2
180A ∠-? 2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三.线段垂直平分线
1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等
3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、等腰三角形的性质
【例1】（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）
A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°
【答案】D.
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
【举一反三】
（2016山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【答案】A.
【解析】
考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.
考点典例二、等腰三角形的多解问题
【例2】(2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则它的周长为（ ）
A ．16cm
B ．17cm
C ．20cm
D ．16cm 或20cm
【答案】C.
【解析】
试题分析：分当腰长为4cm 或是腰长为8cm 两种情况：①当腰长是4cm 时，则三角形的三边是4cm ，4cm ，8cm ，4cm+4cm=8cm 不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm 时，三角形的三边是8cm ，8cm ，4cm ，三角形的周长是20cm ．故答案选C ．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【举一反三】
（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm ，另一边长为5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A ．13cm
B ．14cm
C ．13cm 或14cm
D ．以上都不对
【答案】C.
【解析】 D
A B 第4题图
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
考点典例三、等边三角形的性质与判定
【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
【答案】2.
【解析】
试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2. 考点：等边三角形.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．
【举一反三】
（2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．
【答案】24+93．
【解析】
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
考点典例四、线段垂直平分线的性质运用
【例3】（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．
【答案】13．
【解析】
试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长
=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
考点：线段的垂直平分线的性质.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
【举一反三】
（2016山东威海第10题）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）
A．=B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG
【答案】A．
【解析】
考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
【答案】C.
【解析】
试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C．
【解析】
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
3. （2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大
于1
2
AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论
错误的是（）
A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．
考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
4. （2016河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【】
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3
【答案】D.
【解析】
考点：勾股定理；三角形的中位线定理.
5.（2016河北第16题）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）
第16题图
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
【答案】d.
【解析】
试题分析：Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故答案选D.
考点：等边三角形的判定.
6．在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（32，32），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B．
【解析】
考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
7.（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）
A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°
【答案】D.
【解析】
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
二、填空题
8. （2016贵州遵义第14题）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 度．
【答案】35．
【解析】
试题分析：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．
考点：线段垂直平分线的性质．
9.（2016江苏苏州第17题）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为．
【答案】27.
【解析】
试题分析：过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等
边三角形，∵△B ′DE ≌△BDE ，∴B ′F=12B ′E=BE=2，DF=23,∴GD=B ′F=2，∴B ′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，
∴AB ′=27．
考点：1轴对称；2等边三角形.
10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2
﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】19或21或23．
【解析】
考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB =AC ，BC =12cm ，∠C =30°，折叠这个三角形，使点B 落在AC 的中点D 处，折痕为EF ，那么BF 的长为 cm ．
【答案】143
． 【解析】
试题分析：过D 作DH ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，根据折叠可得：D F =BF ，∠EDF =∠B =30°，∵AB =AC ，BC =12cm ，∴BN =NC =6cm ，∵点B 落在AC 的中点D 处，AN ∥DH ，∴NH =HC =3cm ，
∴DH =3tan 30°=3（cm ），设BF =DF =xcm ，则FH =12﹣x ﹣3=9﹣x （cm ），故在Rt △DFC 中，222DF DH FH =+，
故222(3)(9)x x =+-，解得：x =143，即BF 的长为：143cm ．故答案为：143
．
考点：翻折变换（折叠问题）．
12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
【答案】69°或21°．
【解析】
考点：等腰三角形的性质；分类讨论．
13. （2016福建南平第16题）如图，等腰△ABC 中，CA =CB =4，∠ACB =120°，点D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，给出下列结论：
①CD =CP =CQ ；
②∠PCQ的大小不变；
③△PCQ面积的最小值为43
5
；
④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．
【答案】①②④．
【解析】
③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=QE CQ
，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=3CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=1
2
CP×QE=
1
2
CP×3CQ=2
3
CD，∴CD
最短时，S△PCQ最小，即：C D⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠
ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=1
2
BC=2，即：C D最短为2，∴S△PCQ最小=2
3
2
CD=2
3
2
2
=23，∴③错
误；
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．
考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）．
14. （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．
【答案】24+93．
【解析】
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
15.（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．
【答案】13．
【解析】
考点：线段的垂直平分线的性质.
16.（2016湖南娄底第17题）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为．
【答案】13．
【解析】
试题分析：将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，由折叠的性质可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．
考点：翻折变换（折叠问题）．
三、解答题
17. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
∴BE=21BG=21（BA+AG ）=2
1（AB+AC ）．
考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
18. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC ，AC=BD ．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．
【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.
【解析】
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
19.（2016广西河池第21题）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．
（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．
【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．
【解析】
考点：作图—基本作图；作图题．
20.（2016辽宁营口第25题）已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．
（1）①求证：∠ANB=∠AMC；
②探究△AMN的形状；
（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
【答案】（1）①证明见解析；②△AMN是等边三角形；（2）①成立，②不成立，△AMN是等腰直角三角形．【解析】
（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：
在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠NAB=∠MAC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；
②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：
∵△ANB∽△AMC，∴AN AB
AM AC
=，∴
AN AM
AB AC
=，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM=∠
ABC=90°，∴△AMN是等腰直角三角形．
考点：四边形综合题；探究型；压轴题．
