方案设计题的常见类型及解法
姓名
一.利用函数或不等式的性质
例1.(2007年)我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。按计划,20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满。根据下表提供的信息,解答以下问题:
(1)设装运A 种脐橙的车辆数为x ,装运B 种脐橙的车辆数为y ,求y 与x 之间的函数关系式;
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值。
解:(1)根据题意,装运A 种脐橙的车辆数为x ,装运B 种脐橙的车辆数为y ,那么装运C 种脐橙的车辆数为()y x --20,则有:
()10020456=--++y x y x 整理得:202+-=x y
(2)由(1)知,装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、202+-x 、x ,由题意得:
??
?≥+-≥4
2024
x x ,解得:4≤x ≤8,因为x 为整数,所以x 的值为4、5、6、7、8,所以安排方案共有5种。
方案一:装运A 种脐橙4车,B 种脐橙12车,C 种脐橙4车;
方案二:装运A 种脐橙5车,B 种脐橙10车,C 种脐橙5车; 方案三:装运A 种脐橙6车,B 种脐橙8车,C 种脐橙6车; 方案四:装运A 种脐橙7车,B 种脐橙6车,C 种脐橙7车; 方案五:装运A 种脐橙8车,B 种脐橙4车,C 种脐橙8车; (3)设利润为W (百元)则:
()160048104162025126+-=?+?+-+?=x x x x W
∵048<-=k ∴W 的值随x 的增大而减小 要使利润W 最大,则4=x ,故选方案一
1600448+?-=最大W =1408(百元)=14.08(万元)
答:当装运A 种脐橙4车,B 种脐橙12车,C 种脐橙4车时,获利最大,
最大利润为14.08万元。
二.利用数据计算
例2.(2007年)某学校举行演讲比赛,选出了10名同学担任评委,并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分): 方案1 所有评委所给分的平均数.
方案2 在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分,然后再计算其余给分的平均数.
方案3 所有评委所给分的中位数. 方案4 所有评委所给分的众数.
为了探究上述方案的合理性,先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验.下面是这个同学的
得分统计图:
(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分;
(2)根据(1)中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。
解:(1)方案1最后得分:
1
(3.27.07.83838.49.8)7.710
+++?+?+=; 方案2最后得分:1
(7.07.83838.4)88
++?+?=; 方案3最后得分:8; 方案4最后得分:8或8.4.
(2)因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响,不能反映这组数据的“平均水平”, 所以方案1不适合作为最后得分的方案.
因为方案4中的众数有两个,众数失去了实际意义,所以方案4不适合作为最后得分的方案.
三.利用题中例
例3.(2006年)在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只, 某学习小组做摸球实验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据:
分数
人数
⑴ 请估计:当n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ;
⑵ 假如你去摸一次, 你摸到白球的概率是 , 摸到黑球的概率是 ; ⑶ 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
解:(1)0.60 (2)0.60,0.40 (3)白球个数为12只,黑球个数为8只; (4)方案1:
①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;
②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率,由频率估计概率; ③估算: 黑球个数球的总个数,
摸到黑球的概率
球的总个数×摸到白球的概率=白球个数。 方案2:
①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;
②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到有标记球的次数,计算频率,由频率估计概率;
③估算: 有标记球的个数
白球个数摸到有标记球的概率
四.利用图形的性质
例4.(2007年)为创建绿色校园,学校决定对一块形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在形加以设计,使形和所画的图弧构成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.
提示:在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图①、图②只能算一种.
以下为不同情形下的部分正确画法,答案不唯一.
①
②
③
④
⑤
五.利用函数
例5.(2007年)如图,小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具,请你设计一种测量方案,在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB . 要求:
(1)画出测量示意图;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示); (3)根据(2)中的数据计算AB .
解:(1)测量图案(示意图)如图所示 (2)测量步骤:
第一步:在地面上选择点C 安装测角仪, 测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠, 第二步:沿CB 前进到点D ,用皮尺量 出C D ,之间的距离CD m =, 第三步:在点D 安装测角仪,测得此 时树尖A 的仰角AFE β=∠,
A
B
A E
F
H C
D
B
第四步:用皮尺测出测角仪的高h (3)计算:
令AE x =,则tan x HE α=,得tan x HE α
=, 又tan x
EF
β=
,得tan x EF β=,
HE FE HF CD m -===Q ,
tan tan x x
m αβ
∴
-=, 解得tan tan tan tan m x αβ
βα=
-g ,
tan tan tan tan m AB h αβ
αβ
∴=
+-g .
方案设计题密切联系实际,题型新颖,对思维方法有较高的要求,对考生的创新能力具有较好的考查功能,平时应重视这方面的学习和训练。
摘录于《初中数学教与学》2008.9
方案设计题的常见类型及解法
姓名
一.利用函数或不等式的性质
例1.(2007年)我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。按计划,20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满。根据下表提供的信息,解答以下问题:
(1)设装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式;
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值。