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抛物线专题复习讲义及练习

抛物线专题复习讲义及测试（基础版）

★知识梳理★

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：

标准方程 px y 22=

px y 22-=

py x 22=

py x 22-=

图形

▲

y x

▲

y x

▲

焦点

)0,2(p F )0,2

(p F - )2

,0(p F )2

,0(p F - 准线

p x -

= 2p x =

p y -

= 2

p y =

范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,0 0,≥∈y R x 0,≤∈y R x

对称轴 x 轴

y 轴

顶点（0，0）

离心率

1=e

2.抛物线的焦半径、焦点弦

①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2P y +；

② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 4

p ，=B A y y 2

p -，||AB =p x x B A ++

★重难点突破★

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=42

x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.

1617 B. 16

15 C.87

D. 0

点拨：抛物线的标准方程为y x 412

，准线方程为16

-=y ,由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是16

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”

问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为AB BB AA 2

)''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切

★热点考点题型探析★

考点1 抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1 ]已知点P 在抛物线y 2

= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离

[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【思路指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】

1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，33

3()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（）A ．321x x x =+ B ． 321y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+

2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82

=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 ( )

A. )0,0(

B. )62,3(

C. )4,2(

D. )

62,3(-

1.［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222

p p p

x x x +

=+++即：2312x x x =+． 2.设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C 考点2 抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为2

2y px =-或2

2(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24?=--=p p 或 ∴2934p p =

=或 ∴抛物线方程为24

y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =-

(2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,

=, ∴8p =，此时抛物线方程2

16y x =;焦点为(0,-2)时

= ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-. ∴所求抛物线方程为216y x =或2

8x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

3.若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合,则p 的值 4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y 2

=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程 3.[解析]

4132

=?+=p p

4.[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5.[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)2

3,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A 、B 为抛物线px y

=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

［解析］设直线OA 方程为kx y =,由???==px

y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p

k p ??

=-=px y x

k y 212解出B 点坐标为)2,2(2

pk pk -，直线AB 方程为2

21)

2(2k pk x k pk y ---

=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p 【思路指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k

-换k 而得。【新题导练】

6. 若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点，则实数a =

7.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A

45 B.

60 C.

90 D.

120

6.[解析]-1

7.[解析]C 基础巩固训练

1.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422

R a a a ∈++，则这样的直线（） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在

2.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2

4x y =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 3.两个正数a 、b 的等差中项是

，一个等比中项是25，且,b a >则抛物线2

()y b a x =-的焦点坐标为( ) A ．1(0,)4- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2-

D ．1(,0)4

4. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9

5、抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（）

A ．33

B ．34

C ．36

D ．38

6、设O 是坐标原点，F 是抛物线2

4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60

，则OA

为．综合提高训练

7.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标

9. 设抛物线2

2y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且

BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．

10.椭圆122

22=+b

y a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

（1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值. 参考例题：

1、已知抛物线C 的一个焦点为F （2

1，0），对应于这个焦点的准线方程为x =-2

1. （1）写出抛物线C 的方程；（2）过F 点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 点为坐标原点，求△AOB 重心G 的轨迹方程；

参考答案

1.[解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长

为4．2.[解析] B 利用抛物线的定义，点P 到准线1-=y 的距离为5，故点P 的纵坐标为4．

3.[解析] D. 1,4,5-=-==a b b a

4.[解析]B 根据抛物线的定义，可知12

i i p

PF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,55=x ,||5F P =6

5.[解析] C. 过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，

32,3)1(21==∴-=+∴n m m m 四边形ABEF 的面积==?++32)]13(2[2

6.[解析]21. 过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ．

)32,3(A ∴21)32(322=+=∴OA

7.[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，点P 到直线的距离17

|544|2

+-=x x d 1717417|

4)21

(4|2≥+-=x ，

当且仅当21

x 时取等号，故所求的点为），（12

解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入

抛物线方程得0442

=--b x x ，由01616=+=?b 得21

,1=

-=x b ，故所求的点为），（12

9.证明:因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ??

???

，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p x my =+，代

人抛物线方程得2220y pmy p --=．若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-

上，所以点C 的坐标为2,2p y ??

- ???

，故直线CO 的斜率为21

112.2

y y p k p y x =

==- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．

10.解：（1）∵122

22=+b

y a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛

物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……①∵M （-4，

）在椭圆上 ∴

125811622=+b

a ……②∵2

22c b a +=……③ ∴由①②③解得：a=5、b=3∴椭圆为

252

2=+y x 由p=8得抛物线为x y 162

= 设椭圆焦点为F （4，0），

由椭圆定义得|NQ|=|NF|∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|=5

)05

()44(2

-+--，即为所求的最小值. 1.解：（1）抛物线方程为：y 2=2x . （4分）（2）①当直线不垂直于x 轴时，设方程为y =k (x -2

1)，代入y 2=2x ，

得：k 2x 2

-(k 2

+2)x +042=k .设A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=222k

k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2-1)=k 2.

设△AOB 的重心为G （x ，y ）则???

???

?=++=+=++=k y y y k k x x x 323032

30212

221，消去k 得y 2=9232-x 为所求，（6分）

②当直线垂直于x 轴时，A （21，1），B （21，-1），（8分）△AOB 的重心G （3

1，0）也满足上述方程

综合①②得，所求的轨迹方程为y 2=9

232

-x ，（9分）

抛物线专题练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（）

A ．（1, 0）

B ．（2, 0）

C ．（3, 0）

D ．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（） A ．x 2+ y 2-x -2 y -

=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0

D ．x 2+ y 2-x -2 y +

1=0 3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是（）

A ．（1，1）

B ．（

,21） C ．)49,23( D ．（2，4）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（）

A ．6m

B ． 26m

C ．4.5m

D ．9m

5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）

A ． y 2=－2x

B ． y 2=－4x

C ．y 2=－8x

D ．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是

A ． y 2=-2x

B ． y 2=-4x

C ． y 2=2x

D ． y 2=-4x 或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=

A ．8

B ．10

C ．6

D ．4

8．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（） A ．)2(4)3(2

--=-x y B ．)2(4)3(2

+-=-x y C ．)2(4)3(2

--=+x y D ． )2(4)3(2

+-=+x y

9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有

（）

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条

10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

p 1

1+等于 A ．2a B ．

a 21 C ．4a D ． a

4 二、填空题

11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为． 12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．

13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．

14．抛物线的焦点为椭圆14

2=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12．4

x = 13．（1，0） 14．x y 542-= 三、解答题

15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．

[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物

线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=． 16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分）

[解析]：设抛物线方程为)0(22

>-=p py x ，则焦点F （0,2

），由题意可得 ??

???=-+=5

)23(62

22p m p m ，解之得???==462p m 或???=-=462p m ，故所求的抛物线方程为y x 82-=，62±的值为m 17．动直线y =a ，与抛物线x y 2

相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分) [解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （2

2a ，a ），又B )3,0(a 得 ???==a

y a x 22消去a ，得轨迹方程为42y x =，即x y 42

19．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(14

分)

[解析]：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．由题意可知：曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．

设曲线段C 的方程为)0,(),0(22

>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中B A x x ,分别为A 、B 的横坐标，MN p =．所以，)0,2

(),0,2(p

N p M -

．由17=AM ，3=AN 得 172)2(2=++

A A px p x ①92)2(2=+-A A px p x ②联立①②解得p x A 4

=．将其代入①式并由p>0解得???==1

4A x p ，或

???==22A x p ．因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p

>2，故舍去???==2

2A x p ． ∴p=4，1=A x ．由点B 在曲线段C 上，得42

=-=p BN x B ．综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y ．

20．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2||≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB Rt ?面积的最大值．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，

得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，

则

?????=+=+>-+.

),(2,

04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,，∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．

∵0)2(8,2||0>+≤

2p a p -≤<-

．

（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得

p a x x x +=+=

13， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(22121

3． ∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=．又 MNQ ?为等腰直角三角形，∴