第8章典型习题解析
1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1
解:(1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取如下三对平面:A 点左右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁xy 平面平行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力:
A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示,将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为:
z M y I σ= b
I QS z z
*=
τ
由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ;前后边面为自由表面,应力为零。在单元体各面上画上应力,得到A 点单元体如图(d)。
2.图(a)所示的单元体,试求(1)图示斜截面上的应力;(2)主方向和主应力,画出主单元体;(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。 解:(1)求斜截面上的正应力
?30-σ和切应力?30-τ
由公式
MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100
5021005030-=?---?---++-=
?-σ
MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100
5030=?--+?---=
?-τ
(2)求主方向及主应力
8
.010050120
22tan -=----=--
=y x x σστα ?-=66.382α
?=?
-=67.7033.1921αα
最大主应力在第一象限中,对应的角度为
070.67α=?,主应力的大小为
1
5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=
??--??=-+--+
由
y x σσσσαα+=+2
1
可解出
2
1
(50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=--
因有一个为零的主应力,因此
)33.19(MPa
0.7133?--=第三主方向=ασ
画出主单元体如图8.2(b)。
(3)主切应力作用面的法线方向
25
.1120100
502tan =---=
'α ?='34.512α
?='?
='67.11567.2521αα
主切应力为
'
2
'
1
MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100
50ααττ-=-=?-+?--=
此两截面上的正应力为
MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100
502100501
=?--?--++-=
'ασ
MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100
502100502
=?--?--++-=
'ασ
主切应力单元体如图所示。
由
y
x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252
1
,可以验证上述结果的正确性。
3.试用图形解析法,重解例2。 解:(1)画应力圆
建立比例尺,画坐标轴τσ、。 对图(a)所示单元体,在τσ
-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表
y y τσ、的点B(100,60)。连接A 、B ,与水平轴σ交于C 点,以C 点为圆心,CB (或CA )
为半径,作应力圆如图所示.
(2) 斜截面上的应力
在应力圆上自A 点顺时针转过?60,到达G 点。G 点在τσ、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力,从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值:
64.5ασ=-MPa
τ
α
=34.95MPa
(3)主方向、主应力及主单元体
图所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力,即
1121.04MPa OH σ==
K 点的横坐标OK 为第三主应力,即
371.04MPa OK σ==-
由应力圆图上可以看出,由B 点顺时针转过02α为第一主方向,在单元体上则为由y
轴顺时针转
0α,且
00238.66,19.33αα=?=?
应力圆图上由A 顺时针转到K 点(?=∠66.38ACK ),则在单元体上由x 轴顺时针转过?33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。
(4)主切应力作用面的位置及其上的应力
图所示应力圆上N 、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由B 到N ,逆时针转过?34.51,单元体上max τ作用面的外法线方向为由y
轴逆时针转过?67.25,且
MPa 04.96min max ==-=CB ττ
min max ττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。
4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩m 的作用。在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45?方向两个微小线段ab 和ac 的的应变ε45?=629.4×10–6
,ε–45?=-66.9×10–6
,试求压强P 和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d =200mm ,厚度t =10mm , E =200GPa ,泊松比μ=0.25。
解:(1)a 点为平面应力状态,在a 点取出如图(c)所示的原始单元体,其上应力:
22,,42x y x pd pd m
t t d t σστπ=
==-
(2)求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上的正应力:
245245
32283228x y
x x y x pd m
t d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=
+
+=+=-
(3)利用胡克定律,列出应变ε45?、ε–45?表达式
()()()()()()2454545245454511321181132118pd m E E t d t pd m E E t d t εσμσμμπεσμσμμπ---??=
-=-++??????-=-+????=
-
将给定数据代入上式
6
6
3213200210629.4100.75 1.252001081020010p m π-?????=??+? ?
?????
6
6
321320021066.9100.75 1.252001081020010p m π-????-?=??-? ?
?????
得内压强和外力矩
p =10MPa , m =35kNm
5.直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆,受力如图。试绘杆件中 A 点和 B 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。
(c )
(a) (b ) (d )
解:以下图为图各单元体受力图:
应力计算:
图(a )的A 点 :
a N
63.69MP A σ=
=-
图(b )的A 点:
a
3
80
50.96MP d
16
τ=
=π 图(c )的A 点:
a N
127.38MP A σ=
=
B 点
:
点
A 点
A 点
A )
(a )
(c )
(b 点
B )
(d 点
B τ
τ
τ
a N
127.38MP A σ=
= , a
38050.96MP d 16
τ==π 图(d )中A 点(压应力):
3
a
33z
M 201025.48MP 1W 3.14(2010)32
-?σ===??? B 点:
*z a
z QS 4Q 0.17MP I b 3A τ===
(b )中的A 为危险点,(c )中的A 、B 为危险点,(d )中的A ,B 点均为危险点,相比之下A 点的应力较大。
6.已知应力状态如图所示(应力单位:MPa)。试用图解法求:
(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;
(2) (c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。
(a)300
斜截面单元本;(b)450
斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体 (e) 拉压切单元体。
解:(a) 按比例画出应力圆如下图,可得α=300
的斜截面的正应力和切应力为E 点的坐标为
30a
45MP ?σ=
30a
8.5MP ?τ=
解析法校核:
x y x y
x a
x y x a
30505030
cos 2sin 2cos6045MP 22225030sin 2cos 28.5MP 22αασ+σσ-σ+-σ=
+
α-τα=
+=σ-σ-τ=α+τα=== (b) 用比例画出应力圆,E 点的坐标为
45a
5MP ?σ=
45a
25MP ?τ=
解析法校核:
x y x y
x a x y
x a 5050cos 2sin 2cos9020sin 905MP 22
22
50
sin 2cos 2sin 9025MP 2
2
αασ+σσ-σσ=+
α-τα=
+-=σ-στ=
α+τα=
?=
(c )应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得
两个主应力之值分别为:
11a 232a
OA 50MP ,0,OA 50MP σ==σ=σ==-
主平面的方位可由应力圆上量得,因
112D OA 90
?=∠=-
最大主应力作用面与x 平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):
45
?=-
13
max a
50MP 2σ-στ=
=最大切力;
(d )应力圆与σ轴的交点即为主应力得应点,从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:
11a
22a 3OA 70MP OA 30MP ,0σ==σ==σ= 最大主应力作用面与x 平面之夹角为(可由应力圆上得):
12FCA 90
45
?=∠=-?=-
max a
CF 20MP τ==最大切力
(e )应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为
11a 32a
OA 44.7MP OA 44.7MP σ==σ==-
主平面的方位,可由应力圆上量得:
226.513.2
?=-?=-(对应于主应力σ1所在主平面)
max a
40MP τ=最大切力
关于应力应变状态问题(含组合变形) 2009年10月29日星期四 应力应变状态重点公式: 基本公式:ατασσσσσα2sin 2cos 22 xy y x y x --+ += ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 90xy y x y x +-- += +ο ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= y x xy σστα-- =22tan ()2 2 max 4212 xy y x y x τσσσσσ+-++= ()22 min 42 12 xy y x y x τσσ σσσ+-- += 应力圆的绘制及其应用:①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即:点面 对应,转向相同,转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力;②、确定主应力的大小和方向;③、三向应力圆的绘制及其应用。 广义胡可定律及其公式: (){}z y x x E σσμσε+-=1 G xy xy τγ= (){}x z y y E σσμσε+-=1 G yz yz τγ= (){}y x z z E σσμσε+-= 1 G zx zx τγ= (){}32111 σσμσε+-= E ;(){}13221σσμσε+-=E ;(){}21331σσμσε+-=E 习题:P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、
四种常用强度理论: 最大拉应力理论(第一强度理论)[]σσ≤1 最大伸长线应变理论(第二强度理论)()[]σσσμσ≤+-321 最大切应力理论(第三强度理论)[]σσσ≤-31 畸变能密度理论(第四强度理论) ()()()[] []σσσσσσσ≤-+-+-2132322212 1 01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。即:ο90++=+αασσσσy x 或min max σσσσ+=+y x 。(7分)(2009吉大) 02、4、已知平面应力状态如图(应力单位MPa ),试计算主应力大小及方位,在图上标出主应力方位。(15分)(2009北工大) 题二.4图 03、5、已知铸铁构件上危险点的应力状态如图3-5所示。若铸铁拉伸许用应力[σ]+= 30MPa ,试校核该点处的强度。(15分)(2008华南理工)
第8章典型习题解析 1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 解:(1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取如下三对平面:A 点左右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁xy 平面平行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示,将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为: z M y I σ= b I QS z z *= τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ;前后边面为自由表面,应力为零。在单元体各面上画上应力,得到A 点单元体如图(d)。 2.图(a)所示的单元体,试求(1)图示斜截面上的应力;(2)主方向和主应力,画出主单元体;(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。 解:(1)求斜截面上的正应力 ?30-σ和切应力?30-τ
由公式 MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100 5021005030-=?---?---++-= ?-σ MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100 5030=?--+?---= ?-τ (2)求主方向及主应力 8 .010050120 22tan -=----=-- =y x x σστα ?-=66.382α ?=? -=67.7033.1921αα 最大主应力在第一象限中,对应的角度为 070.67α=?,主应力的大小为 1 5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ= ??--??=-+--+ 由 y x σσσσαα+=+2 1 可解出 2 1 (50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-- 因有一个为零的主应力,因此 )33.19(MPa 0.7133?--=第三主方向=ασ 画出主单元体如图8.2(b)。 (3)主切应力作用面的法线方向 25 .1120100 502tan =---= 'α ?='34.512α ?='? ='67.11567.2521αα 主切应力为 ' 2 ' 1 MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100 50ααττ-=-=?-+?--= 此两截面上的正应力为 MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100 502100501 =?--?--++-= 'ασ MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100 502100502 =?--?--++-= 'ασ 主切应力单元体如图所示。
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态,属于单向应力状态的是(A )。 20 (MPa ) 20 d 20 (A )a 点;(B )b 点;(C )c 点;(D )d 点 。 2、在平面应力状态下,对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件,有下列四种答案,正确答案是( B )。 (A ),0x y xy σστ=≠;(B ),0x y xy σστ==;(C ),0x y xy σστ≠=;(D )x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ,现关于AC 面上应力有下列四种答案,正确答案是( C )。 (A )AC AC /2,0 ττσ==; (B )AC AC /2,/2τ τσ==; (C )AC AC /2,/2τ τσ==;(D )AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图(a )所示,横截面上各点的应力状态如图(b )所示。关
于它们的正确性,现有四种答案,正确答案是( D )。 (b) (a) (A)点1、2的应力状态是正确的;(B)点2、3的应力状态是正确的; (C)点3、4的应力状态是正确的;(D)点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态(a)、(b)、(c)之间的关系,有下列四种答案,正确答案是( D )。 τ (a) (b) (c) (A)三种应力状态均相同;(B)三种应力状态均不同; (C)(b)和(c)相同;(D)( a)和(c)相同; 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案,正确答案是( B )。 (A) (B) (D) (C) 解答: max τ发生在 1 σ成45o的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围,有下列四种答案,正确答案是( C )。 (A)脆性材料;(B)塑性材料; (C)材料为各向同性,且处于线弹性范围内;(D)任何材料;
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里,应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说,应力描述了连续介质内部之间通过力(而且是通过近距离接触作用力)进行相互作用的强度。 具体说,如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二,那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然,即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下,这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同,所以,必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说,担当此任的就是应力张量,简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中,除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”,另外,还定义了压缩时以截面边长(或直径)改变量除以原边长(或直径)而得的“横向应变”。 对大多数材料,横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一,二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系(物理方程)。E σε=(应力=弹性模量*应变) 4、许用应力(allowable stress ) 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低,需要预先确定一个衡量的标准,这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时,这个零件或构件在运转中是安全的,否则就是不安全的。
许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为:静强度设计中用屈服极限(yield limit )或强度极限(strength limit );疲劳强度设计中用疲劳极限(fatigue limit )。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料(大多数结构钢和铝合金)以屈服极限为基准,除以安全系数后得许用应力,即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。(许用应力=屈服极限/安全系数) 脆性材料(铸铁和高强钢)以强度极限为基准,除以安全系数后得许用应力, 即[]()/2~5b n n σσ==。(许用应力=强度极限/安全系数) 表3机床静力学分析结果总结 机床的位置 应力 应变 位移 油缸 27 5号顶尖 10 固定支撑钉 在分析中发现油缸所受的应力最大,油缸使用的是35钢,5号顶尖使用的材料是45钢,固定支撑钉使用的是T8,查《机械设计》三者都小于其许用应力,故设计满足要求。它们的主要力学性能参数如表,查《机械设计师手册》。 表4主要力学性能参数 材料名称 屈服强度( ) 抗拉强度 35钢 315 600 45钢 355 598 T8 900 采用安全系数法判断零件危险截面处的安全程度是疲劳强度计算中应用广泛的一种方法,其强度条件是:危险截面处的安全系数S 应大于等于许用安全系数 ,即 查《机械设计》S ,所以
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析,要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念,能够
按材料可能发生的破坏形式,选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时,结果有两个相差 90 ”的方位角,一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力,除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外,最简明直观的方法是利用应力圆判定,即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥,则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态,最大切应力均为2/)(31max σστ-=,而由式( 7 一 l )中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力,也称为面内最大切应力,它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值,在解题时要特别注意,不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点: ① 建立一点应力状态的概念,能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位,并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算,会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类: ( l )从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体,根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向,由扭矩、剪力判断切应力方向,单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面(自由面)时,其上应力分量为零。 ( 2 )复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题,故最好采用应力圆分析,它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 )广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中,不论构件的受力状态,均采用广义胡克定律,即可避免产生不必要的错误,因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 )强度理论的应用对分析破坏原因的概念题,一般先分析危险点的应力状态,根据应力状态和材料性质,判断可能发生哪种类型的破坏,并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析(详见第 8 章)与薄壁容器的强度分析,薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力,由于容器的对称性,两平面上无切应力,故该应力即为主应力,并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析 计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。 图2-1 坝体的计算分析模型 选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain 定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3 模型施加约束 ? 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束 ? 给斜边施加x 方向的分布载荷: ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量;2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数:1000*{X}; 3) File>Save(文件扩展名:func) →返回:Parameters →Functions →Read from file :将需要的.func 文件打开,任给一个参数名,它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边;OK →在下拉列表框中,选择:Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK 单元控制 纵边20等分;上下底边15等分 结果显示 ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK