高中数学竞赛教程：第03讲 二次函数的应用
第3讲 二次函数的应用
本讲内容包括一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用。
若二次函数2
()(0)
f x a x b x c a =++≠的图象与x 轴有交点，则相应的二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有根，而且方程的根就是二次函数2()f x ax bx c =++的图象在x 轴上的截距。应用二次函数图象
是解二次方程根的分布问题的重要方法。如由二次函数的图象可以直观的得到：对于二次函数2()f x ax bx c =++，若()()0()f m f n m n ?<<，则二次方程20ax bx c ++=在[,]m n 上
有一个根。 A 类例题
例1 若方程2(2)50x m x m +-+-=的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围。 （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根。
分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行。代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法。
解1 （1）由题意，得
21212
0(2)4(5)00(2)0
500442
4.
5m m x x m m x x m m m m m ??≥---≥??
?
+>?-->????
->>??≤-≥??
?
或
所以，当4m ≤-时，原方程两实根均为正数； （2）由题意，得
12
50 5.0m m x x ?≥??-?
时，原方程有一正根一负根。
解2 二次函数2(2)5y x m x m =+-+-的图象是开口向上的抛物线。
（1
）如图，由题意，得
22(0)0
50200422(2)(2)()050242
f m b m m a b m m f m a ??
??>->??
-??->?->?≤-??????---≤-+-≤????。 所以，当4m ≤-时，原方程两实根均为正数； （2）如图，由题意，得
(0)0505f m m 。 所以，当5m >时，原方程有一正根一负根。 评注 解2（1）中，条件02b
a
->是必要的。若将此条件改为02b
a -
<，得到的二次函数的图象与原图象关于y 轴对称，此时得到的m 的值是两根均为负数的解。
例2 若方程2(23)420k x k x k -+++=的根满足下列条件，分别求出实数k 的取值范围。
（1） 方程两实根均大于1；
（2） 方程有一根比1大，一根比1小。
分析 本题的要求虽然与例1仅一字之差，由于“两实根均大于3”与“12120,6,9x x x x ?≥+>>且”不等价，因而解法有所变化。思路一，将原问题化归为例1求解；思路二，运用图象法求解。
解1 设1x t =+，原方程可化为
23310k t t k -+-=。
（1） 由题意，关于t 的方程的两根均为正数，得
2121234(31)0
0300031
0k k t t k k t t k k
??
?--≥≥??
??
+>?>?≥??
??
>??->??。
所以，当k ≥
1； （2） 由题意，关于t 的方程的两根为一正根和一负根，得
120311
00.0
3k k t t k ?≥?-?
03
k <<
时，原方程有一根比1大，一根比1小。 解2 原方程可化为 22342
0.k k x x k k
++-
+=
（1） 由函数22342
()k k f x x x k k
++=-
+
的图象，得 2222310(1)0230022(23)(23)42()00242k f k b k a k b k k k f a k k k ?-?>??>??
+??->?>??????+++-≤-+≤????
k ?≥
所以，当k ≥
1； （2） 由函数22342
()k k f x x x k k
++=-
+
的图象，得 23421(1)0100.3
k k f k k k ++
03
k <<时，原方程有一根比1大，一根比1小。 例3
求实数k 为何值时，方程21
04
x kx k -++
=的两个实根 （1）分别在区间（1，2）和（3，4）内； （2）绝对值小于1。
分析 本题运用图象法求解比较简捷。其中，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间(1,1)-内。
解 设21
()4
f x x kx k =-++ 。
（1）由题意，得
1104(1)01420(2)037654.(3)018129304(4)0
116404
k k f k k f k f k k f k k ?
-++>??>??-++
???-++>? 所以，当
3765
812
k <<时，原方程两实根分别在区间（1，2）和（3，4）内； （2）由题意，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间(1,1)-内。因而有
22
110(1)041(1)0
10542118211
2()0120424
k k f f k k b k k a b f k k a k ?
+++>?->???>??
-++>?????-<≤-??-<-
所以，当5
28
k -<<时，原方程的两个实根的绝对值小于1。
情景再现
1．关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） 11
||1
2121A a B a C
a D a a -<<>-<<<->或
2．实数k 为何值时，方程220x kx k -+-=的两根都大于
1
2
。 3．关于x 的方程227(13)20x a x a a -++--=有两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上，求实数a 的值。
B 类例题
例4 已知方程42(3)30mx m x m --+=有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围。
分析 设2x y =，原方程可化为2(3)30my m y m --+=，因而原方程的四个根是互为相反数的两对根。
解 设2x y =，原方程可化为2(3)30my m y m --+=。由题意，此方程的两个根都是正根，且一根大于1，另一根小于1。
设 2
3
()3
m f y y y m
-=-
+，则 30
(0)0103(1)0130f m m f m >?>??
??-<<-?
?<-+
。 所以，当10m -<<时，原方程的四个根中，有一个根小于1-，其余三个根都大于1-。 例5 已知a b c <<，证明关于x 的方程
232()0x a b c x ab bc ca -+++++=
有两个不等的实根，且这两个根分别在区间(,)a b 和(,)b c 内。
分析 设2()32()f x x a b c x ab bc ca =-+++++，本题即要证0?> 且 ()()0,()()0f a f b f b f c ?
解 24()43()
a b c a b b c c a ?=++-?++ 222222
4()2[()()()]
a b c a b b c c a a b b c c a =++---=-+-+-有两个不等的实根，且这两个根分别在区间(,)
a b 和(,)b c 内。
例6若函数2113
()22
f x x =-+在区间[,]a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[,]a b 。
分析 欲求,a b 的值，需按题设条件列出关于,a b 的两个方程。注意到求二次函数最值时，要判断二次函数的顶点是否在给定区间内，可以通过分类讨论的方法予以解决。
解 （1）当0a b <<时，
由22113
2()222()2113222
a a f a a f
b b b b
?-+=?=?????=??-+=??，即,a b 是方程24130x x +-=的两根。但此方程两
根异号，故此时无解；
（2）当0a b ≤≤时，1313
()|224
f x b b ==
?=最大值。()|f x 最小值 若()|f x 最小值
=2113
()22222f a a a a a =?-+=?=-
若()|f x 最小值=211313
()2()20242f b a a a =?-+=?>（不合题意）。
因此，所求区间为13
[2]4
-； （3）当0a b <<时，
由22113
2()21,22()2113 3.222
b a f b a a f a b b a b
?-+=?==????????==???-+=??
因此，所求区间为[1,3]。
综上，所求区间为13
[2]4
-或[1,3]。 情景再现
4．函数21
()324
f x x ax a =+-+
在区间[0,1]上的最小值为0，求a 的值。 5．已知20a ab ac ++<，求证：方程20ax bx c ++=必有两个不等的实根，且一个大于1，一个小于1。
6．已知a b c >>，求证方程111
0x a x b x c
++=---有两个实根，
且一个大于b ，一个小于.b C 类例题
例7 设函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12x x 、满足
121
0x x a
<<<
， （1）当10x x <<时，证明1()x f x x <<；
（2）设函数()y f x =的图象关于直线0x x =对称，证明1
02
x x <
. 分析 本题涉及字母较多，其中x 是变量，12,,,,a b c x x 是常量。从题设条件中反映出对,b c 知之甚少，对12,,a x x 了解较多。为比较1,(),x f x x 的大小，可以将它们用12,,a x x 表示。
证明 （1）12x x 、是方程()0f x x -=的两个根，得
12()()()f x x a x x x x -=--
1210()x x x a f x x
<<<<∴>
111212()()()
()(1)0
x f x x x a x x x x x x a x a x -=----=-+->
所以，1()x f x x << ；
（2）由题意，12x x 、是方程()0f x x -=的两个根，所以， 12121
1()b x x b a x x a
-+=-
?=-+ 又 函数()y f x =的图象关于直线0x x =对称，因而
12120()11
2222a x x x ax b x a a a
+--=-
==+
1
1201
0,.2
x x x x x a
<<<<
∴<
例8 设函数2()83(0),f x ax x a =++< 对于给定的负数a ，有一个最大的正数()l a ，使得在整个区间[0,()]l a 上，不等式|()|5f x ≤都成立。
（1）求()l a 的表达式。
（2）当a 为何值时，()l a 最大？并求出这个最大值()l a 。
分析 （1） 由a 为负数，函数()f x 的图象是开口向下的抛物线。由4
02b a a
-=->，函数()f x 的图象的顶点位于y 轴的右方。由此应用图象可求出()l a 。
解 （1） 224316
()83()a f x ax x a x a a -=++=++,
4
(0)3,0(0)f a a
=-
><，即函数()f x 的图象的顶点位于y 轴的右方，()f x 的最大值为
316
a a
-。 01 若
316
5a a
-≤，即 8a ≤-时，则()l a 是方程()5f x =-的较大的根。由2835ax x ++=-，解得
()l a =02 若
316
5a a
->，即80a -<<时，则()l a 是方程()5f x =的较小的根。由2835ax x ++=，解得
()l a =
所以，8,
()80.
a l a a ≤-=-<<
分析 （2）函数()l a 的表达式中，自变量a 比较分散，可以通过分子有理化将自变量a
集中，以便于分析函数()l a 值的增减变化。
解 （2）当8a ≤-时，
()l a =
=
=
=
≤
=
当80a -<<时，
()21
.442
l a =
=<=+综上，当8a =-时，()l a
情景再现
7．若二次函数2()f x ax bx =+有()()f m f n =，求()f m n +.的值。 8．设223
()24
f x x ax a =---，若对于01x ≤≤，均有|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围。
习题3
1．关于x 的方程2350x x a -+=的两根分别在区间(2,0)-和(1,3)内，求a 的取值范围。 2．二次函数2252(1)6y x m x m =-++- 的图像与x 轴的两个交点位于区间[-1，1]上，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围。
3．已知关于x 的方程22(23)2(1)0x m m x m -+-++=的两个实数根互为相反数 （1） 实数m 的值；
（2）关于x 的方程2()350x k m x m k -+---=的根均为整数，求出所有满足条件的实数k 。 4．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点(0,9)A ，其轨迹方程为2(0)y ax c a =+<
（1）为使物体落在x 轴上给定的区间（6，7）内，求实数a 的取值范围；
（2）若物体又经过(2,8.1)P ，问它能否落在x 轴上给定的区间（6，7）内？说明理由。
5．设二次函数2()3f x x ax a =++-，若22x -≤≤时，()0f x ≥恒成立。求实数a 的取值范围。
6．已知,,a b c 为实数，0ac <
0+=，证明一元二次方程20ax bx c ++=
1的根。 7．对于二次函数()f x ，若存在实数0x ，使得00()f x x =成立，则称点00(,)x x 为二次函数()f x 的不动点。
（1）二次函数2()f x ax bx b =+-有不动点（1，1）和（-3，-3）求,a b 的值；
（2）对于任意实数b ，二次函数2()f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围。
8．设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件： （1） 当x 为任意实数时，(4)(2)f x f x -=-，且()f x x ≥； （2） 当02x <<时，2
1()()2
x f x +≤； （3） ()f x 的最小值为0。 求()f x 的解析式。
9．设二次函数2()(,,),f x ax bx c a b c Z =++∈ 已知方程()0f x =在区间(2,0)-内有两个不等的实根，且对任意实数x 恒有242()8124x f x x x +≤≤++，求,,a b c 。
10．已知关于x 的方程2220(0).x x a a a ---=> （1）证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小； （2）若对于1,2,,2006a =，相应的方程的两根分别为
112220062006,,,,,αβαβαβ，
求1
1
2
2
2006
2006
1
1
1
1
1
1
αβαβαβ+
+
+
++
+
的值。
答案 情景再现
1． 设22()(1)2f x x a x a =+-+-。由2(1)020f a a
2． 设2()2f x x kx k =-+-。由题意，得
2
17
()0722421
712222()2024k f k b k k k a k R
b k f k a ?=->?
?>??
??-
=>?>?>????∈??-=-
+-≤?
??
。
所以，当72
k >时，原方程的两根都大于1
2。
3．
设22()7(13)2f x x a x a a =-++--。由题意，得 22
2
(0)2012
(1)28024
03(2)30
f a a a a f a a a a a f a a ?=--><->????=--=->???或或 所以，当2134a a -<<-<<或时，原方程的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上。
4． 22
213981
()32()424
a a f x x ax a x a +-=+-+=+-。
（1）当302a -<即0a >时，min 11
()(0)20;48f x f a a ==-=?=
（2） 当3012a ≤-≤即2
03
a -≤≤时，
2min 39811
()()01(.249
a a f x f a a a +-=-=-=?=-=或均舍去）
（3） 当312a ->即2
3
a <-时，
min 55()(1)0.44
f x f a a ==+
=?=- 综上，所求a 的值为15
84
a =-或。
5． 设2()f x ax bx c =++，由20a ab ac ++<，得()0a a b c ++<。
（1）若0a >，则抛物线的开口向上，且0a b c ++<即(1)0f <。由此得方程20ax bx c ++=有两实根，且一根比1大，一根比1小；
（2）若0a <，则抛物线的开口向下，且0a b c ++>即(1)0f >。由此得方程20ax bx c ++=有两实根，且一根比1大，一根比1小。
综上，原命题得证。
6． 原方程可化为2()32()0f x x a b c x ab bc ca =-+++++=。
由a b c >>，得
2()32()()()0f a a a a b c ab bc ca a b a c =-+++++=-->， ()()()0f b b a b c =--<， ()()()0f c c a c b =-->。
所以，原方程的两根分别在区间(c,b )和(b,a )上，即一根比b 大，一根比b 小。 7． 由题意，得22b m n b m n a a
+-
=?+=-。 所以，2()()()0b b
f m n a b a a +=-+-=。
8． 222233()2()244
f x x ax a x a a =---
=---。 10
当0a <时，2
max 2min 1()(1)21140;32()(0)1
4
f x f a a a f x f a ?==--≤???-≤
?==--≥-?? 又 (1)(0)12f f a -=-， 20 当1
02
a ≤≤
时，
2
max 2min 1()(1)214
03()()21
4
f x f a a a f x f a a ?==--≤???≤?
?==--≥-?? 30
当112a <≤时，2
max 2min 3()(0)143()()21
4
f x f a f x f a a ?==--≤????==--≥-??，此时无解；
40
当1a >时，2
max 2min 3()(0)141()(1)21
4f x f a f x f a a ?==--≤????==--≥-??，此时无解。
综上，所求a
的取值范围是12a -≤≤。
习题3
1．
设2()35f x x x a =-+，由题意，得 (2)220,(0)0,120.(1)20,(3)120.
f a f a a f a f a -=+>??=
?-<
=-+? 所以，所求a 的取值范围是120a -<<。 2．
设22()52(1)6f x x m x m =-++-，由题意，得
22
2(1)210,(0)60,
1(1)230f m m f m m f m m ?-=++>??=-??
。 所以，所求m 的取值范围是
1m <<-。
3。 （1）由题意，得2
1212230,
32(1)0.
x x m m m x x m ?+=+-=??=-?=+
（2）由3m =-，得方程2(3)40x k x k --+-=。由题意，得 1212121212
3,
1(1)(1)24.x x k x x x x x x x x k +=-??++=?++=?
=-?。 因为12,x x 为整数，所以
112211,1,2,0,
12, 2.3, 1.
x x x x +=-=-?????
+=-=-??
所求k 的值为2-或4。 4．
将（0，9）代入方程，得9c =。设2()9f x ax =+。 （1） 由(6)3690,(7)4990.f a f a =+>??=+
得 19449a -<<- ；
（2） 将（2，8.1）代入方程，得919
(,)40449
a =-
∈--，所以物体能落在x 轴上给定的区间（6，7）内。
5．
2
2
2()3()324
a a f x x ax a x a =++-=++--，
10 当22a
-<-即4a >时，
min 7
()(2)7303
f x f a a =-=-≥?≤
（舍去）； 20 当222
a
-≤-≤即44a -≤≤时，
2
min ()()3062,42;24
a a f x f a a a =-=--≥?-≤≤∴-≤≤
30 当22
a
-
>即4a <-时， min ()(2)707,7 4.f x f a a a ==+≥?≥-∴-≤<-
综上，所求a 的取值范围是72a -≤≤。 6． 设2()f x ax bx c =++
，又b =, 所以，
23(1)()()5].
f f a c a b c a ac ?=+++=-
由20,0,ac a <≥ 得
)(1)0f f ?<。 所以，方程20ax bx c ++=
1的根。 7．（1）1,1,
93 3. 3.a b b a a b b b +-==?????--=-=??
（2）由题意，b 为任意实数时，二次方程2ax bx b x +-=总有两个相异的实根，则
22(1)42(12)10b ab b a b ?=--=-++>恒成立。
由214(12)4010.a a ?=+-
8．
于(4)(2)f x f x -=-中，令3t x =-，则()(1)1f t f t -+=--。所以，1x =-是原二次函数()f x 图象的对称轴。又()f x 的最小值为0。可设2()(1)f x a x =+。
由题意，当02x <<时，22
1(1)()2
x x a x +≤+≤。 令1x =，得211
141,()(1)44
a a f x x ≤≤?=
∴=+。 9． 令1
2
x =-， 由242()8124x f x x x +≤≤++，得
1120424
b a
a b c c --+=?=
由242()8124x f x x x +≤≤++，得不等式组
2
2216(8)(12)04
28(4)0
4
a b a x b x a b ax b x -+?-+-+≥???
-+?+--≥?? 对任意实数x 恒成立。 因而，22
122280,
(12)(8)(216)(4)0,
0,(4)(28)(4)0.a b a a b a b a b a a b a b ??-≥??=----+=-+≤??>?
?=-+-+=-+≤?
化简得08,
40.a a b <≤??-+=?
由,,a b c R ∈，得 1,2,3,4,5,6,7,8,5,6,7,8,9,10,11,12,3,
4.
a b c =
??=??=?
因此，2
1()483
f x x x =++，解1()0f x =得两根为12-
和3
2
-，符合题意；22()8124f x x x =++，解2()0f x =得两根为1
2
-和1-，也符合题意。
所以，4,8,3a b c ===或8,12,4a b c ===。 10． 22()2f x x x a a =---
（1）因为2(2)0f a a =--<，所以原方程的根一个比2大，一个比2小； （2）设,k k αβ是方程2220x x k k ---=的两根，则
21
1
211
2()1k k k
k
k k k k k k
αβαβαβ++
=
==--+--。
所以，
112
2
2006
2006
11
1
1
1
1
αβαβαβ+
++
++
+
11111
2[(1)()()]
22320062007
14012
2(1).
20072007
=--+-++-=--=-
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
高中数学二次函数分类讨论经典例题
例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=
北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质
[A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( )
高中数学-二次函数定区间上最值问题
高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：
高中数学-二次函数的性质与图象练习
高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为()
A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-,
高中数学教学论文 浅谈二次函数在高中阶段的应用
高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应用 在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1） 这里不能把？（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ：设？（x+1）=x2－4x+1，求？（x） 这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： （1）把所给表达式表示成x+1的多项式。 ？（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2－6x+6 （2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而？（x）= x2－6x+6 二、二次函数的单调性，最值与图象。 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
1二次函数的最值问题总结
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1． 当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 例2． 当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3． 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 例4． 当1t x t ≤≤+时，求函数215 22 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值． 例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去. （1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.
不等式高中数学竞赛标准教材
第九章不等式(高中数学竞赛标准教材) 第九章不等式 一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0 ac>bc；（5）a>b, c<0 ac
高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题
第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练 运用数学思想：①转换思想（坐标与线段的相互转换）②方程思想（几何问题代数化，代数问题方程化）－、基本图形在直角坐标系中： (1) (2) 二、典题练习 1、如图1，抛物线y＝ax2－3ax＋b经过A（一1，0）C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．求此抛物线的解析式； （1）如图2，过点E（1，一1），作EF⊥x轴于点F，将ΔAEF绕平面内某点旋转180后得ΔMNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应）使点M、N在抛物线上，求M、N坐标。 AM=_________ MB=_________ AB=AM?________=MB?________ 1 = PB AP , P的坐标________ 2 1 = PB AP ，P的坐标________ n PB AP =，P的坐标________ 2、如图，已知抛物线y ＝x 2 一4与x 轴交于A 、B 两点，直线y ＝2 1 x ＋b 交抛物线与D 、E 两点. ①若ED ＝30，求b 的值； ②若ED 交y 轴于P 且PE:PD ＝1:2，求b 的值； ③若ED 交x 轴于M 且S ΔPOD :S ΔPAD ＝1:3，求b 的值。 三、巩固练习 1、ΔABO 中，点A 、B 的坐标分别为（2，0）（1，3），若点C 在第一象限，且BC 平行且等于OA ，抛物 线y ＝cx 2 ＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点，点D 是抛物线的顶点．求此抛物线的解析式； （1）在平面内是否存在这样一点Q ，将线段AD 绕点Q 旋转180后得到线段MN ，使点M 在x 轴上，点N 在该抛物线上，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 高中数学竞赛活动方案1 一、活动目的 为激发学生学习数学的兴趣，增强学生学数学，用数学的动力，丰富学生的课余生活，促进数学教学质量的提高。通过竞赛奖励数学能力突出，表现优异的学生。拟于12月2日（第十四周星期二)举行高中数学竞赛。 二、比赛时间：12月2日晚6：20---8：20 三、比赛地点：学校阶梯教室（或高二级两个活动室） 四、活动对象： 高一、高二年级学生（各级参赛选手分别60人） 五、活动方式： 以年级备课组为单位，各年级分别命题，同时开展数学竞赛 六、题型及评分标准：（总分100分） 1、填空题共15题，每题4分，共60分 2、解答题共05题，每题8分，共40分 七、奖项设置： 分级设奖，每级设一等奖3名、二等奖4名、三等奖8名。获奖学生颁发奖品，一等奖的指导教师颁发荣誉证书。 八、命题人： 高一级：邓华贵 高二级：杨水源 九、工作人员： 总负责：刘青青 协调：杨汉林、杨福生、（横幅、摄影） 监考：高一级：周丽群、邓华贵 高二级：胡芫祯丁敏 评卷人员：高一级：谢大钰、邓华贵、肖珍、周丽群 高二级：钟水兵、杨水源、胡芫祯、丁敏 备注：因活动时间为晚上，所以工作人员按晚自习蹲班发放加班费。 高中数学竞赛活动方案2 一、竞赛目的 为了激发学生学习数学的兴趣和营造你追我赶的学习氛围，特组织本次活动。 二、竞赛内容：根据我校实际情况，以年级为单位，以本为本，适当拓展，力求难易适中。限时120分钟。 三、参赛对象：各年级学生报名与老师推荐相结合 参赛时间：20xx年12月21日 星期天，晚上8点30分 参赛人数：高一、高二、高三 四、评奖设置： 个人奖，年级各多少名，按分数高低评出一、二、三等奖若干名。 五、试卷拟定人：高一、高二、高三 参赛场地：（教研室定） 监考老师（兼司铃员）：高一、高二、高三 试卷批改：高一、高二、高三 六、活动总结 竞赛活动结束后试卷批改教师开始批改试卷，试卷批改结束，将参赛成绩统计交到教研处，由教研室进行成绩审核和奖励确定。 二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0. 第十章 直线与圆的方程 一、基础知识 1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。 2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式： 1=+b y a x ；（5）两点式：1 21121y y y y x x x x --= --；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：?????+=+=θ θ sin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线 倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。 5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tan θ= 2 11 21k k k k +-,tan α= 2 1121k k k k +-. 6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|= 2 21221)()(y y x x -+-。 8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2 2 00| |B A C By Ax d +++= 。 9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1 C C ≠). 10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。 11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。 12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为 ?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x （θ为参数）。 二、二次函数（命题人：华师附中 郭键） 1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269 x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．（北师大版第52页例2）图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性 x y O 函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线 12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1)成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练
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