高中数学--抽象函数专题
【包哥数学】抽象函数专题
抽象函数简介
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
抽象函数一些模型
根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。
例1：f (x)在R +上是增函数，且f (x)=f (y x )+f (y),若f (3)=1,f (x)－f (5
1 x )≥2，求x 的范围 。
例2：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，0 （1）证明：f(0)=1；且x<0时，f(x)>1; （2）证明：f(x)在R 上单调递减； （3）设A=｛(x,y)│f (x 2)·f(y 2)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax -y+2)=1,a ∈R ｝，若A∩B=?，确定a 的范围。 抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性 ①先深刻理解奇函数，偶函数概念 ②方法：用哪个数代替x 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图 象关于直线x= 对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则 函数y=f (x) 的图象关于点 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 了解 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线 x=对称。 对任意x0,令a+x0=b-x1,则x0+x1=b-a 此时令y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上 因为x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b-a)/2对称 所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2是对称的 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于 点对称。 二、抽象函数的周期性 命题1：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. 函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数y=f(x)满足f(x+a)=1() f x ，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 2a b +( ,) 22a b c +2b a -( ,) 22b a c - 命题2：若a 、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1)若f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. (2)若f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期. 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a 对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a 是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A 、B → C （20XX 年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R 上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a 是它的一个周期 ②已知A 、C →B ∵定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a 对称 ③已知C 、B →A ∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a) 又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R 上的偶函数 由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T 的奇函数，则f(2 T )=0 【f(x+T)=f(x)，令x=-T/2，f(T/2)=f(-T/2)，f(x)为奇函数,所以f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2) 则2f(T/2)=0,f(T/2)=0】 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系。根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题。 习题： 1.若函数f （x ）=x 2+bx +c 对于任意实数t 均有f （3+t ）= f （1－t ），那么（ ） A. f （2）< f （1）< f （4） B. f （1）< f （2）< f （4） C.f （2）< f （4）< f （1） D. f （4）< f （2）< f （1） 解析：在f （3+t ）= f （1－t ）中（3+t ）+（1－t ）=4 所以抛物线f （x ）=x 2+bx +c 的对称轴为x =2 作示意图如图1，可见，应选A 。 2.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x －2）=－ f （x ），给出下列四个结论： ①f （2）=0； ②f （x ）是以4为周期的函数； ③f （x ）的图像关于直线x =2对称； ④f （x +2）=f （－ x ） 其中所有正确命题的序号是___________。 解析：（1）因为y = f （x ）（x ∈R ）是奇函数，所以f （－x ）=－ f （x ） 令x =0，得f （－0）=－f （0） ?+==f f f ()()()000200， 所以f （0）=0 又已知f （x －2）=－ f （x ） 令x =2，得f （0）=－ f （2） 所以f （2）=－ f （0）=0 故①成立。 （2）因为f （x －2）=－ f （x ），所以 ()()[]{} ()f x f x f x f x ()=--=----=-2224 由x －（x －4）=4（两自变量相减得常数） 所以f （x ）是以4为周期的周期函数。 故②成立。 （3）由f （x +2）= f （－x ）得：（x +2）+（－x ）=2（两自变量相加得常数） 所以f （x ）的图像关于直线x =1对称。而不是关于直线x =2对称。 故③是错误的。 （4）由（2）知，f （x ）应满足f （x +2）= f （x －2） 而f （x －2）=－f （x ） 所以f （x +2）= －f （x ）= f （－x ） 故④成立。 综上所述，应填①②④。 3. 函数()y ax a =-≠log 210的图像关于直线x =2对称，则a =___________。 解析：因为函数()y ax a =-≠log 210的图像关于直线x =2对称 所以有()() 12log 12log 22--=-+x a x a ()()()?+-=--?+-=±--a x a x a ax a ax 2121 2121 ?=a 0（与题设矛盾，舍去）或a = 12 所以a =12 。 4.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A.f(1) B. f() C. f() D.f() 解析：∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴f(x+2)=f(-x+2)∴x=2为y=f(x)图像的对称轴===【也可根据y=f(x+2)→y=f(x )向右平移两个单位知x=2为y=f(x)图像的对称轴】 ∴函数y=f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)=f(3) ∵ ,∴ ,选B 5.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值. 包哥解析：由f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)得f(2-x)= -f(6-x) 用x 代替-x, f(2+x)= -f(6+x)；用x+2代替x ，f(x)= -f(x+4)；用x+4代替x, f(x+4)= -f(x+8)=-f(x), 即f(x)=f(x+8),T=8 ∴f(2000)=f(0+8*250)=f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 确定方程根的个数 6.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？ 解：由f(7+x)= f(7－x)，用x-7代替x ，f(x)=f(14-x) ∴f(4－x)= f(14－x)，用x 代替4-x 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 25272725 27252527 即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2200010 ? =401个根. 12.（仙游一中高一数学期末） 在实数集R 上定义一种新运算“⊕”，对于任意给定的,a b R ∈，a b ⊕为唯一确定的实数，且具有下面三个性质： (1),,;a b R a b b a ∈⊕=⊕对任意 (2),,0;a b R a a ∈⊕=对任意 (3),,()()()()2.a b R a b c c ab a c c b c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-对任意 关于函数1()f x x x =⊕的性质，有以下说法： ①在区间0+∞（，） 上函数()f x 的最小值为3； ②函数()f x 为奇函数； ③函数()f x 的单调递增区间为∞∞（-,-1),(1,+). 其中所有正确说法的个数为（ ） A ． 3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：B 由新运算“⊕”的定义（3）令c=0，则a ⊕b=ab+a+b ∴1()f x x x =⊕= （对勾函数）∴f′（x ）= ，令f′（x ）=0，则x=±1， ∵当x ∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x ）＞0 ∴函数f （x ）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．故③正确； ①正确，②错误，f(-x)≠-f(x) 12.（2018厦门市高中毕业班模拟试题） 已知函数 ，若f( )+f( <2对任意的 恒成立，则t 的取值范围是（） A.(-∞, ) B. ( ,+ ∞) C. (-∞,2) B. (2,+ ∞) 解析：B 由 ①，得 ② ①+②得： ③式表示只要自变量相加为1，函数值之和为2，那么题目中的不等式可以转化为： f( )+f( <2= f( )+ f[1-( )] 也即f( < f[1-( )]对任意 恒成立 易知f(u)在 单调递增，∴ < 1-( ) 对任意 恒成立 也即< t④对任意恒成立 接下来求y=最大值，令a=,则=a2-1，其中a∈[] y==a2-1+a=）,当a=时，y max=1+ ④转化成：（）max< t，即1+