2016考研数学一真题(W O R D清晰版)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2016考研数学(一)真题完整版
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()
11b
a
dx x x +∞
+?
收敛,则( )
()()()()11111111
A a b
B a b
C a a b
D a a b <>>><+>>+>且且且且
(2)已知函数()()21,1ln ,1
x x f x x x -?=?≥??,则()f x 的一个原函数是( )
()()()()()()()()()()()()()()()()2
2
22
1,1
1,1
ln 1,1
ln 11,1
1,11,1
ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ??-<-?==?
?
-≥+-≥??????-<-?==??
++≥-+≥????
(3)若(
)(
)2
2
2211y x y x =+=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )
()()()()
()
()222
2
313111x
x A x x B x x C D x x +-+-
++
(4)已知函数(),0111
,,1,2,1
x x f x x n n n n ≤??
=?<≤=?+?,则( )
(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )T A 与T B 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似
(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则
()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )
(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面
(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少
(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均
为31
,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.
(9)()__________cos 1sin 1ln lim
2
00
=-+?→x dt t t t x
x
(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA
(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则
()_________
1,0=dz
(12)设函数()2
1arctan ax
x
x x f +-
=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式
10001
0001
4
3
2
1
λλλ
λ--=-+____________.
(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)已知平面区域
()(),221cos ,22D r r ππθθθ??
=≤≤+-≤≤????,计算二重积分D
xdxdy ??.
(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.
()I 证明:反常积分0()y x dx +∞
?收敛;
()II 若'
(0)1,(0)1,y y ==求0
()y x dx +∞
?的值.
(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足
2(,)
(21),x y f x y x e x
-?=+?且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分
(,)(,)
()t
L f x y f x y I t dx dy x y
??=+???
,并求()I t 的最小值 (18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()
zdxdy
ydzdx dydz x I 3212+-+=??∑
(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,1
0'()2
f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n x x ∞
+=-∑绝对收敛;
(II )lim n n x →∞
存在,且0lim 2n n x →∞
<<.
(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,1
1112A a B a
a a --????
?
?== ? ? ? ?----????
当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?
(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -?? ?
=- ? ???
(I )求99A
(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
(22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 在区域
()
{2,01,D x y x x y =<<<<上服从均匀分布,令
1,0,X Y
U X Y
≤?=?
>? (I )写出(,)X Y 的概率密度;
(II )问U 与X 是否相互独立?并说明理由;
(III )求Z U X =+的分布函数()F z .
(23)设总体X 的概率密度为()???
??<<=其他,00,3,32
θθθx x x f ,其中()∞+∈,
0θ为未知参数,321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,令()321,,max X X X T =。 (1)求T 的概率密度
(2)确定a ,使得aT 为θ的无偏估计
参考答案: