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高中数学函数知识点归纳及常考题型

《函数》知识要点和基本方法

1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m

个映射。

2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备)

4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:

如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1f(x 2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x 1、x 2是给定区间内的两个任意的值，且x 1

第二步：作差f(x 2)-f(x 1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；

第三步：判断差式f(x 2)-f(x 1)的正负号，从而证得其增减性。 8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。如f(x)=x 2

+2，f(x)=x 3

-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：

奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)

()

(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，

()

(=-x f x f (fx)≠0)。 12.①若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0，常用于待定系数； ②偶函数f(x)满足f(x)=f(|x|)；

③定义域关于原点对称且函数值恒为0的函数既是奇函数又是偶函数。 13.①奇函数的图象关于原点对称，反之，图象关于原点对称的函数是奇函数； ②偶函数的图象关于y 轴对称，反之，图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③关于原点对称的区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

14.函数图像变换：

①平移变换：形如y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a |个单位，就得到

y=f(x+a)的图象；形如y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位，就得到

y=f(x)+a的图象。

②对称变换：y=f(x)→ y=f(-x),关于ｙ轴对称；y=f(x)→ y=-f(x) ,关于ｘ轴对称。

③翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|), (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称。

15.反函数：f(a)=b a=f-1(b)。原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域。

17.求反函数的步骤：①求反函数的定义域（即y=f(x)的值域）；②将x,y互换，得y=f-1 (x)；③将y=f(x)看成关于x 的方程，解出x=f-1(y)，若有两解，要注意解的选择。

18.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称；

19.原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点。

20.原函数与反函数在对称区间上具有相同的单调性；奇函数的反函数仍为奇函数。

21.在定义域上单调的函数一定具有反函数；反之，并不成立（如y=1/x）。

22.复合函数的定义域求法：①已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)∈A，求得x的取值范围即可。②已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令x∈A，求得g(x)的函数值范围即可。

23.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，在u∈A的情况下,求出y=f(u)的值域即可。

24 .复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。增增、减减为增；增减、减增才减（同增异减）。

①f(x)与f(x)+c (c为常数)具有相同的单调性；

②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性；

③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性；

④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性；

⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数。

⑥设f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f (x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数。

25.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析。

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；

a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得。 26.一元二次方程实根分布问题解法：

①将方程的根视为二次函数的图像与x 轴交点的横坐标；

②从抛物线开口方向、对称轴、判别式、区间端点函数值等方面分析限制条件。

27.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法：①确定定义域渐近线x=-d/c ；②确定值域渐近线y=a/c ；③根据y 轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。 28.指数运算法则：(a>0,b>0,m,n ∈R)

①a m ?a n =a m+n ； ②a m ÷a n =a m-n ； ③(a m )n =a mn ； ④n

n b

a b a =)(； ⑤(ab)n =a n ?b n

。

化为质因数的幂的形式、化根式为分数指数幂、化负指数幂为正指数幂等都是指数运算的常用方法。 29.对数的定义及对数式及指数式之间的相互转化关系：

a b

=N ?b=log a N(其中a>0且a ≠1,N>0)。

特别地，常用对数(以10为底的对数)：log 10N=lgN ；

自然对数(以无理数e ≈2.71828为底的对数)：log e N=lnN 。

①负数和零没有对数；②1的对数是零，正数本身的对数是1。即log a 1=0，log a a=1(a>0且a ≠1)；③对数恒等式：

N a N log a =(a>0且a ≠1)。

30.对数运算法则：

（1）log a (M ?N)=log a M+log a N ；（2）log a (M/N)=log a M-log a N ；（3）log a M n

=nlog a M ；（4）M log n

M log a n a 1=；（5）M log n M log a a

1=；（6）M log n m M log a n m a =；

（7）M log n

m M log a m a

=；（8）a log M

log M log b b a =(换底公式)；（9）log a b ?log b a=1；

（10）a

log b log b a 1=。这里a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，且M>0,N>0，m,n ∈N *,n>1。为基本公式

31.指数函数、对数函数的图像与性质：

32.比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

33.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①f(x1＋x２)=f(x１)+f(x２)：正比例函数f(x)=kx(k≠0)；

②f(x1＋x２)=f(x１)·f(x２)；f(x1-x２)=f(x１)/f(x２)：指数函数y=a x；

③f(x1?x2)=f(x1)+f(x2)；f(x1/x２)=f(x１)-f(x２)：对数函数y=log a x；

④f(x1?x2)=f(x1)?f(x2)；f(x1/x２)=f(x１)/f(x２)：幂函数y=x a。

34.如果f(a+x)=f(b-x)成立，则y=f(x)图像关于x=(a+b)/2对称；特别地，f(x)＝f(-x)成立，则y=f(x)图像关于y 轴对称。

如果f(a+x)=f(b+x)成立(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，2|a-b|是它的一个周期；

两个函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的图象关于直线

b x -

=对称。

35.a>f(x)恒成立?a>f(x)的最大值；a

a>f(x)恒有解?a>f(x)的最小值；a

a=f(x)恒有解?f min(x)≤a≤f max(x)。

【题型1】映射与函数的概念问题

映射与函数的概念是学习函数的基础，应予以充分重视。

例1.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x,y)|x ∈R,y ∈R}，映射f:A →B 使集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，(2,1)的原象是（）A.（3,1） B.（

23,21） C.（23,-2

） D.（1,3）例2.下列各组函数中，是同一函数的是（）

A.y=1与y=x 0

B.y=log a x 2

与y=2log a x （其中a>0且a ≠1） C.1+=x y 与44)1(+=x y D.x log a a y =与x a a log y =(其中a>0且a ≠1) 【题型2】函数的定义域问题

1.已知函数解析式，求函数定义域例3.求下列函数定义域：

（1）y=lg(1-tanx)；（2）x x x y --++=21132。

2.复合函数的定义域

例4.若y=f(x+3)的定义域是[-5,-2]，则y=f(x+1)+f(x-1)的定义域是_________。 3.实际问题所确定的函数定义域问题

例5.一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以每秒s cm 3

的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y 与注入时间t(秒)的函数关系式及其定义域。

4.已知函数定义域，求参数的值或范围

例6.已知函数862++-=m mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是____________。【题型3】求函数解析式问题

1.凑配法例7.已知x x x f 2)1(+=+，则f(x)=____________。

2.换元法以上题为例。

3.待定系数法例8.如果f[f(x)]=4x-1，则整系数一次函数f(x)=____________。

4.消元法例9.设f(x)是定义在(0,∞+)上的一个函数，且有1)1

(2)(-?=x x

x f f ，则f(x)=________。

5.特殊值法例10．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 都有f(x-y)= f(x)-y(2x-y+1)，则f(x)的表达式是____________。【题型4】求函数值问题

例11．设定义在N 上的函数???>-≤+=)

2000)](18([)2000(13)(n n f f n n n f ，则f(2003)=_______。

例12.设函数2)1(1)(--==x x f y (0≤x ≤1)的反函数为f -1

(x)，则)2

1(1-f 的值为__________。

例13.已知f(cosx)=1-sin2x ，x ∈(0,2π

)，则f(sin 12

π)=___________。【题型5】函数值域与最值问题

函数的值域与函数的最值是反映函数值的范围的两个概念，因而它们之间既有分别又有联系，在初等函数中，求函数的值域与求函数的最值方法相同。

1.已知函数解析式，求函数值域(最值)

函数值域是由函数定义域及法则唯一确定的，因此在求函数值域(最值)时，应首先考虑函数定义域。其方法主要有：图象法、配方法、换元法、单调性法、逆求法、判别式法、不等式法、导数法、分离常数法，等等。

例14.求下列函数的值域：

（1）2

43x x y --= （2）)3(3

522>-+-=x x x x y

2.几何最值

例15.边长为a 的正方形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 上的点，沿MN 将梯形BCNM 翻折，使B 点落在AD 上，问怎样才能使被折的梯形BCNM 的面积最小？

3.函数值域的逆向问题

例16.已知函数)0(12)(22<+++=b x c

bx x x f 的值域是[1,3]，求b,c 之值。

【题型6】函数图象的有关问题

函数图象是函数性质的直观反映，应用十分广泛。 1.作函数的图象例17.作下列函数的图象：

（1）y=2|x|

-1 （2）y=log 2|x+1| 2.利用图象变换求解析式

例18.已知函数f(x)的图象沿直线y=-x 向右下方平移22个单位，得到函数y=lgx 的图象，则f(x)的解析式为（）

A.f(x)=lg(x+2)+2

B.f(x)=lg(x-2)+2

C.f(x)=lg(x-2)-2

D.f(x)=lg(x+2)-2 3.函数图象的应用问题例19.方程1

2442--=-+x x

x x 的实根共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【题型7】函数的单调性

1.证明函数单调性

例20.用定义证明函数3

)21()(+-=x x

x f 在[1,+∞)上是减函数。

例21.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(-∞,0)上单调递增，判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并证明你的

结论。

2.讨论函数的单调性

例22.讨论函数),11(1)(2

R a x x ax

x f ∈<<--=的单调性。

3.求函数的单调区间

求函数单调区间的常用方法有：图象法、定义法、复合函数法、导数法等。例23.函数f(x)=log 2(-x 2

+2x+8)的递增区间是___________。 4.已知函数单调区间，确定参数取值范围

例24.设21)(++=x ax x f 在(-2,+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________。

5.函数单调性的应用

函数单调性的应用主要有：比较函数值或代数式的大小；解方程或不等式。例25.设y=f(x)是R 上的单调函数，证明:方程f(x)=0在R 上至多有一个实数根。【题型8】函数的奇偶性

1.判断函数的奇偶性

例26.判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)=lg(4+x)+lg(4-x) （2）???<-≥-=-0

,10

,1)(x e x e x f x

2.已知函数的奇偶性，求参数值

例27.已知)121()(a x x f x +-?=是偶函数，则实数a 之值为__________。

3.已知函数的奇偶性，求函数解析式

例28.已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=log 2(x+1)，则当x<0时，f(x)的解析式是__________。

【题型9】函数性质的综合问题

例29.已知f(x)是定义在整数集Z 上的奇函数，且对定义域内的任意x ，有f(x)= f(x-1)+f(x+1)，若f(1)=88，则f(2003)=__________。

例30、设函数f(x)对于任意的实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=-2。（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问：当x ∈[-3,3]时，f(x)是否有最值？若有，求出最值；若没有，说明理由。

【题型10】函数的应用问题

应用题的解法一般遵循以下步骤：①阅读理解，认真审题；②引入数学符号，建立数学模型；③解答数学模型，求得结果；④将结果转译成实际问题。

例31.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0

（1）写出本年度的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围？题型11、函数、方程、不等式三者联系问题

例33、设函数ax x x f -+=1)(2，其中a>0。（1）解不等式f(x)≤1；

（2）求a 的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。例34.设a,b,c ∈R ，且它们的绝对值都不大于1，求证：ab+bc+ca+1≥0。 [练习]

练习1.求函数y=x 2

-2x+1在[0,2]上的值域是__________。

练习2.已知函数f(x)满足f(cosx-1)=cos 2

x ，则f(x)的解析式为__________。练习3.设x ≠k π(k ∈Z)，则函数x

sin x sin y 224

=的最小值是__________。练习4.函数1

)(3

4++=x x x x f 的奇偶性是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数练习5.函数y=log 0.5(x 2

+4x+3)的单调增区间是__________。

练习6.已知函数4

)3(22

-=-x x lg x f ，则函数f(x)的定义域是__________。

练习7.函数1-+=x x y 的最小值是__________。

练习8.函数2

22++--=x x x x y 的值域是__________。

练习9.对所有的实数x ，不等式04)1(122)1(42

2222>+++?++?a a log a a log x a a log x 恒成立，求实数a 的取值范围。

[数学思想方法] 1.数形结合法

例1.已知a>0，且a ≠1，使方程)()(222a x log ak x log a a -=-有解的实数k 的取值范围是__________。 2.分类讨论思想

例2.求函数y=ax 2

-2x+1(a ∈R)在[-1,1]上的最值。

例3．已知函数f(x)=mx 2

+(m-3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围是__________。 3．转化与化归思想

例4．已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点。

（1）证明：C,D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标。

例5.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1-m)

例6.已知f(x+1)是偶函数，且当x ≤1时，f(x)=x 2

+x ，则当x>1时，f(x)的解析式为_________。 5.方程思想

例7.函数f(x)满足)b a ,cx(abc )x bf(af(x)2201≠≠=+，则f(x)=__________。

6.函数思想

例8.若关于x 的方程cos 2

x-sinx+a=0在(0,2

]上有解，则实数a 的取值范围是__________。 7.方程思想

例9.函数122+++=x x x y 的值域是__________。 8.整体思想

例10.设a>0,b>0且a ≠b ，求函数y=(asin 2

x+bcos 2

x)?(acos 2

x+bsin 2

x)何时取得最大值？最大值是多少？ 9.逆反思想

例11.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，f(2)=1，且对任意正数x,y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)，则满足f(a)+f(a-2)≤3的实数a 的取值范围是__________。

例12.设函数f(x)=4x

-2x+1

+1(x>0)的反函数为f -1

(x)，则f -1

(9)=__________。 10.换元思想

例13.若关于x 的方程4x

+2x

?a+a+1=0有实根，则a 的取值范围是__________。 [强化训练]

1.已知映射f:A →B ，其中集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的A a ∈，在B 中的对应元素是|a|，则集合B 中的元素个数是（）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

2.设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于直线（）对称。

A 、y=0

B 、x=0

C 、y=1

D 、x=1

3.已知f(x)=ksinx+ax 3

+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)=（）

A 、-26

B 、-18

C 、18

D 、10

4.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在[-7,-3]上是（）

A 、增函数且最小值为-5

B 、增函数且最大值为-5

C 、减函数且最小值为-5

D 、减函数且最大值为-5

5.函数2

x e e y --=的反函数是（）

A 、奇函数，它在(0,+∞)上是减函数

B 、偶函数，它在(0,+∞)上是减函数

C 、奇函数，它在(0,+∞)上是增函数

D 、偶函数，它在(0,+∞)上是增函数

6.定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和。如果f(x)=lg(10x

+1),x ∈(-∞,+∞)，那么（）

A.g(x)=x,h(x)=lg(10x +10-x +2)

B.g(x)=21[lg (10x +1)+x],h(x)=2

1[lg(10x +1)-x]

C.g(x)=

2x ,h(x)=lg(10x +1)-2x D. g(x)=-2x ,h(x)=lg(10x +1)+2

7.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，f(a)=b ，ab ≠0，则f -1

(b)（）

A.a

B.a -1

C.b

D.b -1

8.若a>b>1，lgb lga M ?=，)(21lgb lga N +=，2

b a lg P +=，则（）

A.P

B.M

C.N

D.M

9.设f(x),g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增；②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减。则正确的命题是（）

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

10.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=( )

A.0.5

B.-0.5

C.1.5

D.-1.5 11.方程sinx=lgx 解的个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4 12.若)0(),()1

1()(≠?-+

=x x f x F x 是偶函数，且f(x)不恒为零，则f(x)是（） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 13.函数)

2(12

1x log y -=

的定义域为__________。

14.方程log 2(x+1)2

+log 4(x+1)=5的解是__________。 15.不等式x x

3)3

1(2

-->的解集是__________。

16.已知函数f(x)=(x-1)?(log 3a)2

-6x ?log 3a+x+1在[0,1]上的值恒为正，则实数a 的取值范围是__________。 17.若log a 2<1，则实数a 的取值范围是__________。

18.设0y>1，则a x

,a y

,x a

,y a

,log a x,log a y 的大小顺序是_____________________。 19.当x ∈(2,6)时，f(x)=lg(-x 2

+kx-12)有意义，则实数k 的取值范围是____________。

20.解关于x 的不等式1223-<-x log x log a a (a>0且a ≠1)。 21.已知函数1

)(+-=

x a a x f (a>0且a ≠1)。（1）求f(x)的定义域及值域；（2）讨论f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x)的单调性。 22.设a>0且a ≠1，t>0，比较

t log a 2

与21+t log a

的大小，并证明你的结论。 23.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2

，画面的宽与高之比为λ(0<λ<1)，画面的上、下留8 cm 空白，左、右留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸才能使宣传画所用纸张面积最小？ 24.设二次函数f(x)=ax 2

+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x 1,x 2满足0

。 ①当x ∈(0,x 1)时，证明：x

②设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，证明：x 0<2

x 。

[自我测试]

1.函数)12x 4x (log y 22

1+-=的值域为（）A.(-∞,3) B.(-∞,-3] C.(-3,+∞) D.(3,+∞)

2.设函数2x 1(x 0)

f (x)x 3(x 0)

?+<=?-≥?，则f[f(1)]的值是（）A.1 B.-1 C.5 D.-5

3.|x 1|)3

(y -=的单调减区间是（）A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)

4.若log a 2b>1 D.b>a>1

5.集合P={x|0≤x ≤4}，Q={x|0≤y ≤2}，下列不表示．．．

从P 到Q 的映射是（）

A ．1f :x y x 2→=

B ．2f :x y x 3→=

C ．1

f :x y x 3

→= D ．f :x y x →6.下列各组函数是同一函数的是（）

①3f (x)2x =-g(x)x 2x =- ②f (x)x =与2g(x)x ； ③f(x)=x 0

与g(x)=1； ④f(x)=x 2

-2x+1与g(t)=(t-1)2

。 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 7.下列函数中，值域是(0,+∞)的是（） A.132+-=x x y B.)31(121-≥+=

x x y C.y=x 2+x+1 D.2

)1(1-=

x y 8.设函数f(x)是R 上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2x

-3，则f(-2)等于（）A.1 B.114 C.-1 D.-11

9.设函数f(x)=x 2

+2ax+2在区间(-∞,4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是（）

A.a ≤-4

B.a ≥-4

C.a ≤4

D.a ≥4

10.已知y=f(x) 存在反函数y=g(x), 若f(3)=-1, 则y=g(x+1)的图象必过点（）

A.(-2,3)

B.(0,3)

C.(2,-1)

D.(4,-1)

11.函数25

y lg[x (k 1)x k ]4

=++-+的值域为[0,+∞)的充要条件是（）

A.-6

B.k ≤-6或k ≥0

C. -6≤k ≤0

D.k=-6或k=0

12.对于定义在R 上的函数x

43m

f (x)9-?+= ，若其所有的函数值不超过1 ，则m 的取值范围是（）

A.(-∞,-4]

B.(-∞,0]

C.[-4,+∞)

D.(0,+∞)

13.1

2327()lg 5lg2lg5064

-++?=____________。

14.函数y=lg(2x 2

-x-3)的单调递增区间为_____________。 15.设0

① ② ③ ④如图，开始时桶A 中有

a 升水，t 分钟后剩余的水量符合指数衰减函数y 1=ae -nt

(其中e,n 为常数)，此时桶B 中的水量就是y 2=a-ae -nt

。假设过5分钟后桶A 和桶B 中的水量相等，则再过．．___________分钟，桶A 中只有水a

升。 17.已知f(x+1)=x 2

+4x+3(x ≥-1)。

(1)求f(x)，并指出定义域；(2)求f(x)的反函数f -1

(x)。

18.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1-m)0时，x x 2f (x)41

+。

(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2）求出f(x)在R 上的解析式。

a y =

x y a log =

1 1

-1

-1 1

20.已知lg(7×2x

+8)≥

，求函数112

f (x)lo

g x log 4

=?的最小值及相应的x 的值。 21.某企业实行裁员增效，已知现有员工201人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收．．．．．．．．．．．．．．．．．．．0.01万元．．，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的

，设该企业裁员x 人后年纯收益为y 万元. （Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；（Ⅱ）问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益.

（注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）

22.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)同时满足如下三个条件：① 对于任意x,y ∈(0,+∞)，都有f(x ?y)=f(x)+f(y)；② 当x>1时，f(x)<0；③ f(3)=-1。（1）计算

f(9),f 的值；

（2）证明f(x)在(0,+∞)上为减函数；

（3）设集合A={(x 0,y 0)|f(x 02

+1)-f(5y 0)-2>0,其中x 0,y 0∈(0,+∞)}与集合B={(x 0,y 0)| 00

x 1f ()0y 2

+=,其中x 0,y 0∈(0,+

∞)}

问：是否存在(x 0,y 0)使x 0,y 0∈A ∩B ？

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章集合与简易逻辑第一节集合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

高中数学,函数图形考点及题型全归纳

第五节函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0