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7.3反三角函数与简单三角方程(答案)

7.3反三角函数与简单三角方程(答案)
7.3反三角函数与简单三角方程(答案)

[松江二中2010届高三数学第一轮复习资料]

7.2反三角函数与简单三角方程

【复习要求】

1、知道反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的基本性质和图像;

2、理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念和符号表示;

3、会用计算器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小;

4、掌握最简三角方程的解集,会解形如:

0cos sin

,0sin sin

,cos sin ,)sin(2

2

=++=++=+=+c x b x a c x b x a c x b x a a x A ?ω

等简单的三角方程。

(一)sin(arcsin ),x x x =∈[]1,1-,s(arc s ),co co x x x =∈[]1,1-,tan(arctan ),x x x =∈R (二)[]arcsin()arcsin ,1,1x x x -=-∈-,[]arccos()arccos ,1,1x x x π-=-∈-, arctan()arctan ,x x x R -=-∈ (三)arcsin(sin ),,22x x x ππ

??

=∈-

???

?

,[]arc s(s ),0,co co x x x π=∈,arctan(tan ),,22x x x ππ??

=∈- ???

【基础训练】 1、求值:

=23arcsin

3

π

=-

)2

1arcsin(6

π

-

=

-

)2

2arccos(4

3π =-)3arctan(3

π

-

2、下列各式中正确的是( C )

(A )2

1

6

arcsin

=π (B)3

)3cos(arccos π

π

=

(C)122

2

arctan

arctan π=

- (D)5

3)]5

3(

arcsin[sin ππ

=

3、下列命题中正确的是 (3)

(1)函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 (2) 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 (3) 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 (4) 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数

4、若函数)2arcsin(2-=x y 值域是],3

[ππ

-,则此函数定义域为 ]3,2

3[

5、函数)2arccos(2

2

x x y -+-

的递减区间是 ]21,1[+

6、求解三角方程: (1)

1)4

sin(2=+

π

x πk x 2= 或)(2

2Z k k ∈+

π

π

(2)2

6cos sin =-x x 12

72ππ+

=k x 或)(12

112Z k k ∈+

ππ

(3)

2

2

1

tan 1

tan =

+-x x )(4

22arctan

Z k k x ∈+

+=π

π

(4)x x sin 4sin = 32πk x =或

)(5

)12(Z k k ∈+π

【典型例题】 1、求值:(1))6

22tan(arccos π

-

(2))]13

5arccos(5

3cos[arcsin -

-,

(3))]5

3arcsin(2sin[-

32-

, 65

16, 25

24-

2、函数]2

3,

2[

,sin π

π∈=x x y 的反函数)(1

x f

-为 ( D )

(A )]1,1[,arcsin -∈-x x (B)]1,1[,arcsin -∈--x x π

(C) ]1,1[,arcsin -∈+x x π (D) ]1,1[,arcsin -∈-x x π 3、设αsin =x ,且]4

7,65[

ππα∈,则x arccos 的取值范围是],3

[

ππ

4、求函数)arcsin(2x x y -=的定义域、值域及单调区间。

]2

51,

251[+-

,]4

1

arcsin

,2[π

-

,递增]21,251[

-

,递减]2

51,21[+ 5、作出函数],[),arcsin(sin

ππ-∈=x x y 的图像,并判断其奇偶性,单调性。

奇函数,递增]2

,2[π

π-

递减]2

,[π

π-

-和],2

[

ππ

6、求解三角方程: (1)a x x =-2

2

sin

cos

,1>a 无解;Z k a k x a ∈±

=≤,arccos 2

1,1π

(2))2,2(,3

sin

2)3

tan(πππ

π

-∈=-

x x 3

5,

3

2,

3

,3

4πππ

π-

-

=x

(3))3

tan(2tan π

+=x x Z k k x ∈+

=,3

π

π

(4)x x x 2sin cos

3sin

2

2

=- 3arctan +=πk x 或)(4

Z k k ∈-

π

π

(5)012)cos (sin 122sin =+--x x x 2

π+=k x 或2()k k Z ππ+∈

7、方程k x x =+cos sin

2

有解,实数k 的取值范围是??

????

-45,

1 8、若1arcsin >x ,则x 的取值范围是 ( B )

(A )]2

,1(π (B)]1,1(sin (C)]2

,1(sin π

(D)φ

【学后反思】

【巩固训练】 1、函数)arccos(2

12

x y -=

的值域是]2

,4[

π

π

2、函数)33arccos(2

+-=

x x y 的定义域是[]2,1

3、函数)3

23

)(arcsin(cos ππ

<

<-

=x x y 的值域是 ]2

,6(π

π-

4、一个直角三角形的三内角正弦值成等比数列,用反正弦表示的最小内角为arcsin 2

5、已知A A cos 3sin 2=

,求A

)(23

Z k k ∈+ππ

6、求解三角方程:

(1)2

1)3

2sin(=-πx 4

ππ+=k x 或)(12

7Z k k ∈+

π

π (2) 1)4

c o s ()4

s i n (

=+

π

x x a ,2

2

1,2Z k a

k x a ∈±

=>π

(3))3,1(,012tan ∈=+x x 8

7,83ππ

(4)1cos sin 3=-x x 3

π+=k x 或)(2Z k k ∈+ππ

(5)x x x x 3sin 5cos 3cos 5sin = )

(2

Z k k x ∈=π

7、已知)cos(3)sin()(??-+

+=x x x f 是偶函数,求?的值。 )(6

Z k k ∈-

π

π

8、当k 取什么整数值时,方程053cos 4sin )1(2

=-+-+k x x k 有实数解,求出此时的解。

Z m m x k m x k m x k ∈==±==+==,2,3;3

2

a r c c o s 2,2;2,1πππ

π 【能力提升】

1、若x x x f 4)(arccos 2

+=,求)(x f 的最小值及求得最小值时x 的值. 3x ,f (x )=π=-

2、直角ABC ?中,2

1arcsin

1arcsin

,90π

=

+=∠b

a

C

,求证:ab c =

三角函数,反三角函数公式大全

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]

反三角函数公式(完整)

反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π,上的反函数,叫做反余弦函数。记作x cos arc ,表示一个 余弦值为x 的角,该角的范围在]0[π,区间内。定义域]11[, - , 值域]0[π,。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π,上的反函数,叫做反余切函数。记作x arc cot ,表示一个余切值为x 的角,该角的范围在)0(π,区间内。定义域R ,值域)0(π,。

反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π

x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系

加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ,,或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ,,或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ

三角和反三角函数图像

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质: 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R {x|x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z} {x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}值域 [-1,1]x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 [-1,1] x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在[2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ]上都是增函数;在 [2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π]上都是减函数(k∈Z) 在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数; 在[2kπ,2kπ+π]上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ,kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)

常用反三角函数公式表

反三角函数公式

反三角函数图像与特征 1 :

反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.

反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))

If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能:返回一个指定数的反余弦值,以弧度表示,返回类型为Double。 语法:ArcCos(x)。 说明:其中,x的取值范围为[-1,1],x的数据类型为Double。 程序代码: Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function

三角及反三角函数

三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数,正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数,余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图,理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx 、arccosx 、arcotx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念,能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质,能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广: (1)定义:一条射线OA 由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边,射线OB 叫角α的终边,O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。 (3)象限角:由角的终边所在位置确定。 第一象限角:2k π<α<2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角:2k π+ 2 π <α<2k π+π,k ∈Z 第三象限角:2k π+π<α<2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角:2k π+2 3π <α<2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角:一般地,所有与α角终边相同的角,连同α角在内(而且只有这样的角),可以表示为k 2360°+α,k ∈Z 。 (5)特殊角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合{α|α= 2 π k ,k ∈Z } 终边在一、三象限角平分线上角的集合{α|α=k π+4π ,k ∈Z } 终边在二、四象限角平分线上角的集合{α|α=k π-4π ,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上角的集合{α|α=k π-4 π ,k ∈Z } 2.弧度制: (1)定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化:

(完整版)反三角函数公式大全

反三角函数公式大全 三角函数的反函数,是多值函数。它们是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x,反正割Arcsec x=1/cosx,反余割Arccsc x=1/sinx等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏-arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2,∏/2〕时,有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2,∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0,∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2,∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

三角和反三角函数图像

三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质: 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R {x |x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z } {x |x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z } 值域 [-1,1]x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 [-1,1] x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在[2kπ- 2π,2kπ+2 π ]上都是增函数;在[2kπ+2 π ,2kπ+32π]上都是减函数(k ∈Z) 在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数;在[2kπ,2kπ+π]上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π,kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)

三角函数与反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1.特殊锐角( 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ,圆心角为 a (rad ), 半径为 R,面积为 S 角a 的弧度数公式2π×(a /360 °) ①360°=2π rad 角度与弧度的换算②1°=π/180rad ③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 ° 弧长公式l a R 扇形的面积公式s1lR 2 3.诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)所谓 奇偶指是整数 k 的奇偶性( k· /2+ a) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角, k· /2+ a 之和所在象限)注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了 学习指导参考

4. 三角函数的图像和性质: (其中 k z ) ①: 三角 函数 函 数 图 象 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 y sin x R [-1,1] 2 奇 2k , 2k 2 2 2k , 2k 2 2 对称轴 : x k 2 y cosx R [-1,1] 2 偶 2k ,2 k 2k ,2 k 对称轴 : x k y tanx y cotx x k x k 2 R R 奇 非奇非偶 k , k k , k 2 2 对称中心: ( k 2 , 0) 性 对称中心 : ( k , 0) 对称中心 : ( k + 2 , 0) 零值点 x k x k 2 最 x k , y max 1 x 2k , y max 1 ; 2 值 x k , y min 1 y 2k , y min 1 x k x 2 k

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 . 一.基础知识自测题: 1.函数y=arcsin x的定义域是 [-1, 1] ,值域是. 2.函数y=arccos x的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] . 3.函数y=arctg x的定义域是R,值域是. 4.函数y=arcctg x的定义域是R,值域是 (0, π) . 5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=. 6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=. 7.若cos x=-, x∈(, π),则x=. 8.若sin x=-, x∈(-, 0),则x=. 9.若3ctg x+1=0, x∈(0, π),则x=. 二.基本要求: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系;

2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsin x, x∈[-1, 1], y∈[-,], y= arccos x, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围; 3.符号arcsin x可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,] 上的一个实数;同样符号arccos x可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; 4.y=arcsin x等价于sin y=x, y∈[-,], y=arccos x等价于cos y=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; 5.注意恒等式sin(arcsin x)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccos x)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sin x)=x, x∈[-,], arccos(cos x)=x, x∈[0, π]的运用的条件; 6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用; 7.注意恒等式arcsin x+arccos x=, arctg x+arcctg x=的应用。 例一.下列各式中成立的是(C)。 (A)arcctg(-1)=-(B)arccos(-)=- (C)sin[arcsin(-)]=-(D)arctg(tgπ)=π 解:(A)(B)中都是值域出现了问题,即arcctg(-1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π], (D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[-,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 一.基本知识: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系; 2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsin x, x∈[-1, 1], y∈[-,], y=arccos x, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围; 3.符号arcsin x可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,]上的一个实数;同样符号arccos x可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; 4.y=arcsin x等价于sin y=x, y∈[-,], y=arccos x等价于cos y=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据;

1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π], (D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[- ,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二.下列函数中,存在反函数的是(D)。 (A)y=sin x, x∈[-π, 0](B)y=sin x, x∈[, ] (C)y=sin x, x∈[,] (D)y=sin x, x∈[,] 解:本题是判断函数y=sin x在哪个区间上是单调函数,由于y=sin x在区间[,]上是单调递减函数,所以选D。 例三. arcsin(sin10)等于(C)。 (A)2π-10 (B)10-2π(C)3π-10 (D)10-3π 解:本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相

常用反三角函数公式表

反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) =

反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心):,该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心): ,该点切线斜率为-1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心):,该点切线斜率 为1 拐点: ,该点切线斜率为-1 : 渐近线:

名称反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围反正弦若,则 反余弦若,则 反正切若,则 反余切若,则 反正割若,则 反余割若,则 式中n为任意整数.

反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1)

三角函数及反三角函数

三角函数及反三角函数集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

函数变换 反三角函数

三角函数的,是多值函数。它们是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

三角、反三角函数图像及性质与三角公式

三角、反三角函数图像 (附:资料全部来自网络,仅对排版做了改动,以方便打印及翻阅,其中可能出现错误,阅者请自行注意。) 1.六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 2.三角函数的图像和性质: 3.反三角函数的图像和性质: arcsinx arccosx arctanx arccotx

arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2 sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=x x∈[0,π] arccos(cosx)=x x∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=x x∈(0, π) arccot(cotx)=x

三角公式总表 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⊿ = 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.同角关系: ⑴商的关系:①θtg =θθ cos sin =θθsec sin ? ②θθθ θθcsc cos sin cos ?==ctg ③θθθtg ?=cos sin ④θθθθcsc cos 1 sec ?== tg ⑤θθθctg ?=sin cos ⑥θθθ θsec sin 1 csc ?== ctg ⑵倒数关系:1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系:1csc sec cos sin 2 22222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a (其中辅助角?与点(a,b )在同一象限,且 a b tg = ?) 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±

(完整版)三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ,圆心角为a (rad ),半径为R ,面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性(k ·π/2+a ) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角,k ·π/2+a 之和所在象限) 注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质:(其中z k ∈) ①: 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑??? ?2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=,1max =y ; 2y k ππ=+,1min -=y

三角函数与反三角函数图像

三角函数公式和图象总结 1.与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为S={β|β=α+k ×360,k ∈Z} 2.弧长公式:α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径。 3.三角函数定义: sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===,其中P (,)x y 是α终边上一点,||r OP = 4.同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α

sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=,?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。

12.①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω,最大值为A+b ,最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 14.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心):,该点切线斜率为1 拐点

三角函数和反三角函数图像性质知识点总结

三角函数 1.特殊锐角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l,圆心角为a(rad),半径为R,面积为S 角a的弧度数公式2π×(a/360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π r ad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式l a R = 扇形的面积公式12 s lR = 3.诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) 所谓奇偶指是整数k的奇偶性(k·π/2+a) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a看做锐角,k·π/2+a之和所在象限)注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质:(其中z k ∈) ①: 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑??? ?2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=,1max =y ; 2y k ππ=+,1min -=y

反三角函数图像

反三角函数图像与特征: :

渐近线: : 反三角函数的定义域与主值范围 若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数

数学术语 y作为 在 y=x对称。其 ,π/2] arcsin x x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。【图 ⑵在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x的角,该角的范围在[0,π]区间内。【图中蓝线】⑶ x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x表示一x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。【图中绿线】注释:【图的画法根据反函数的性质即:反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个:y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;y=arccos(x),定义域[-1,1] ,值域[0,π],图象用蓝色线条;y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),图象无;sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得 反三角函数其他公式:arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… 举例 当x∈[-π/2,π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0,π],arccos(cosx)=x x∈(-π/2,π/2),arctan(tanx)=x x∈(0,π),arccot(cotx)=x x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如,arcsinχ表示角α,满足α∈[-π/2,π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β,满足β∈[0,π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,

常用反三角函数公式

精品文档 . 反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) =

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精品文档 . 名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若,则 反余弦若,则 反正切若,则 反余切若,则 反正割若,则 反余割若,则 式中n为任意整数.

精品文档 . 反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x -x 3/3!+x 5/5!-...(-1)k-1*x 2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x ) / x ) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x )) If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x ) / x ) + 2 * Atn(1) End Function

反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数: 概念:把正弦函数sin y x =,,22x ππ?? ∈- ???? 时的反函数,成为反正弦函数,记作x y arcsin =. sin ()y x x R =∈,不存在反函数. 含义:arcsin x 表示一个角α;角α,22ππ?? ∈-????;sin x α=. 反余弦、反正切函数同理,性质如下表. 其中: (1). 符号arcsin x 可以理解为[- 2π,2π]上的一个角(弧度),也可以理解为区间[-2π,2 π ]上的一个实数;同样符号arccos x 可以理解为[0,π]上的一个角(弧度),也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; (2). y =arcsin x 等价于sin y =x , y ∈[-2π,2 π ], y =arccos x 等价于cos y =x , x ∈[0, π], 这两个等价关 系是解反三角函数问题的主要依据; (3).恒等式sin(arcsin x )=x , x ∈[-1, 1] , cos(arccos x )=x , x ∈[-1, 1], arcsin(sin x )=x , x ∈[-2π,2π ], arccos(cos x )=x , x ∈[0, π]的运用的条件; (4). 恒等式arcsin x +arccos x =2π, arctan x +arccot x =2 π 的应用。

2 (1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解,如果有解,求出三角方程的解集; (2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础,要在理解三角方程的基础上,熟练地写出最简单的三角方程的解; (3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用; 如:若sin sin αβ=,则sin (1)k k απβ=+-;若cos cos αβ=,则2k απβ=±; 若tan tan αβ=,则a k πβ=+;若cot cot αβ=,则a k πβ=+; (4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 【例题精讲】 例1. 函数,,的反函数为( )y x x =∈??? ???sin π π2 32 []A y x x .arcsin =∈-,,11 [] B y x x .arcsin =-∈-,,11 [] C y x x .arcsin =+∈-π,,11 [] D y x x .arcsin =-∈-π,,11 分析与解: π π2 32 ≤≤ x ∴?-??????x x π π2 2,,需把角转化至主值区间。 ∴- ≤-≤ -==π ππ π2 2 x x x y ,又sin()sin 由反正弦函数定义,得π-=x y arcsin ∴=--≤≤x y y πarcsin ,又由已知得11

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