等角螺线及其它——赵文敏

等角螺线及其它

赵文敏

?何谓等角螺线

?等角螺线的方程式

?趣史一则

?等角螺线上的相似性质

?黄金分割与等角螺线

?等角螺线的弧长

?等角螺线的再生性质

?其它螺线举例

几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？

笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线

在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只

狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A

点的甲狗系冲向在

B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说，甲

狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。同理，

图一

乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。

一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量

夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O点称为它的极点 (pole)。

前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此

等角螺线中的定角是（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形的中心O。

等角螺线的方程式

在坐标平面上，若极坐标方程式表示一等角螺线（），其极

点是原点O，定角为α( )，则因在点的切向量为

所以，可得

即

由此可得下述结果：

换言之，此等角螺线的极坐标方程式为

在前面所提的四狗追逐问题中，若中心O是极点而点A的极坐标为，则甲、乙、

丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：, ,

,

前面所提的，就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式

的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。

趣史一则

等角螺线的性质，笛卡儿（R. Descartes, 1596～1650）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。托里拆利（E. Torricelli, 1608～1647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。

对于等角螺线的探讨，以伯努利（J. Bernoulli, 1654～1705年）的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve)；求等角螺线的渐屈线(evolute)；求等角螺线反演曲线 (inversive curve)；求等角螺线的焦线(caustic curve)；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation)，由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：「Eadem mutata resurgo」（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。

等角螺线上的相似性质

根据等角螺线的方程式，可以看出：对每个θ值，都有一个对应

的r值；而且不同的θ值所对应的r值也不同（因为）。这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着θ值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点

附近。若，则当时，曲线聚集在极点附近。若，

则当时，曲线愈绕越远。图二是等角螺线的一部分。

图二

图三

若辐角,,,… 构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径

，，，… 就构成等比数列。若令P n表示极坐标

的点，则上述结果表示, , ,… 构成一个等比数

列。又因，所以可知与相似。由此可知：

构成一个等比数列。

若上述等差数列,,,… 的公差是，P

, P2, P3,… 等乃是过极点的一

射线与等角螺线的交点。可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。

对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等

角螺线。为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线伸缩m倍，

则所得的图形是等角螺线。因为，所以可找到一个实数

使得。于是伸缩后的图形为，这个图形其实就

是等角螺线绕极点顺时针旋转角所得，它自然与原等角螺线

全等。

根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该

等角螺线上的另一弧全等。事实上，若等角螺线经伸缩成

，则在等角螺线，辐角θ满足的弧，

经伸缩后必与该等角螺线上辐角θ满足的弧全等。等角螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。例如：许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。

图四

黄金分割与等角螺线

环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？

图五

在图五中，、、、、、… 等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：边的比值相等），而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。如：是由挖

掉正方形而得的。此时，上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K…

等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是、、、等共交

的点O。若以O为极点，射线为极轴，且A的极坐标为，则此等角螺线的极坐标方程式为

其中。此等角螺线通常称为黄金螺线。

为什么会扯上呢？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。因为由与可得

若线段上的一点C满足，则称C点将黄金分割。

当C点将黄金分割时，（或）的值是，此数称为黄

金分割比。若一矩形的长边与短边的比值为，则此矩形称为黄金矩形。

由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗？

在图六中、、、、、、……等是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形，都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。例如：是

由挖掉等腰三角形而得的。

图六

此时，上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等

角螺线上，此等角螺线的极点是与的交点O。若以O为极点、射线

为极轴、且A的极坐标为，则此等角螺线的极坐标方程式为

其。此等角螺线也称为黄金螺线。

此等角螺线也扯上，其理由如下：上述的相似等腰三角形ABC等，可证

明其顶角为36°，而底角为72°，所以，。此种三角形称为黄金三角形。

等角螺线的弧长

假定我们想计算等角螺线上，辐角θ满足那段弧的

长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间等分成n等分，设每一等

分的长为h，即。又令P i表示极坐标 ( ) 的点，

i=0,1,2,…,n，先考虑所得折线的长+ + … + 。若这个和在（或）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。

上述的折线长怎么计算呢？因为与相似，所以

= = 由此可得

另一方面，利用余弦定律可求得

再根据微积分中的L'Hospital法则，可得

由此可得

由此可知：在等角螺线上，辐角θ 满足那段弧的长为：

此值等于该弧的两端点向径之差与的乘积。

在的情形中，因为当时，可得，所以，极点

可以看成是等角螺线的一个终极位置。我们也因此可以问：由点

绕回极点O的长度为多少？这段弧是辐角θ满足所对应的部

分，它的长度可以分别考虑θ满足、、… 等

部分的弧长，然后相加而得。因此，由至O的弧长等于

前面所得的结果，可以做一项有趣的几何解释：过O作一直线与垂直，因为过P的

切线与不垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点T。由于，于是，可

得。换言之，由P点绕回O点的弧长与的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七）。

图七

前段所提的性质，还可作如下的解释：设想等角螺线在直线PT上作不滑的滚

动，则极点O最后会移动到T，而且在滚动过程中，O点的运动路径就是。

等角螺线的再生性质

垂足曲线

设C为一曲线而O为一定点，自O向C的所有切线作垂直线，则所有垂足所成的图形称为曲线C对定点O的垂足曲线。

若C是等角螺线，则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角

螺线，为什么呢？在图七中，若是在切线PT上的垂足，则

，而是P的辐角（设）。因此，可得

换言之，所有H点构成等角螺线。

焦线

设C为一曲线而O为一定点，将过O的所有直线都对曲线C作反射，若反射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C对定点O的焦线。

若C是等角螺线，则C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线，

我们说明如下。设P是等角螺线C上一点，是极点O对于过P之法线的对称点，则直线OP对等角螺线C反射，所得的直线就是直线PR（见

图七）。显然，，而且是点P的辐角（设

）。因此，可得

换言之，所有R点构成等角螺线。因为此等角螺线过R点的

切线与直线OR的夹角等于α，而直线PR正具有这项性质。也就是说，直线PR就是此

等角螺线在R点的切线。因此，此等角螺线就是原等角螺线对极点O的焦线。

渐屈线

设C为一曲线，作C的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C的渐屈线。

若C是等角螺线，则C的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说

明如下。设P是等角螺线C上一点，在过P的法线上而且

（见图七）。显然，，而且是点P的辐角

（设）。因此，可得

换言之，所有N点构成等角螺线。因为此等角螺线过N点的切线与直线ON的夹角等于α，而法线PN正具有这项性质。也就是说，法线PN就是此

等角螺线在N点的切线。因此，此等角螺线就是的渐屈线。

曲线C的渐屈线也可定义为「曲线C的每个点的曲率中心所成的图形」。在

图七中，该等角螺线在P点的曲率中心就是N、曲率半径就是

（）。

习题：

试证图七中的所有T点所成的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐伸线(involute)。

其它螺线举例

除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线，像阿基米德螺线、双曲螺线(hyperbolic spiral)、拋物螺线 (parabolic spiral)、连锁螺线 (lituus) 等，其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。

向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。以极坐标表示时，其方程式为，其中a是常数。

早在古希腊时代，大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为《On spirals》的作品。

在图八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的内侧之长为a，圆O的半径也为a，A与B是圆O上两点，而且是直角。首先，将曲尺上

的P与Q分别置于O与B，然后将曲尺的长臂内侧沿着圆O滚动，则在滚动过程中，P点所经过的路径就是阿基米德螺线的一部份。为什

么呢？在图八中，已经滚动到与O相切于T点。则= 弧TB的长。

设。于是，可得= = 弧TB的长 = （此处θ系

以弪为单位）。

因为向径与辐角成比例，所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动，在图九中，有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成，它们的极点都是O，其上的F则连接在一个可上下移动的杆子上。当心状图形以等角速绕O点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。

图八

将阿基米德螺线对其极点作反演变换 (inversion)，所得的反演曲线是一双曲螺线，所谓反演变换，其意义如下：设圆O的半径为k，而P是异于O的任意

点。若Q点在射线上且满足，则称Q是P对圆O的反演像(inverse)。若D是极坐标系中的极点，则上式表示P的向径r与Q的向径r'满足rr'=k2。设C为一曲线，则C上每个点对圆O的反演像所成的图形，称为曲线C对圆O的反演曲线。

根据上述定义，等角螺线对圆O的反演曲线为，

这是一个全等的等角螺线。阿基米德螺线的反演曲线是，这是

双曲螺线。

极坐标方程式为的曲线称为连锁螺线，它对圆O的反演曲线为

，这曲线称为费马螺线，它是拋物螺线的特殊情形。

习题：

1. 试证双曲螺线有一水平渐近线y=a。

2. 试证连锁螺线有一水平渐近线y=0。

等角螺旋线

浅谈等角螺旋线 作者：09公管丁刘泽隆王海玥阚萍 摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。关键词：等角螺线黄金比应用 引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布·伯努利()后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”( d m m t t surgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已有的文献和成果：文献《螺线》等。 一、模型的建立 (1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达： ρ=αe^(kφ) 其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径（polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。 (2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio） 首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比 宽为φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形 ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形 FECD。（证明略）数学提供给我们的生活经验 以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以 通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。 我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿 掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如 此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集 合。连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我 们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。 参考资料《数学爵士乐》【美】爱?德华伯格迈克?尔斯塔伯德著 二、模型的性质 (1)等角螺线的臂的距离以几何级数（geometric progression）递增。 (2)设L为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺 线的相交的角永远相等（故其名），而此值 为 cot-1 ln b。从螺线的心向螺线上任一点

等角螺线及其它汇总

等角螺线及其它 ?何谓等角螺线 ?等角螺线的方程式 ?趣史一则 ?等角螺线上的相似性质 ?黄金分割与等角螺线 ?等角螺线的弧长 ?等角螺线的再生性质 ?其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线 在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？ 假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在

螺牙标准

第三部分螺帽 第一章产品分类 一、产品大类 （一）、英制螺帽 1、依据ANSI/ASME B18.2. 2、ANSI/ASME B18.6.3.（机械螺帽）、 BSW916、JIS B 1181。 按其特性又可分为：普通螺帽(FINISHED HEX NUTS )(1/4以上含1/4规格)–– FIN 薄型螺帽(FINSHED HEX JAM NUTS)( (1/4以 上含1/4规格)––JAM 重型螺帽(HEA VY HEX NUTS) (1/4以上含1/4规格)––HVY 机械螺帽(MACHINE SCREW NUTS)(#4-40-3/8规格)–– M/S 2、美制螺帽之区别：普通型、重型、薄型螺帽其可制造规格为1/4-1 1/2， 机械型螺帽可制造规格为3/8以下。英制螺帽相互区别主要在厚度， 对边上也略有不同。 A、薄型螺帽和普通型对边一样，但薄型螺帽厚度比普通螺帽厚度要 小。 B、机械螺帽对边比普通型螺帽大，厚度比薄型大、比普通型小。 C、重型螺帽对边比机械螺帽大，厚度加厚，其厚度略小于称呼径。 现以3/8螺帽为例：

（二）、公制螺帽 注：表中尺寸均为规格上限。

二、产品的识别： （一）、螺帽各部位图示： 标准名称呼径牙数（每寸）标准名称呼径牙距 M/S ANSI #8 - 32 GB52-76 M8 - 1.25 三、性能等级： 性能等级≥8以及05级的螺帽必须在其支承面或侧面打凹字，或在倒角面打凸字标记，并且螺纹直径≥5mm的六角螺帽才需要标记，根据国际标准要求，加入我司注册商标，规定对螺帽标识如下： 四、螺帽螺纹的种类 （一）、为各国所制定的螺纹种类很多，目前，本公司生产的螺纹种类有以下几种： M——公制粗牙、细牙、极细牙 UNC——联合制粗牙（英制）

一种平面等角螺旋天线及其巴伦的设计

一种平面等角螺旋天线及其巴伦的设计 夏成刚 （华南理工大学电子与信息学院） 摘要：本文设计了一种双臂平面等角螺旋天线，工作频率0.4-2GHz。根据天线的平衡结构和宽带特性，设计了一种微带梯形结构的巴伦，以便采用50Ω同轴电缆馈电。仿真计算结果显示天线及巴伦具有良好的圆极化及宽带特性。 关键词：螺旋天线；巴伦；设计 Design of A Planar Equiangular Spiral Antenna and the Balun XIA cheng-gang （School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology）Abstract: In this paper，We designed a double-armed planar equianguar spiral antenna and fed by 50 ohm coaxial-cable ,it works at 0.4-2GHz.To match the balance structure an the wideband character of the antenna,its balun is microstrip line-parallel wire which is exponentially trapezia type。 Simulator results show that the proposed antenna is of good circular polarization and wideband characteristics. Key words: Spiral Antenna ，Balun，Design 1 引言 平面等角螺旋天线是一种宽频带天线，具有频带宽、尺寸小、重量轻、加工方便等优点，容易实现圆极化等优点，因而在超宽带及RFID等领域得以广泛应用。常用的平面螺旋天线有阿基米德螺旋天线和平面等角螺旋天线等，这类天线都有互补周期性结构，能够在较宽频带内保持天线的输入主抗基本不变，易于匹配，通常采用巴伦进行匹配。本文设计了一种双臂平面等角螺旋天线，并设计了匹配的巴伦，通过HFSS仿真计算，给出了0.4-2GHz范围内天线的增益、阻抗、圆极化轴比及部分频率点的方向图。 2 平面等角螺旋天线的设计 2.1 平面等角螺旋天线 平面等角螺旋天线是一种完全由角度确定形状的天线，其曲线方程[1]为 r=r0e a(Φ-Φ0) (2.1) 式中：r0是对应Φ0时的矢径，a为螺旋增长率，Φ0为螺旋的起始角。平面等角螺旋天线如图1所示。当a减小时，螺旋臂曲度增大，电流沿螺旋臂衰减变快。通常a取值为0.12-1.20，当螺旋臂等于或大于一个波长时，天线开始呈现出非频变天线特性，因此通常要求臂长大于一个波长，天线半径R则至少等于λ/4。 图1 平面等角螺旋天线（δ=90）

等角螺旋天线

等角螺旋天线仿真分析 Abstract:本文基于等角螺旋天线的基本原理，利用电磁让真软件HFSS构建并仿真分析了一个基本的等角螺旋天线。通过仿真结果，得到了一个频带为442MHz~929MHz，频带内S参数小于-10dB的天线，并分别给出450MHz，670MHz，900MHz处的E、H面方向图。关于结果的分析也列于最后。 1.引言 螺旋天线属于非频变天线，具有可观的带宽比，通常都具有圆极化特性，半功率带宽一般约为70°~90°。由于螺旋天线具有体积小，宽带宽的特性，因而广泛应用于国防，遥感等方面。螺旋天线阵列还用于1~18GHz的军用飞行器方面。 2.天线设计 本文仿真的等角螺旋天线如图1所示，可由4个公式表示定义每个支臂的内外半径 r1=r0e aφ(1) r2=r0e a(φ-δ)(2) r2=r0e a(φ-π)(3) r2=r0e a(φ-π-δ)(4) 式中r0为φ=0时的矢径，a为一个常数，用于控制螺旋的张率。用式(1)可以建立起图1所示的平面等角螺旋天线。当δ=π/2时，图1所示的结构是自补的，在这种情况下，方向图对称性最好。 自补天线有如下特性： Z金属=Z空气=η/2=188.5Ω(5) 这就要求在HFSS中仿真的时候馈电对口阻抗大致设为188.5Ω。 等角螺旋天线工作频带的上限f u 由亏点结构决定，最小半径r0在馈电区的周长2πr0=λu=c/f u。当然，螺旋在该店终止，连接到馈电传输线。下限频率通过天线整体半径R来限制，使其约为f L的1/4波长。 实验发现半圈到三圈的螺旋对参数a和δ相对来说不敏感。一圈半的螺旋约为最佳。 本文利用HFSS构建模型，并进行仿真分析。构建的模型如图2所示。仿真的天线最终选定参数如下：r0=27.5cm，a=0.27，n=0.92。 图1 平面等角螺旋天线几何模型 图2 等角螺旋天线(a)斜视图(b)顶视图(c)侧 视图 3.仿真分析 3.1 S参数 图3所示为S 参数仿真结果，由

螺纹螺距及牙型角

一、螺纹的形成 把一锐角为ψ的直角三角形绕到一直径为d的圆柱体上，绕时底边与圆柱底边重合，则斜边就在圆柱体上形成一条空间螺旋线。 如用一个平面图形K（如三角形）沿螺旋线运动并使K平面始终通过圆柱体轴线YY-这样就构成了三角形螺纹。同样改变平面图形K，同样可得到矩形、梯形、锯齿形、圆弧形（管螺纹） 二、螺纹种类 三、螺纹的主要参数 1.大径d（ D）：螺纹的最大直径在标准中也作公称直径。 2.小径d1(D1) ：即螺纹的最小直径 3.中径d2——在轴向剖面内牙厚与牙间宽相等处的假想圆柱面的直径，近似等于螺纹的平均直径d2≈ 0.5(d+d1) 4.螺距P——相邻两牙在中径圆柱面的母线上对应两点间的轴向距离 5.导程（S）——同一螺旋线上相邻两牙在中径圆柱面的母线上的对应两点间的轴向距离 6.线数n——螺纹螺旋线数目，一般为便于制造n≤ 4 螺距、导程、线数之间关系：L=nP 7.螺旋升角ψ：中径圆柱上，螺旋线的切线与垂直于螺纹轴线的平面的夹角 8 .牙型角α：螺纹牙型两侧边的夹角。

M1—0.25/0.2 M1.2—0.25 M1.6—0.35/0.2 M2—0.4/0.25 M2.5—0.45/0.35 M3—0.5/0.35 M4—0.7/0.5 M5—0.8/0.5 M6—1/0.75/0.5 M8—1.25/1/0.75/0.5 M10—1.5/1.25/1/0.75/0.5 M12—1.75/1.5/1.25/1/0.75/0.5 升角=tgα=0.16692 α= (M14)—2 M16—2 (M18)—2.5 M20—2.5 (M22)—2.5 M24—3 (M27)—3 M30—3.5 注:仅列出了公称直径为第一系列的螺纹,第一个数据为粗牙,其余为细牙. 普通公制螺纹的牙型角是60° 计算公式如下: 螺距P 原始三角形高度H=0.866P 牙高(工作高度) H=0.5413P 内螺纹大径D--内螺纹公称直径 外螺纹大径d--外螺纹公称直径 内螺纹中径D=D-0.6495P 外螺纹中径d=d-0.6495P 内螺纹小径D=D-1.0825P 外螺纹小径d=d-1.0825P

阿基米德螺线和三等分角

阿基米德螺线和三等分角 数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。） 什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。 阿基米德螺线生活中随处可见。在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。 一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。步骤如下： 1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合 2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A 3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’ 4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C 5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ

当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。 渐开线和机械齿轮 另一种有名的螺线叫做渐开线。当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。 与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。其实它还在机械设备中发挥着重要的作用，机械设备用于传动的齿轮中，就活跃着渐开线的身影。早在1694 年，法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。1765 年，欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算，认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。与其他齿形相比，渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。目前工业中渐开线齿轮被广泛应用，占到世界齿轮市场的90% 以上。

等角螺线及其它——赵文敏

等角螺线及其它 赵文敏 ?何谓等角螺线 ?等角螺线的方程式 ?趣史一则 ?等角螺线上的相似性质 ?黄金分割与等角螺线 ?等角螺线的弧长 ?等角螺线的再生性质 ?其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线 在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在 B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说，甲 狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。同理， 图一 乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。 一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量 夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O点称为它的极点 (pole)。 前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此 等角螺线中的定角是（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形的中心O。 等角螺线的方程式

利用HFSS设计平面等角螺旋天线

利用HFSS 设计平面等角螺旋天线 杜起飞 北京理工大学电子工程系 100081 摘要：本文介绍了一种双臂平面等角螺旋天线的设计过程，利用ANSOFT HFSS 对其结构进行了建模和仿真，工作频率为0.4GHz～3GHz，电压驻波比VSWR<2.0，增益Gain>5.0dB。 关键词：HFSS 、等角螺旋天线、宽带匹配 1. 引言 天线的增益、输入阻抗、方向图等电特性参数在一个较宽的频段内保持不变或变化较小的天线称为宽频带天线。一般情况下，天线性能参数是随频率变化的。有一类天线，它们的方向图和阻抗在相当宽的频带范围内与频率无关，这就是所谓的非频变天线。 本文所研究的是平面等角螺旋天线，它有很宽的工作频带，具有很好的应用前景，同时也是其它等角螺旋天线研究的基础。 2. 利用HFSS 设计平面等角螺旋天线 平面等角螺旋天线在ANSOFT HFSS 中的模型如图1所示。它主要由平面螺旋辐射器、馈电电路板、普通反射腔和异形反射腔四部分组成。 2.1 平面等角螺旋天线 图1 平面等角螺旋天线在HFSS 中的模型 图2 自补形平面等角螺旋天线 平面等角螺旋天线如图2所示，金属臂的四条边缘均为平面等角螺旋线。边缘1的方程为 ，边缘2相对于边缘1旋转角φρρa e 01=δ，故其方程为。天线另一臂的边缘应使结构对称，即一臂旋转半圈将于另一臂重合，因而有和。图中的结构是自补形，因而)(02δφρρ?=a e ) (03πφρρ?=a e ) (04πδφρρ??=a e 2/πδ=。 自补形平面等角螺旋天线两臂的四条边缘曲线为： ?????????====????)2(04)(03)2(0201ππφπφπφφ ρρρρρρρρa a a a e e e e (1)

符号_螺纹种类_规范_牙型角

符号螺纹种类规范牙型角 M 公制粗牙ISO 261 60° S 细小螺丝ISO R1501 60° UNC 统一牙粗牙ISO 263 60° UNF 统一牙细牙ISO 263 60° UNEF 统一牙特细牙ISO 263 60° UN 统一牙固定牙ISO 263 60° UNS 统一牙特殊牙----- 60° NC 美制牙粗牙ANSI B1.1 60° NF 美制牙细牙ANSI B1.1 60° NEF 美制牙特细牙ANSI B1.1 60° N 美制牙固定牙ANSI B1.1 60° NS 美制牙特殊牙ANSI B1.1 60° BSW 英制牙粗牙BS 84 55° BSF 英制牙细牙BS 84 55° BC 自行车牙JIS B0225 60° SM 针车用JIS B0226 60° CTV 自行行车用风嘴JIS D9422 60° TV 汽车用风嘴JID D4207 60° BSC 英制自行车BS 811 60° BA 英制小螺丝BS 93 30°47° Tr 公制爱克母牙ISO 2902 30° TW 爱克姆牙JIS B0222 29° ACME 爱克姆牙ANSI B1.5 29° STUB-ACME 浅牙爱克姆ANSI B1.8 29° C 平行管用螺纹ISO 228/1 55° BSPF 英制平行管螺纹BS 2779 55° PF 英制平行管螺纹IS B0202 55° R 管用推拔管用ISO 7/1 55°1/16 Rc 管用推拔内螺纹ISO 7/1 55°1/16 Rp 管用平行内螺纹ISO 7/1 55° PT 推拔管用JIS B0203 55°1/16 PS 平行内螺纹JIS B0203 55° BSP 英制管牙BS 21.2779 55° NPT 美制一般推拔管用ANSI B2.1 60°1/16 NPTR 美制栏杆接头用ANSI B2.1 60°1/16 NPS 美制一般平行管用ANSI B2.1 60°NPSM 美制平行管用装配器用ANSI B2.1 60°NPSL 美制锁紧螺帽用ANSI B2.1 60° NPSH 美制水管用ANSI B2.1 60° NPSC 美制管接头用ANSI B2.1 60° NH 美制消防水管用ANSI B2.1 60° NPSF 美制干封管用平行内螺纹ANSI B2.1 60°NPTI 美制干封管用平行ANSI B2.1 60°

对数螺线

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： ρ=αe^(kφ) 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。 对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。 定理 对数螺线的臂的距离以几何级数递增。 设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与对数螺线的相交的角永远相等（故又名等角螺线），而此值为 cot-1 ln b。 设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与对数螺线的相交的角永远相等，而此值为tan-1 ln b，名为“倾斜度” 对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。 对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。 从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

构造对数螺线 在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中a, b ≠ 0，那么连结 z、z^2、z^3…… 的曲线就是一条对数螺线。 若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 e^z 会将这些直线映像到以 0 为中心的对数螺线。 使用黄金矩形： 自然现象 鹦鹉螺的贝壳像对数螺线 旋涡星系的旋臂像对数螺线 低气压的外观像对数螺线鹦鹉螺的贝壳像对数螺线 菊的种子排列成对数螺线 鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物 昆虫以对数螺线的方式接近光源 蜘蛛网的构造与对数螺线相似 旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。 低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线 [编辑本段] 历史 对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。