诱导公式及同角关系的应用
诱导公式及同角关系的应用
1.已知sin α=4
5
，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ）
(A)3
4
(B)43
- (C)43
(D)4
3
- 2.若θ是第三象限角，且02
cos <θ，则2
θ是
（）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限
3.设是第二象限角,则sin cos αα
= ( )
(A) 1 (B)tan 2
α (C) -tan 2
α (D)1- 4.若tan θ=3
1,π<θ<3
2π,则sin θ2cos θ的值为 （ ）
(A)±
3
10
(B)
3
10 (D)
5若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=3
2
,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形
(B)锐角三角形 (C)直角三角形
(D)等腰三角形 6.已知α的终边经过P （ππ65cos ,65sin ），则α可能是
（）
A ．π6
5
B ．
6
π
C ．3
π-
D ．
3
π 7．如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （）
A ．)(]
22
,22
[Z k k k ∈++-ππππ
B ．)()
22
3,22(Z k k k ∈++ππππ
C ．)(]22
3
,22[Z k k k ∈++ππππ
D ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ
8.1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）
A ．5
B ．－5
C ．6
D ．－6
9.已知函数f （x ）=sin ，g （x ）=tan （π﹣x ），则（ ）
A 、f （x ）与g （x ）都是奇函数
B 、f （x ）与g （x ）都是偶函数
C 、f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数
D 、f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数
10.点P （cos2009°，sin2009°）落在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
11.若tan160°=a，则sin2000°等于（）
A、B、
C、D、﹣
12.已知cos（+α）=﹣，则sin（﹣α）=（）
A、﹣
B、
C、﹣
D、
13.函数的最小值等于（）
A、﹣3
B、﹣2
C、D、﹣1
14.本式的值是（）
A、1
B、﹣1
C、D、
15.、已知且α是第三象限的角，则cos（2π﹣α）的值是（）
A、B、
C、D、
16.已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）
A、B、﹣
C、0
D、1
17.已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）
A、B、 C、﹣D、﹣
18.),0(,5
4
cos παα∈=
，则tan α的值等于 （ ）
A ．
34
B ．
4
3
C ．3
4±
D ． 4
3±
19.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 2
3 ,则这个三角形是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．不等腰直角三角形
D ．等腰直角三角形 20.已知sin αcos α = 1
8 ,则cos α－sin α的值等于 （ ）
A ．±34
B ．±23
C ．23
D ．－23
21.已知θ是第三象限角，且9
5
cos sin 4
4
=
+θθ，则=θθcos sin （ ） A ．
32 B ． 32- C ． 3
1 D ． 31- 9、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1
tan tan θθ
+
的值是 （ ） A ．1- B ．2-
C ．1
D ．2
22.已知sin α=
5
4
，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （ ） A ．34
- B ．43- C ．43 D ．3
4
23.若2
1
cos sin =
?θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）
A ．2
2sin =θ B ．2
2sin -=θ
C ．1cos sin =+θθ
D ．0cos sin =-θθ
24.已知sin α＋cos α＝
2
3
1-，且0＜α＜π，则tan α的值为 ( )
Ａ． Ｂ． 25.若
2cos sin 2cos sin =-+α
αα
α，则=αtan （
）
A ．1
B ． －1
C ．
4
3
D ．3
4-
26.已知)1(,sin <=m m α，
παπ
<<2
，那么=αtan （ ）
A 21m m
-B 21m m
--C 21m
m
-±D m m 2
1-±
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27．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααα
α
cos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A.2 B.2- C.2-或2 D.0
28．已知3tan =α，2
3π
απ<
<，那么ααsin cos -的值是（ ） A 231+- B 231+- C 231- D 2
3
1+ 29.已知
21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x
的值是
A ．21
B ．2
1
- C ．2 D ．－2
30.若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+
B ．51-
C ．51±
D ．51--
31.若θ为二象限角，且2
cos 2sin
212
sin
2
cos
θ
θ
θ
θ
-=-，那么2θ是
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
32.若，，则
的值为
（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
33.已知，则
的
值是（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
34.已知cos （x ﹣）=m ，则cosx+cos （x ﹣）=（ ）
A 、2m
B 、±2m
C 、
D 、
35.在△ABC 中，①sin （A+B ）+sinC ；②cos （B+C ）+cosA ；③tan tan ；④，其中恒为定值的是（ ） A 、②③ B 、①②
C 、②④
D 、③④
36.给定函数①y=xcos （+x ），②y=1+sin 2
（π+x ），③y=cos （cos
（+x ））中，偶函数的个数是（ ） A 、3 B 、2
C 、1
D 、0
37.设角
的值
等于（ ） A 、 B 、﹣
C 、
D 、﹣
38. 扇形的周期是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是_______________ 39.若θ为第二象限角，则sin θcos θtan3的符号是_________________． 40.若
α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+--
-+ = －2 tan α，则角α的取值范围是 ．
41.??
? ??-π619sin 的值等于______________. 42.若sin （125°－α）= 12
13
,则sin （α＋55°）=
．
43.cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π
7 =．
44.已知sin αcos α=8
1,且4π<α<2π
，则cos α－sin α的值为 ______________.
45．若
2cos sin 2cos sin =-+α
αα
α，则=αtan ______________.
46．已知tan α=2,则2sin 2
α－3sin αcos α－2cos 2
α=. 47．角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=m m
α，则sin α+cos α=______．
48.若（﹣4，3）是角终边上一点，则
Z 的值为_________．
49.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，当A 为________°时，取得最大值，且这个最大值为_________． 50.化简：
=_________.
51.化简：=_________．
52.已知，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2009）
=_________． 53.已知tan θ=3，则（π﹣θ）=_________． 54.sin （π+
）sin （2π+
）sin （3π+）…sin （2010π+）
的值等于_________． 55.f （x ）=
，则f （1°）+f （2°）+…+f （58°）
+f （59°）=_________． 56.若
，且
，则cos （2
π﹣α）的值是_________．
57.若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．
58.已知
2cos sin cos sin =-+α
αα
α，则ααcos sin 的值为 ．
59.已知5
24cos ,53sin +-=+-=m m
m m θθ，则m=_________；=αtan ． 60.若15tan =α，则=αcos
；=αsin
．
61.化简sin
2
α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=
．
62．已知tan α=cos α= ．
63＝ ．其中(,)2πθπ∈
64.已知5
1
sin =α，求ααtan ,cos 的值．
65．已知tan α =3，求下列各式的值：
4sin cos (1)3sin 5cos αα
αα-+ ， 2222
sin 2sin cos cos (2)4cos 3sin αααα-?-- ，2231(3)sin cos 42αα+
66．已知tan θ＋cos t θ＝2，
求：（1）sin θ2cos θ；（2）sin θ＋cos θ；（3）sin 3
θ＋cos 3
θ的值.
67.若cos α＝23
，α是第四象限角，求
sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)
απαπαππαπααπ-+--------的值.
68.已知5
1
cos sin =
+x x ，且π< x – cos 3 x 的值． 69.已知5 1 cos sin = +ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值； （2）求βsin 、βcos 、βtan 的值． （3）求sin 3 β – cos 3 β的值 （4）3 3 sin cos +ββ （5）4 4 sin cos +ββ ，4 4 sin cos -ββ （6）6 6 sin cos +ββ ，6 6 sin cos -ββ 70.化简：tan α（cos α－sin α）＋α αααcos 1) tan (sin sin ++ 同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 题型一，同角间的计算 利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值： （1）tan θ； （2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识： （1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1， 1tan sec 22=-αα， 1cot csc 22=-αα， 商式关系： sin α cos α =tan α， αα αcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1， ααcos 1sec = ααsin 1csc = （2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。 二、例题分析： 例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) ． 解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2 )，求cos θ－sin θ的值． 解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34 ． ∵θ∈(π4 ，π2 )，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 3 2 ． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= － 3 2 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 例3 已知tan θ=3．求（1） α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值． 例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α 1－tan α 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α，π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)sin α cos α ＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，所以cos(π＋α)＝－cos α ＝－3 5，故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2＋α ＝1 5，那么cos α＝( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2＋α＝sin ? ???? π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________. 解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3. 答案 3 5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7 18. 同角三角函数基本关系式和诱导公式 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：,1cos sin 22=+x x sin tan ,cos x x x = tan cot 1x x =，掌握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法. 2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、同角三角函数基本关系式 1．平方关系：222222sin cos 1; sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2．商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα . 3．倒数关系：tan cot 1;sin csc 1; cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如22 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式 sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin , cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- Xx 学校学科教师辅导讲义 一）一、定义：角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。旋转开始时的射线、终止时 的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_______。 二、在直角坐标系内讨论角： （1）角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几项先，就说这个角是第几象限角（或 者说这个角属于第几象限）； 例如：30°、390°、-330°等都是第一象限角；120°、480°、-240°等都是第二象限角；240°、600°、-120°等 都是第三象限角；-30°、-390°、330°等都是第四象限角。 注意：锐角_____第一象限角，但第一象限角_______锐角；钝角______第二象限角，但第二象限角________钝角。（填 “都是”或者“不都是”） （2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任一象限。 例如：直角、周角、平角都不属于任一象限。 三、终边相同的角（重点） 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={Z k k ∈?+=?,360/αββ }，即任一与角α终 边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。 四、1弧度角的定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。单位符号是 rad,读作弧度。2、弧度 数：在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数；,任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0. 五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ；180°=πrad ；1°= 180πrad ≈；1rad=π 180 ≈°≈57°18′。 21 同角三角函数的关系及诱导公式 一、考试要求：理解同角三角函数的基本关系，能熟练运用上述关系解决问题. 二、重点与难点：同角三角函数的基本关系反映了三种三角函数之间的制约关系，知一即知三，这种关系也是转化函数结构的基本工具，最典型的是“切化弦”，常用的还有通过“整体代换”x x t cos sin ±=来沟通x x cos sin +、x x cos sin -及x x cos sin . 三、知识点与方法： （一）同角三角函数的关系：平方关系：__________________；商数关系：____________________. （二）诱导公式：诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限. 一、基础训练 1．10cos 3 π= ． 2．已知3, 2παπ? ?∈ ???，tan 2α=，则cos α= ． 3．若3sin 65πα??+= ???，则cos 3πα??-= ??? ． 4．若cos(80)k ?-=，则tan100?= ． 5．已知sin 2cos x x =，则2sin 1x += ． 6= ． 7．442cos sin 2sin x x x -+= ． 8．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= ． 二、例题精讲 例 1．（1）已知8cos 17α=- ，求sin α，tan α的值； （2）已知0, 2πα??∈ ???，且11sin 2cos 5αα+= ，求tan α． 例2．已知02x π-<<，1sin cos 5 x x +=， （1）求sin cos x x -的值； （2）求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 例3．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 例4．已知()()() 3sin cos 2tan 2()cos f ππαπαααπα??---+ ???=--， （1）求313f π??- ???的值； （2）若()22f f ππαα??+=+ ??? ，求2sin cos cos sin cos ααααα++-的值； （3）若3()5f α= ，求sin ,tan αα的值． §4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α ＝tan α. 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 3. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( × ) (3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3 . ( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π 2，π]，则m <－5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3 3 . ( × ) (6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α 的值是－1 3. ( √ ) 2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π 2，0)，则tan(2π－α)的值为 ( ) A ．－25 5 B.255 C ．±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2 3， 又α∈(－π 2，0)， 得cos α＝1－sin 2α＝ 53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25 5. 3． 若tan α＝2，则2sin α－cos α sin α＋2cos α 的值为________． 答案 34 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、选择题 1.(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－12 13 ，则tan α＝ ( ) A.－ 5 13 B. 5 13 C.－ 12 5 D. 12 5 解析因为α是第四象限角，sin α＝－12 13， 所以cos α＝1－sin2α＝ 5 13， 故tan α＝sin α cos α ＝－ 12 5 . 答案 C 2.已知tan α＝1 2 ，且α∈ ? ? ? ? ? π， 3π 2 ，则sin α＝( ) A.－ 5 5 B. 5 5 C.25 5 D.－ 25 5 解析∵tan α＝1 2 ＞0，且α∈ ? ? ? ? ? π， 3π 2 ，∴sin α＜0， ∴sin2α＝ sin2α sin2α＋cos2α ＝ tan2α tan2α＋1 ＝ 1 4 1 4 ＋1 ＝ 1 5 ， ∴sin α＝－ 5 5 . 答案 A 3.1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝( ) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 解析1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝1－2sin 2cos 2 ＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A 4.(2017·甘肃省质检)向量a ＝? ???? 13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则 cos ? ???? π2＋α＝( ) A.－13 B.13 C.－ 23 D.－ 22 3 解析 ∵a ＝? ???? 13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ， ∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝1 3， ∴cos ? ???? π2＋α＝－sin α＝－13. 答案 A 5.(2017·广州二测)cos ? ????π12－θ＝13，则sin ? ???? 5π12＋θ＝( ) A.1 3 B.22 3 C.－13 D.－223 解析 sin ? ???? 5π12＋θ＝sin ??????π2－? ????π12－θ ＝cos ? ????π12－θ＝1 3. 答案 A 6.(2017·孝感模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos α sin 2α－cos 2α的值是( ) A.12 B.2 C.－12 D.－2 解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α sin 2α－cos 2α ＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos α sin α－cos α同角三角函数与诱导公式
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