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椭圆的定义、标准方程及其性质

[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．

【知识通关】

1．椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；

③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

b2＝1(a>b>0)

a2＋

b2＝1(a>b>0)

图形

性质

范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，

－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

离心率e＝

a，且e∈(0,1)

a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内?x20

a2＋y20

b2＜1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上?x20

a2＋y20

b2＝1.

(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外?x 20a 2＋y 20

2＞1.

2．焦点三角形

椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)中：

(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；

(2)S ＝b 2tan θ

2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，

最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .

3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.

4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式

若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有

k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0

a 2y 0

6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝

1＋1

2|y 1－y 2|＝? ?

??1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 2

25＝1的焦点坐标为( )

A ．(±3,0)

B ．(0，±3)

C ．(±9,0)

D ．(0，±9)

3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2

＝1 B .y 29＋x 2

5＝1 C .y 2

9＋x 2＝1 D .x 29＋y 2

＝1 D

4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12

B .1＋52

C .－1＋52

D .－1±52

5．椭圆C ：x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，

B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20

【题型突破】

椭圆的定义及其应用

【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 2

48＝1 B .x 248＋y 2

64＝1 C .x 248－y 2

＝1 D .x 264＋y 2

＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2

7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则

△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72

D .752

(1)D (2)C

[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.

(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定

点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线

D ．圆

(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为

椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3

椭圆的标准方程

【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 2

9＝1(y ≠0) B .y 225＋x 2

9＝1(y ≠0) C .x 216＋y 2

＝1(y ≠0) D .y 216＋x 2

＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点? ????

－32，52，(3，5)，

则椭圆方程为________．

(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2

9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为

________．

(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 2

4＝1

[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.

(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的

形式.

(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离

心率为

，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 2

2＝1 B .x 23＋y 2

＝1 C .x 212＋y 2

＝1 D .x 212＋y 2

＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 2

2＝1 B .x 22＋y 2

＝1 C .x 24＋y 2

＝1 D .y 24＋x 2

＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆

E ：x 2＋

y 2

b 2

＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋3

2y 2＝1

椭圆的几何性质

?考法1 求离心率或范围

【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别

为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .

B .13

C .12

D .

(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2

m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在

点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)

B ．(0，3]∪[9，＋∞)

C ．(0,1]∪[4，＋∞)

D ．(0，3]∪[4，＋∞)

(1)D (2)A

?考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题

【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2

b 2

＝1的离心率e ＝1

2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P

是椭圆上任意一点，则PF →·PA →

的最大值为________． 4

[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.

(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.

(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一

点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－

B ．2－ 3

C .3－12

D .3－1

(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意

一点，则OP →·FP →

的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8

(1)D (2)C

【真题链接】

1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A

是C的左顶点，点P在过A且斜率为

6的直线上，△PF1F2为等腰三角形，

∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()

A.2

3B.

C.1

3D.

2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的

距离为其短轴长的1

4，则该椭圆的离心率为()

A.1

3B.

C.2

3D.

椭圆的定义、标准方程及其性质

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