二次型及其矩阵表示
第六章 二次型
第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩
阵表示方法.
教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
一、二次型的概念
定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数
22
2
121112221212112323221,1(,,
,)22222n nn n n n
n n n n n n
f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++
++++++ （1）
称为二次型.
附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在.
例1 ()2
2
2
12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++
都为实二次型；
二、二次线性与对称矩阵
在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1）
式可化为
11121121
222212121
2
(,,,)(,,
,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ???
== ??? ???????
称12(,,
,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称
为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.
例2 二次型
222
123112132233
(,,)3245f x x x x x x x x x x x =+--+ 对应的实对称矩阵为
312112.2
52
A ?
?=--
? ? ?- ??
?
反之,
实对称矩阵3121122
52A ?
?
=--
? ? ?- ???
所对应的二次型是
11232331(,,)112252T
x x Ax x x x x x ? ??
? ?=--
? ? ? ??? ?- ??
?
222
12
31213233524.x x x x x x x x =-+++- 三、合同矩阵
定义2：关系式
11111221221122221122n n n n
n n n nn n
x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++??=+++????=+++?
称为由变量n x x x ,,,21 到变量n y y y ,,,21 的线性变换，并简记为x Cy =.其中系数矩阵
1112
12122212
n n n n nn c c c c c c C c c c ?? ? ?= ? ??? 称为线性变换矩阵.如果C 可逆，则称该线性变换为可逆线性变换.
说明：对于一般二次型()T
f x x Ax =，问题：求可逆线性变换x Cy =，将二次型化为标准形.将x Cy =代入()T
f x x Ax =，得
()T f x x Ax =()()()T T T Cy A Cy y C AC y ==
其中，()T T y C AC y 是关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .
关于A 与AC C T 的关系，我们给出下列定义.
定义3：设A ,B 为两个n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵
A 合同于矩阵
B ,或称A 与B 合同.
矩阵的合同的性质:
1、反身性 对任意方阵A ,A 与A 合同T
E AE A ?=. 2、对称性 若A 与B 合同，则B 与A 合同.
3、传递性 若A 与B 合同,且B 与C 合同则A 与C 合同.
4、若A 为对称阵,则T
B C AC =也为对称阵,且()()R B R A =，即合同的两个矩阵的
秩不变.
四、标准形的定义
定义4：只含有平方项的二次型：22
2
1122,n n f b y b y b y =++
+称为二次型的标准形(或
法式).
说明：二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =在可逆线性变换x Cy =下,可化为()T T y C AC y .
如果AC C T 为对角矩阵
1
2
n b b B b ??
? ?∧== ? ??
?
则12(,,
,)T n f x x x x Ax =→就可化为标准形：,222
2211n n y b y b y b +++ 且其标准形中的系数恰好为对角矩阵B ∧=的主对角线上的元素, 因此上面的问题归结为A 能否合同于一个
对角矩阵的问题.
五、化二次型为标准形的方法
我们要研究用可逆线性变换x Cy =把二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =化为标准形的方
法.
1.用配方法化二次型为标准形
定理1：任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤是:
(1)若二次型f 含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形；
(2)若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆线性变换
(1,2,, ,)
i i j j i j k k
x y y x y y x y k n k i j =-??
=+??
==≠?且
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.
定理2：对任一实对称矩阵A ,存在可逆矩阵C ,使=B AC C T 为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
例3 化二次型222
123121323 25226f x x x x x x x x x =+++++为标准形，并求所用的变换
矩阵.
[解] 222123121323 25226f x x x x x x x x x =+++++
21121322x x x x x =++22
2323256x x x x +++
()2
123x x x =++2223232x x x x ---222323256x x x x +++ ()222123223344x x x x x x x =+++++
()()22
123232.x x x x x =++++
令 1123,223,332 , y x x x y x x y x =++??=+??=? 即1123,
223,332,x y y y x y y x y =-+??
=-??=?
或
112233*********x y x y x y -??????
? ???=- ? ??? ? ?????????
， 则f 化为标准形：22
12
f y y =+，所用变换矩阵为 ()111012,10001C C -??
?
=-=≠ ? ???
.
例4 化二次型121323 226f x x x x x x =+-为标准形, 并求所用的变换矩阵. [解] 由于所给二次型中不含平方项,所以令
112,21233,, x y y x y y x y =+??=-??=? 112233*********x y x y x y ??????
? ???=- ? ??? ? ???
??????
即 代入121323226f x x x x x x =+-中，可得
()()()2222
1213231132232
221332322
2
213233
22482428 2282 2226f y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =--+=--+=--+-=---+
令 113,223332,, z y y z y y z y =-??=-??=? 即113223332,y z z y z z y z
=+??
=+??=? 或
112233*********y z y z y z ??????
? ???= ? ??? ? ?????????
， 则f 化为标准形：222
123
226f z z z =-+，且变换矩阵为 110101110012001001C ???? ???=- ??? ???????113111001??
?
=-- ? ???
，()20.C =-≠
第二讲 标准形的正交变换法、规范形的转化
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的标准形与规范形
的转化以及惯性定理.
教学重点与难点：二次型的标准形与规范形的转化 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
上次课我们介绍了化二次型为标准形的方法之一（配方法），今天继续介绍化二次型为标准形的方法。
一、化二次型为标准形的方法
2.用初等变换化二次型为标准型（略）
3.用正交变换化二次型为标准形
定理3：任给二次型11
(),n n
ij i j ji ij i j f a x x a a ===
=∑∑
总有正交变换x Py =（P 为正交矩
阵），使f 化为标准形：,2
222211n n y y y f λλλ+++= 其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的
特征值.
用正交变换化二次型为标准形的步骤：
(1)将二次型表成矩阵形式T
f x Ax =，求出A ； (2)求出A 的所有特征值n λλλ,,,21 ；
(3)求出属于各特征值的线性无关的特征向量 n ξξξ,,,21 ； (4)将特征向量n ξξξ,,,21 正交化、单位化,得n ηηη,,,21 ； (5)记12(,,
,)n P ηηη=，作正交变换x Py =,则得f 的标准形
.2
222211n n y y y f λλλ+++=
例1： 将二次型222
123121323 171414448f x x x x x x x x x =++---通过正交变换x Py =，化为标准形.
[解]（1）写出对应的二次型矩阵：172221442414A --??
?
=-- ? ?--??
.
（2）求A 的特征值：由
17
22
214
42
4
14
E A λλλλ--=
--()()2
189λλ=-- 得A 的特征值：1239,18λλλ===.
（3）求对应的特征向量：
对于19λ=，解方程()90E A x -=,由
82211/209254011245000E A --???? ? ?-=-→- ? ? ? ?-????，得基础解系11/211ξ?? ?
= ? ???
.
对于2318λλ==，解方程()180E A x -=,由
12212218244000244000E A ???? ? ?-=→ ? ? ? ?????，得基础解系221,0ξ-?? ?= ? ???3201ξ-?? ?
= ? ???
.
（4）将特征向量正交化： 取11,
αξ=22,αξ=[][]23332
22,,,αξαξααα=-
得正交向量组：
11/21,1α?? ?= ? ???221,0α-?? ?= ? ???32/54/51α-??
?=- ? ???
.
将其单位化得： 1122
(,,)
333
T
η=
，2(T η=
，3(T
η=. （5
）作正交矩阵：令1231
32
(,,)320
3P ηηη? ==
?
??
?
，则
112233x y x P y x y ???? ? ?= ? ? ? ?????
，且在此变换下，原二次型化为标准形：22212391818f y y y =++.
二、惯性定理
在化二次型为标准形的过程中,可逆线性变换x Py =不唯一，对应的标准形也不唯一，但标准形中非零系数个数是相等的，都等于二次型的秩.如果限定可逆线性变换为实变换，则二次型的标准形的正系数个数是不变的，从而负系数个数也是不变的，这就是下述的惯性定理.
定理4（惯性定理）：设二次型T f x Ax =且()R f r =,有两个可逆线性变换x Py =及
x Qz =分别化二次型为标准形：
22
21122r r f t y t y t y =++
+ (0,1,2,
,)i t i r ≠=，
及
22
21122r r f k z k z k z =++
+ (0,1,2,,i k i r ≠=，
则12,,,r t t t 中正数的个数与12,,,r k k k 中正数的个数相等.
定义1：二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数,负系数的个数称为二次型的负惯性指数,正惯性指数与负惯性指数的差称为二次型的符号差.
显然，二次型的标准形中，非零系数的个数就是二次型的秩.
如：222123
23f y y y =-+,则f 的正惯性指数等于2,负惯性指数等于1,符号差等于1，()3R f =.
三、化二次型为规范形的方法
定义2：将二次型),,,(21n x x x f 的标准形如下形式给出：
222
21111p p p p r r f d x d x d x d x ++=++---，其中0(1,2,
,).i d i r >=
通过如下的可逆线性变换(1,2,
,)
(1,2,,)
i
i j
j x y i r x y
j r r n ?
==??
?==++?
则可将二次型2
22
21111p p p p r r d x d x d x d x +++
+---化为
222211p p r y y y y +++--
- (1)
称（1）式为二次型),,,(21n x x x f 的规范形.
定理5: 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身决定
的唯一形式，与所作的可逆线性变换无关.
说明：1、规范形是唯一的；
2、规范形中的正项个数p 就是f 的正惯性指数,负项个数p r -是f 的负惯性指
数,它们的差()2p r p p r --=-是这个二次型的符号差，r 是f 的秩；
3、f 的正惯性指数、负惯性指数是被f 本身唯一确定的.
例2：化二次型123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+为规范形，并求其正惯性指数。 [解] 二次型123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+可化为如下标准形：
222
123
226f z z z =-+， 令
11,
22,3
3,w w w ?=??=??=??，
即112233,,,z z z ?
=
??
?=
???=??
则 f 可化为规范形：222
123
f w w w =-+且正惯性指数等于2.
例3：化二次型：222
12311232233
(,,)2()285f x x x x x x x x x x x =+++++为规范形，并求 其正惯性指数.
[解] 先化标准形得：
222
12311232233
2222212323232233
2
2
21232233
222
123233
(,,)2()285 ()2285 ()64 ()(3)5f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x =+++++=++---+++=+++++=++++-
令
1123,223,3
3 3 , y x x x y x x y ?=++?=+??=?，即y Bx =，其中，112233,y x y y x x y x ????
? ?
== ? ? ? ?????
，11101
300B ?? ?= ? ?. 于是，经过可逆线性变换1
x B y -=，二次型f 化为规范形：
222
123
f y y y =+-，且f 的正惯性指数是2.
第三讲 正定二次型
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解正定二次型的概念，并掌握正定
二次型的判别法.
教学重点与难点：正定二次型的判别法 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
一、概念
定义1：设()T f x x Ax =（其中T
A A =）是实二次型， (1)如果对任何非零向量x ,都有
0T x Ax > （或0T x Ax <）
成立，则称()T f x x Ax =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2)如果对任何非零向量x ,都有
0T x Ax ≥ （或0T x Ax ≤）
成立,且有非零向量0x ,使000T x Ax =,则称()T
f x x Ax =为半正定（半负定）二次型,矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
(3)如果()T f x x Ax =既不是半正定又不是半负定，则称()T
f x x Ax =为不定二次型.
例1：二次型,),,,(2
222121n n x x x x x x f +++= 当12(,,
,)0T n x x x x =≠时,显然有
,0),,,(21>n x x x f 所以该二次型是正定的,其中矩阵n E 是正定矩阵.
例2：二次型2222112132233123
2444(2)0f x x x x x x x x x x x x =--+-+-=-+-≤，则当02321=-+x x x 时,0),,(321=x x x f ,即),,(321x x x f 是半负定,其对应的矩阵
????
? ??-----422211211是半负定矩阵. 二、正定二次型的判别法
定理1：n 元实二次型()T
f x x Ax =为正定二次型?()f x 的正惯性指数等于n .
说明：1、二次型的正定性与其矩阵的正定性之间具有一一对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
2、实二次型为正定二次型的充分必要条件是它对应的实对称矩阵与对角矩阵合
同，而且该对应矩阵的主对角线上的元素全为正数.
推论1：n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵?矩阵A 的所有特征值全为正数. 定理2：实对称矩阵A 为正定矩阵?存在可逆矩阵C ,使C C A T =，即A 与单位矩阵E 合同.
推论2：若实对称矩阵A 为正定矩阵，则0||>A .
下面介绍一种判别正定二次型的方法，用这种方法常能较方便地判别二次型的正定性. 定义2：n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式
11121212221
2
12(1)k k k k k k
i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a i i i n a a a ≤<<<≤
称为A 的一个k 阶主子式.而子式
11
121212221
2
||(1,2,
,)k k k k k kk
a a a a a a A k n a a a =
=
称为A 的k 阶顺序主子式.
定理3（霍尔维茨定理）：n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵?A 的所有顺序主子式全大于零，即),,2,1(0||n k A k =>.
说明：1、若二次型T
f x Ax =为正定的，则()T
f x A x -=-为负定的；反之，若T
f x Ax =为负定的，则()T
f x A x -=-为正定的.所以，从判别正定二次型的充分必要条件，可得判别负定二次型的以下四个等价命题：
(1)n 元实二次型T
f x Ax =为负定的； (2)二次型T
f x Ax =的负惯性指数等于n ；
(3)二次型T f x Ax =的矩阵A 的所有特征值全为负数；
(4)二次型T f x Ax =的矩阵A 的奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即
).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-
其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.
2、对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个命题是等价的:
(1)实对称矩阵A 是半正定（半负定）的； (2)A 的所有主子式大于（小于）或等于零； (3)A 的全部特征值大于（小于）或等于零.
例3：判别二次型2221231231213(,,)56644f x x x x x x x x x x =---++的正定性. [解] f 的矩阵为
52
2260206A -?? ?=- ? ?-??
，
而11150,a a ==-<1112
22122
52260,2
6
a a a a a -=
=
=>-800A =-<，即奇数阶顺序主
子式都小于0，而偶数阶顺序主子式都大于0，故f 为负定二次型.
例4：当λ取何值时，二次型
222
123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定.
[解] f 的矩阵为
1111213A λλ-??
?= ? ?-??
，
因f 为正定二次型，故A 的所有顺序主子式全大于零，即
11110,a a ==>1112
22122
1110,12
a a a a a =
=
=>2(21)0A λλ=-+->，
解得(11λ-<，即为所求.
最后给出二次型的规范形与其正定性之间的关系定理： 定理4：设T
f x Ax =为n 元实二次且()R f r =,且其规范形为
2
2122221r p p z z z z z ---++++ ，
则
(1)f 负定?,0=p 且r n =.(即负定二次型的规范形为2
2221n z z z f ----= ).
(2)f 半正定?p r n =<(即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22
2
21 ) (3)f 半负定?,0=p r n <.(即n r z z z f r <----=,22
2
21 ). (4)f 不定?0p r n <<≤.(即2
2122221r p p z z z z z f ---+++=+ ).
矩阵的正定性及其应用论文
矩阵的正定性及其应用 摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例． 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0
二次型的性质及应用
唐山师范学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师张王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日
目录 摘要 0 前言 0 1 二次型的历史及概念 (2) 二次型的历史 (2) 二次型的矩阵形式 (1) 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (2) 3 二次型的应用 (6) 多元函数极值 (6) 证明不等式 (12) 因式分解..................................... (错误!未定义书签。)二次曲线. (13) 结论 (13) 参考文献 (13) 致谢 (13)
二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型
中级计量经济学讲义_第二章第一节数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)
上课材料之二： 第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为： v a a a a a a a a a a A mn m m n n ij ? ???? ???????== 2122221 11211][ 矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==n k kj ik ij b a c 1 ，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立 的： ● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？ 向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。 矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。 显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '， ● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。 ● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。 则称A 、B 是可逆矩阵，显然1 -=B A ，1 -=A B 。如下结果是成立的：
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
二次型及其应用
滨江学院 毕业论文 题目二次型及其应用 院系滨江学院理学系 专业信息与计算科学 学生姓名刘峰 学号20102314014 指导教师吴亚娟 职称副教授 二Ｏ一四年五月十日
目录 引言 (1) 1、二次型的相关定义和定理 (1) 1.1二次型的定义 (1) 2、二次型在初等数学中的应用 (2) 2.1不等式证明 (2) 2.2多项式的因式分解 (4) 2.3判断二次曲线的形状 (6) 3、二次型在几何方面的应用 (7) 3.1求平面线图形的面积 (8) 4、多元函数极值方面的应用 (9) 4.1条件极值 (9) 4.2无条件极值 (10) 5、求多元函数积分方面的应用 (11) 5.1二次型的正交变换 (11) 5.1重积分的计算 (12) 5.2求曲面积分 (13) 6、结束语 (14) 7、参考文献 (14)
二次型及其应用 刘峰 南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014 摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物 理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。 关键字：极值；几何 ；重积分； 引 言 二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。 1、二次型的相关定义和定理 1．1、二次型的概念和定义 在《高等代数》中涉及的一些相关理论 设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式： ()212111121213131122222323222 ,,,22222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ +=+++++ = + 1 1 n n ij i j i j a x x === ∑∑，
二次型的矩阵表示
§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 目录 摘要 (1) 引言 (2) 1.二次型的相关定义及定理 (3) 2.二次型的应用 (6) 2.1在二次曲线中的应用 (6) 2.2在证明不等式中的应用 (7) 2.3在求极值中的应用 (8) 2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用 (10) 2.5在多项式因式分解中的应用 (10) 参考文献 (12) 致谢 (13) 浅谈二次型及其应用 摘要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用. 关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换 A Talk about Quadric Form and Its Application Abstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus. Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation 第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ? ??'+'='-'=θθθ θcos sin sin cos y x y y x x 把方程化为标准形式 122='+'y c x m . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 分布图示 ★ 引言 ★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 n n n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122 222221112122222),,,(--+++++++++++= 称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 2222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型 (或法式). 二、二次型的矩阵 取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是 ∑== ++++++++++++=n j i j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1 ,22211222 22212211121122 11121),,,( ) ()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++= . ),,,(),,,(212 122221 112 1121221122 22121121211121AX X x x x a a a a a a a a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =??? ? ? ? ? ????????? ??=? ?????? ??+++++++++= 其中 ?? ? ? ? ? ? ??=???? ?? ? ??=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 2 122221 1121121, . 称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩 阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系. 三、线性变换 定义2 关系式 ????? ??+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111 称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ?? ? ? ? ? ? ??=nn n n n n c c c c c c c c c C 2 1222 21112 11 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换. 对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得 二次型在中学数学中的应用 摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。 关键词 二次型 标准形 对称矩阵 1. 引言 二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。 2. 正文 二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下： 文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。 定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。 定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。或秩等于1． 第一章绪论 二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等. 基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透. 下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法. 第二章 二次型的基本知识 2.1 二次型的定义 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程式 222ax bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴（反时针方向转轴） cos sin sin cos .x x θy θ,y x θy θ''=-??''=+? (2) 把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到. 设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n y y y ,,,21 的二次齐次多项式 2121111212112 2222 22()222n n n n n nn n f x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x . =++++++++ （3） 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如: 222 112132233 3243x x x x x x x x x +++++. 就是有理数域上的一个三元二次型. 2.2 二次型的矩阵表示 首先我们引入定义： 定义2.1 设1212;n n x ,x ,,x y ,y ,,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系 1111122122112222112. n n n n n n n n nn n x c y c y c y , x c y c y c y ,x c y c y c y =+++??=+++??? ?=+++? (4) 称为由12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性替换,如果系数行列式 学 生 毕 业 论 文 课题名称 二次型及其应用 姓 名 兰海峰 学 号 1209401-23 学 院 数学与计算科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 陈暑波 副教授 2016 年 3月 15日 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※ ※ ※※※※※※※※※ 2016届学生 毕业论文材料 （四） 湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业设计（论文）作者签名： 二○一六年六月日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1. 二次型基本理论 (2) 1.1 二次型的矩阵表示 (2) 1.2 矩阵的合同关系 (2) 1.3 二次型的标准型、规范型及其性质 (3) 1.4 正定二次型及其性质 (3) 2. 二次型的实例应用 (5) 2.1 二次型在初等数学中的应用 (5) 2.1.1 二次型与因式分解 (5) 2.1.2 二次型与不等式的证明 (7) 2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7) 2.1.4 求解多元二次函数最值 (9) 2.1.5 二次型与条件极值 (12) 2.2 二次型在高等数学中的应用 (13) 2.2.1 二次型在曲面上的应用 (13) 2.2.2 二次型在最小二乘法上的应用 (14) 参考文献 (17) 致谢 (17) 附录 (18) 摘要............................................. 错误!未定义书签。关键词............................................. 错误!未定义书签。Abstract.......................................... 错误!未定义书签。Keywords.......................................... 错误!未定义书签。前言............................................... 错误!未定义书签。1预备知识........................................ 错误!未定义书签。二次型定义........................................ 错误!未定义书签。正定二次型定义.................................... 错误!未定义书签。 2 正定二次型的性质............................... 错误!未定义书签。 3 正定二次型的应用 (7) 正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 正定二次型在分块矩阵中的应用...................... 错误!未定义书签。正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用........ 错误!未定义书签。正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）错误!未定义书签。 正定二次型在解线性方程组中的应用.................. 错误!未定义书签。正定二次型在物理力学问题中的应用.................. 错误!未定义书签。结束语.. (13) 参考文献.......................................... 错误!未定义书签。 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 对称矩阵的性质及应用 班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥 内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： （1）对称矩阵一定是方阵 （2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都 成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? 定义2 形式为1200000 l a a a ?? ? ? ? ??? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角 矩阵 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。 （2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零。反对称矩阵一定形如12112 2120 00n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? 。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。 毕业论文 题目：二次型的正定性及其应用 学生姓名：孙云云 学生学号： 0805010236 系别：数学与计算科学系 专业：数学与应用数学 届别： 2012 届 指导教师：李远华 目录 摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (8) 3.1 多元函数极值 (8) 3.2 线性最小二乘法 (12) 3.3 证明不等式 (14) 3.4 二次曲线 (16) 结论 (17) 致谢 (17) 参考文献 (17) 淮南师范学院2012届本科毕业论文1 二次型的正定性及其应用 学生：孙云云 指导老师：李远华 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.浅谈二次型及其应用1
二次型及其矩阵
二次型在中学数学中的应用
二次型的应用与思想方法
二次型及其应用
正定二次型的性质及应用
二次型及其矩阵表示
对称矩阵的性质及应用概要
二次型的正定性及其应用