关于角平分线的辅助线做法

角平分线专题

一、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。

例题2：已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC

学力训练

1、已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD

2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC

3、已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：A

E=2CE

4、已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。求证：B

M-CM>AB-AC

A B

C

D E

F N

1

3 图1234

图1-3

A

B

C

D

E

5、已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、DC 。求证：BD+CD>AB+AC 。

二、角平分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180

例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。

求证：BC=AB+AD

例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。

小试牛刀：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥O A ， 如果PC=4，则PD=（ ）

A 4

B 3

C 2

D 1

2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。

图2-1

A

B

C

D E

F

图2-3

P

A

B

C M N

D

F 图2-4

B

O A

P D

C

图2-2

A

B

C

D

E

3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，

AE=21

（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。

4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。

5、已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=

2

1

（AB-AC ） 图2-5

A

B

D

C

E

图2-6

E

A

B C

D

F 图2-7

F

D

C

B

A

E

H

图示3-1

A

B

C

D

H E

分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。

例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠A BC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长

交AE 于M 。

求证：AM=ME 。

分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。

例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。求证：AM=

2

1

（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△AB D 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=

2

1

EC ，另外由求证的结果AM=2

1

（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可

尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=C F 即可。

小试牛刀：

图3-2

D

A

B

E

F

C

图3-3

D

B

E

F

N A

C

M

图3-4

n

E

B

A

D C

M

F

1． 已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分

线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。

2．

已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF

于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=2

1BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

图4-2

图4-1

C

A

B

C B

A

F

I

E

D

H

G

例1如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

例2 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。

1 2

A

C

D

B

B

D

C

A

例3： 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。

小试牛刀：

1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。求证：△ABC 是直角三角形。

2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC

3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

A

B E

C

D

C

A

B A

E

B

D C

A

B

D

C

1 2

4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD

A

D

B C

角平分线及中点辅助线技巧要点大汇总

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC B 图1-2 D B C

例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B= 2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ， 求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。 求证：BM-CM>AB-AC 图1-4 A B C

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点 E，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图 3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右

边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B / B C 图5 图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图

几何辅助线之角平分线专题

几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型 已知：AD是∠BOC的角平分线 （1）（2） （3）（4） 2、补充性质： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC

典型例题 例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB 例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。

D E H A B C 例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥， 垂足分别是E ， F ．求证：AD 垂直平分EF ． 例5、 如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥ BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。

例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 变式练习 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： ⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断写出FE与FD之间的数量关系； ⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所

角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案

、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线T 等腰三角形 如图1,过/ AOB 平分线 OC 上的一点P ,作PE // 0B ,交OA 于点E ,贝U EO=EP. 例3 如图6，点P 是厶ABC 的外角/ CAD 的平分线上的一点 ?求证: PB+POAB+AC. 、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 、已知角平分线，构造三角形 分线，BE 丄AD 于 F 。 2、在厶 ABC 中, AD 平分/ BAC , CE 丄 AD 于 E .求证：/ ACE= / B+ / ECD . 精品文档 精品文档 例1 如图2，/ ABC ，/ ACB 的平分线相交于点 F ,过F 作DE // BC ,交AB 于 点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线T 等腰三角形 如图3,过/ AOB 平分线 0C 上的一点P ,作EF 丄0C ,交0A 于点E ,交0B 于点F , 贝U OE=OF , PE=PF. 例2 如图4, BD 是/ ABC 的平分线，AD 丄BD ，垂足为 D ，求证：/ BAD= / DAC+ / C. 模型三：角平分线+翻折T 全等三角形 在厶ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，沿角平分线 AD 将厶ABD 往 右边折叠就得到如图 5的图形?此时有：△ ABD ◎△ AB /D.此翻折 相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段 此方法可解决一些不相等的线段和差类问题 ? 图5 1、如图所示，在△ ABC 中，/ ABC=3 / C , AD 是/ BAC 的平 求证：BE 1(AC AB) O B 图1 C A D B / 图6

角平分线的几种辅助线作法与三种模型精编版

1 一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图3 例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF. 例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折 相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B / B C 图5 图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证： PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ． 2 1F E D C B A A B D C E F 图

角平分线辅助线专题练习

D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性: 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法:边角等 造全等,也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图, 2、 角平分线的性质定理：注意两点(1)距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△AB Ｃ中,AD 平分∠BAC ，则有ＡB:ＡC=BD:DC 针对性例题: 例题1：如图，AB=2ＡC ,∠ＢＡＤ＝∠ＤAC ，DA ＝ＤB 求证：DC ⊥AC

B 例题2：如图,在△ＡB Ｃ中，∠Ａ等于60°,BE 平分∠ＡBC,C Ｄ平分∠ACB 求证:ＤH=E Ｈ 例题3:如图1，B Ｃ>A Ｂ,BD 平分∠A ＢC,且∠A+∠Ｃ=18０0， 求证:AD=D Ｃ．: 思路一:利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴，因此,题中若有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形. 证法1:如图１，在ＢC 上取B Ｅ=ＡB,连结DE ，∵BD 平分 ∠A ＢＣ，∴∠A ＢＤ=∠D ＢE ，又BD=BD,∴△ABD ≌△EBD （S ＡＳ), ∴∠A ＝∠DB Ｅ,ＡＤ＝D Ｅ,又∠A+∠C=1８00，∠D ＥＢ+∠DE Ｃ=1８０0,∴∠Ｃ=∠D ＥC,D Ｅ=ＤC ， 则AD ＝DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、B Ｄ于E 、F ， 连结DE,由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△ＥBF,则ＡB=B Ｅ, ＢD 平分∠A ＢC,BD ＝ＢD ，∴△ＡBD ≌△E ＢＤ(SA Ｓ）, ∴AD ＝ED ，∠ＢAD ＝∠DEB,又∠BA Ｄ+∠Ｃ=1８０0, ∠BED+∠CE Ｄ=180０ ,∴∠C=∠DEC ，则ＤE=DC,∴AD=DC ． 说明:证法１,2，都可以看作将△ＡB Ｄ沿角平分线BD 折向B Ｃ而构成 全等三角形的． 证法3:如图３，延长BA 至E ，使BE=B Ｃ，连结D Ｅ, ∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又BD=BD ，∴△CB Ｄ≌△EBD （SAS)， ∴∠C=∠E ，ＣD=ＤＥ，又∠BA Ｄ+∠C=１８00,∠DA Ｂ+∠D ＡＥ=１800, ∴∠E=∠D ＡＥ，DE ＝ＤA ，则AD=ＤC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线B Ｄ折向B Ａ而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3

全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全说课讲解

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全 一、角平分线类辅助线作法 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等?对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种. 1、 角分线上点向角两边作垂线构全等： 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、 截取构全等 利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、 延长垂线段 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰三角形.或通过一边上 的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形. 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形. 至 于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件 . 图四 M B 图一 M 图 M B 图三

典型例题精讲 【例1】如图所示，BN平分/ ABC, P为BN上的一点，并且PD丄BC于D, AB+ BC 2BD . 求证：BAP+ BCP 180 . 【解析】过点P作PE丄AB于点E. VPE± AB, PD 丄BC, BN 平分/ABC,：PE PD . 在Rt APBE 和Rt APBC 中， BP BP PE PD ???Rt z2PBE 细t ^BC ( HL), BE BD . T AB BC 2BD , BC CD BD , AB BE AE , ? AE CD . ??PE丄AB, PD 丄BC ,? PEB PDB 90 . 在AFAE 和Rt APCD 中， PE PD PEB PDC , AE DC ? △AE织t A^CD , ? PCB EAP . ?/ BAP EAP 180 , ? BAP BCP 180 . 【答案】见解析.

角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案

精品文档 精品文档一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图3 例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF. 例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为 D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折 相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B/ B C 图5 图6 例3如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平 分线，BE⊥AD于F。 求证： 1 () 2 BE AC AB =- 2、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD． 2 1 F E D C B A A B D C E F 图

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型” 模型一:角平分线+平行线→等腰三角形 如图1,过∠AOB平分线OC上的一点P,作PE∥OB,交OA于点E,则EO=EP、 A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图3 例1如图2,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E、求证:BD+EC=DE、 模型二:角平分线+垂线→等腰三角形 如图3,过∠AOB平分线OC上的一点P,作EF⊥OC,交OA于点E,交OB于点F,则OE=OF,PE=PF、 例2如图4,BD就是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D, 求证:∠BAD=∠DAC+∠C、 模型三:角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中,AD就是∠BAC的平分线,沿角平分线AD将 △ABD往右边折叠就得到如图5的图形、此时有:△ABD≌△AB/D、 此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边,或延长一边等于另一边构造出相等的线段、用此方法可解决一些不相等的线段与差类问题、 D A E A P / B C D B/ B C 图5 图6 例3如图6,点P就是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点、求证:PB+PC>AB+AC、 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线,构造三角形 1、如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD就是∠BAC的平分 线,BE⊥AD于F。 求证: 1 () 2 BE AC AB =- 2、在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于 E.求证:∠ACE=∠B+∠ECD. 2 1 F E D C B A A B D C E F 图

初二上学期角平分线常见辅助线做法精编版

全等三角形几种常见辅助线的做法 教学目标 全等三角形几种常见辅助线的做法 重难点导航 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

D C B A E D F C B A 一、倍长中线（线段）造全等 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A

关于角平分线的辅助线做法

角平分线专题 一、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如： 例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 例题2：已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 学力训练 1、已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC 3、已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：A E=2CE 4、已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。求证：B M-CM>AB-AC A B C D E F N 1 3 图1234 图1-3 A B C D E

5、已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、DC 。求证：BD+CD>AB+AC 。 二、角平分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180 例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。 求证：BC=AB+AD 例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。 分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。 小试牛刀： 1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥O A ， 如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。 图2-1 A B C D E F 图2-3 P A B C M N D F 图2-4 B O A P D C 图2-2 A B C D E

三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型(绝对经典)

D C B A E D F C B A 三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对 经典） 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. E D C B A 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC C D B A

E D C B A D C B A P Q C B A 2、如图，AD ∥BC,EB,EA 分别平分∠CBA,∠DAB ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 注意：三角形中位线与梯形中位线 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0 180=∠+∠C A

P 21 D C B A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证： 证明：延长BE 交AC 于点F 。 因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ， 所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE= BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。 因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ， ∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ， 所以BE= FC=（AC －AF ）=（AC －AB ）， 所以。 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。 证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中 1 ()2 BE AC AB = -1 2 12121 21 ()2 BE AC AB = -2 1F E D C B A N P E D C B A

所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。 因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中 所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。 因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。 三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是△ABC 的外角的平分线，求证：△1=△2 证明：过点P 作PE△AB 于点E ，PG△AC 于点G ，PF△BC 于点F ． 因为P 在△EBC 的平分线上，PE△AB ，PH△BC ， 所以PE=PF 。 同理可证PF=PG 。 所以PG=PE ， 又PE△AB ，PG△AC ， 所以PA 是△BAC 的平分线， 所以△1=△2。 BP BP PE PD =?? =?PE PD PEB PDC AE DC =?? ∠=∠??=? 2 1P F E C B A

角平分线类辅助线作法

角平分线类辅助线作法 注：1、以上三种角平分线类辅助线的作法主要用来解决线段或者是角的数量关系问题 2、一些特征条件（例如角的倍数）需要用到主动翻折，利用轴对称的知识解决问题 例题精讲 1、已知：在四边形ABCD中，，，且，BD平分∠ABC，求证：． 2、已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求证：．

3、已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上． （1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 4、（2015中考怀柔二模）在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别为D，E，M为BC边中点，连接MD，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）如图2，若射线平分，且，求证：.

5、如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求证：． 6、如图，已知在△ABC内，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：．

7、如图，在四边形ABCD中，AC平分，于E．设， ，．求的余弦值及AC的长． 8、已知等腰，，的平分线交于，求证：．

9、（2014初二上期末房山区）在△ABC中，，，点D是线 段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E， 1 2 EBA ACB ∠=∠，DE与 AB相交于点F． （1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明； （2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由． 10、已知：，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D． （1）PC和PD的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论． 11、如图1所示：，AE、DE分别平分和，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C. （1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____. （2）试证明你的猜想.

角平分线类辅助线作法

角平分线类辅助线作法 角平分线是天然的、涉更对称的模型』一般情况下，有下列三种作辅肋线的方式: 1. 由角平分线上的一点向角的两边作垂线. 2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腥三角形. 3- OA=OB?这种对称的團形应用得也较为普遍? 注：1、以上三种角平分线类辅助线的作法主要用来解决线段或者是角的数量关系问题 2、一些特征条件(例如角的倍数)需要用到主动翻折，利用轴对称的知识解决问题 例题精讲 1、已知：在四边形ABCD中，二，…」.「二i：「：厂，且―:，BD平分 / ABC，求证：二.二 _ ? 2、已知：如图，在△ ABC 中，一-_-，—一-_一，BE 丄AE .求证：…―___ . 3、已知____ -- ，AC平分/ MAN，点B、D分别在AN、AM 上. (1)___________________ 如图1,若—.二一 .，请你探索线段AD、AB、AC 之间的数量关 系，并证明之；

(2)如图2,若---- ----一：，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，

给出证明；若不成立，请说明理由. 5、 如图，在△ ABC 中，—一 一―，AD 平分/ BAC ，求证：一二… 一一 . （2015中考怀柔二模）在厶ABC 内侧作射线」，自B, C 分别向射线AP 引 垂线，垂足分别为D ，E ，M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1） 4、 (2) 依题意补全图1； 求证： ._ - ___ ； 如图2,若射线」平分—…，且 .......... 二，求证：— . 團1 (3) C 图2 A

6、如图，已知在厶ABC 内，―一…:，—一 ，P 、Q 分别在BC 、CA 上, BQ 分别是/ BAC 、/ ABC 的角平分线，求证： - — ? 7、如图，在四边形ABCD 中, AC 平分 ______ ，二_一于E .设'畐 —?,— ….求―的余弦值及AC 的长. 8、已知等腰—亠一「，一1"的平分线交」「于「求证：匸」一 …. 9、（ 2014初二上期末房山区）在 △ ABC 中，—… -，一— …，点D 是线 并且AP 、

遇角平分线常用辅助线

第一章遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法: 一?点在平分线，可作垂两边 ?角边相等，可造全等 ?平分加平行，可得等腰形 四?平分加垂线，补得等腰现 ?点在平分线，可作垂两边 角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等. 如图，若OP是/ AOB角平分线，PE± OA可过 则可用结论有：（1）PF=PE (2)证得△ OPF^A OPE (3)证得OF=OE 例1.已知如图，在△ ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB，CD=，BD=，求AC . D E 例2.已知如图，AB//CD，BE平分/ ABC，CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD .

邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD 如图，若0P是/ AOB平分线，过P点作0B平行线交0A于E点, 可用结论：证得厶EOP是等腰三角形. 如图，若AD是/ BAC平分线，过C点作AB平行线交直线AD于E点, 可用结论有：（1）证得△ EOP是等腰三角形; (2)证得△ CDE^A ADB (3) AB BD AC CD 2.过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形. 如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E,作OP平行线交OA于点F，则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形; （2）证得/ E=1/AOB 2 例3 ?已知如图，在△ ABC A 中(AB AC), D、E 在~BC 上，且DE=§C，过 D 作DF//BA 交AE 于点F, DF=AC，求证：AE平分/ BAC . 邦德点拨：过C点作AB平行线交AE延长线于点G 则/ G=Z BAE,接下只需证/ G=Z CAE 练习3?已知如图，过△ ABC的边BC的中点D作/ BAC的平分线AG的平行线，交延长线于点E、D、F.求证：BE=CF . A 、BC CA的 四.平分加垂线补得等腰现 从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形. 如图，若OP是/ AOB平分线，EP丄OP,则可延长EP交OB于F点, B E C G 可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形; C D G F B (2) P是EF中点.

全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全 一、角平分线类辅助线作法 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种： 1.角平分线上点向角两边作垂线构全等： 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2.截取构全等 利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3.延长垂线段 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。 通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 图一图二 图三图四

典型例题精讲 【例1】 如图，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且DB DC =。求证：BE CF = 【例2】 已知等腰ABC ?，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=． 【例3】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥， DB 是ABC ∠的平分线，求证：AD AB =。 【例4】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上． a) 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． b) 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系． 【例5】 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ． D C B A A B C D E D C B A F C D A B E 第6题图

有关角平分线的辅助线做法 含例题与分析

由角平分线想到的辅助线 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分 线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC B 图1-2 D B C

角平分线类辅助线作法

角平分线类辅助线作法 1、以上三种角平分线类辅助线的作法主要用来解决线段或者是角的数量关系问题注：、一些特征条件（例如角的倍数）需要用到主动翻折，利用轴对称的知识解决问题 2 例题精讲 已知：在四边形ABCD中，，，且，BD平分、1 ∠ABC，求 证：．

2、已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求 证：． 上．分别在、DAN、AM，AC、已知3平分∠MAN，点B 之间的数量关ACAB、、，请你探索线段1（1）如图，若AD系，并证明之； ）中的结论是否仍然成立？若成立，，若）如图（22，则（1给出证明；若不成立，请说明理 由．

4、（2015中考怀柔二模）在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引 垂线，垂足分别为D，E，M为BC边中点，连接MD，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：； 平分，且23（）如图，若射线，求证：. ．中，，AD平分∠BAC，求证：如图，在△5、ABC

6、如图，已知在△ABC内，，，P、Q分别在BC、CA上， ．的角平分线，求证：ABC、∠BAC分别是∠BQ、AP并且 ，，中，AC平分于E．设 7、如图，在四边形ABCD

的长．．求AC的余弦值及， ． 8求证：，于的平分线交，已知等腰、， 是线ABC中，，，点D△9、（2014初二上期末房山区）在1与，于EDE，BE段BC 上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥ACB?EBA??2AB相交于点F． （1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证

明； （2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理 由． 10、已知：，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D． （1）PC和PD的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结 论． 11、如图1所示：，AE、DE分别平分和，并交于E点.过 点E的直线分别交AM、DN于B、C. （1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____. .

有关角平分线的辅助线做法含例题与分析

由角平分线想到的辅助线 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、 DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分 图1-1 B 图 1-2 D B C

使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方 法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BA C ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差 倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短 的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE =2CE A B C 图1-4 A B C

全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全

与角平分线有关的辅助线作法大全 一、角平分线类辅助线作法 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种： 1.角平分线上点向角两边作垂线构全等： 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2.截取构全等 利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3.延长垂线段 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。 通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 图一图二 图三图四

典型例题精讲 【例1】 如图，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且DB DC =。求证： BE CF = 【例2】 已知等腰ABC ?，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=． 【例3】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥， DB 是ABC ∠的平分线，求证：AD AB =。 【例4】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上． a) 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． b) 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系． D C B A A B C D E D C B A F C D A B E 第6题图