或87、129. 第二节 函数的单调性 A 组 1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 ①f (x )＝1 x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0 ∴log a x ∈[0，1 2 ]时，g (x )为减 解析：∵0 由0≤log a x ≤1 2 a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1)) 3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________． 解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π 3 )，∴1≤y ≤2. 答案：[1,2] 4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a ex ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合 题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a ex ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即 可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1. 答案：－1≤a ≤1 5．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________． ①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝???? ? 1 (x>0) 0 (x ＝0)－1 (x<－1) 解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为 (－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数； ∵f (x )＝????? 1 (x>0)0 (x ＝0)－1 (x<－1)的下确界为－1.∴f (x )＝????? 1 (x>0) 0 (x ＝0)－1 (x<－1) 是有下确界的函数．答案：①③④ 6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x ) (2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )0b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4， ①当Δ≤0即－255≤m ≤25 5 时，则必需 ? ?? m 2≤0－255≤m≤ 25 5 －25 5≤m ≤0. ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1 2 ≥1，则x 1≤0. ????? m 2≥1F(0)＝1－m2≤0 m ≥2. 若m 2≤0，则x 2≤0， ????? m 2≤0F(0)＝1－m2≥0 －1≤m <－255 .综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2. B 组 1．下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y ＝－1 x ②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④ 2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0. ∴????? a 2≤2，4－2a ＋3a>0， ∴－4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(3 4，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0 16. 答案：(0，9 16 ] 4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x2)－f(x1) x2－x1 <0，则下列结论正确的是 ________． ①f (3) 解析：由已知f(x2)－f(x1) x2－x1 <0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即 f (3) 5．已知函数f (x )＝? ???? ax (x<0)，(a －3)x ＋4a (x≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x1)－f(x2) x1－x2<0成立，则a 的取值范围是 ________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以???? ? 0 a0≥(a －3)×0＋4a ， 解得0 4 . 6．函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________． 解析：g (x )＝? ???? 2x(x －1) (0≤x<1)， (－x ＋3)(x －1) (1≤x≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时， 在x ＝2取得最大值1.答案：1 2,0]，则函数y ＝f (cos x)的7．已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－值域是________． 解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x)的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________． 解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为 ? ???? 1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：13 9．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，1 2 )内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________． 解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，1 2 )时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0 μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－1 2.∴f (x )的单调递增区间为 (－∞，－12)．答案：(－∞，－1 2 ) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 1 2 x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 1 2 x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝ f [ g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 1 2 x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u － 12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12 ，得0 2 .由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性： 故函数y ＝2(log 12x 11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x1 x2 )＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x1 x2 >1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x1 x2 )<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1) 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x1x2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (9 3 )＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f (|x |) 12．已知：f (x )＝log 3x2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在 (0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由． 解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1 ＝1.即a ＋b ＝2. 设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x12＋ax1＋b x1＞x22＋ax2＋b x2 恒成立． 由此得(x1－x2)(x1x2－b)x1x2 ＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1. 设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x3－x4)(x3x4－b) x3x4 ＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件． 第三节 函数的性质 A 组 1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________． 解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0 1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2) 2．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________． 解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)?f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：0 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________． 解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25) 答案：f (－25) 4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1) 3)的x 取值范围是________． 解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|) 1 3 ) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________． 解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－2 6．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式． 解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0. (2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)． (3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6 ∴f (x )＝? ???? －3x ＋15， 4≤x≤6 2(x －7)2－5， 6 B 组 1．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________． ①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数 解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④ 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋3 2 )，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009) ＋f (2010)＝________. 解析：f (x )＝－f (x ＋3 2 )?f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1， f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：0 3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________. 解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：0 4．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________． 解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________． 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：1 6．已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1 f(x) ，若当2 f (2009.5)＝________. 解析：由f (x ＋2)＝－1 f(x)，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函 数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：5 2 7．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________． 解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1 8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. 解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-8 10．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)． ∴f (x )＝? ???? －xlg(2－x) (x<0)， －xlg(2＋x) (x≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋ ， f (x )<0，并且f (1)＝－1 2 ，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)法一：设x ，y ∈R ＋ ，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． ∵x ∈R ＋ ，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y ) 为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－1 2 ， ∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x 1 －x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－1 2 ，∴f (－2)＝ －f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－1 2 在[0,2010]上的所有x 的个数． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)当0≤x ≤1时，f (x )＝1 2 x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－ 1 2 x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝1 2 x (－1≤x ≤1) 又设1 2 (x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－1 2 (x － 2)(1 ?? 1 2 x (－1≤x≤1)－1 2 (x －2) (1 由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－1 2 的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令 0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－1 2 . 第三章 指数函数和对数函数 第一节 指数函数 A 组 1．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________． 解析：∵a >1，b <0，∴01.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a － b )2 ＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a － b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________. ＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－3 3．函数y ＝(12 )2x －x 2 的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[1 2 ，＋∞) 4．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞) 5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________． 解析：由题意知????? 0 a>1 a0－1＝0a2－1＝2 ?a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1 4＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2 ＝－12＋1 2x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0?f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )． 因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－1 3 . 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t2－2t ＋12t2－2t ＋1＋2＋－22t2－k ＋1 22t2－k ＋1＋2 <0 即(22t 2－ k ＋ 1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－ 2t ＋ 1＋2)(－22t 2－ k ＋1)<0 整理得23t 2－2t － k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－1 3 . B 组 1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． 解析：当0 2．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－ x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减 函数，所以需? ???? a≤1
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