全册：华东师大版九年级数学上册全册教案

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二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a≥02=a（a≥0），（a≥0）．

（3）掌握（a≥0，b≥0；

a≥0，b>0a≥0，b>0）．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点

1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）

（a≥0）?及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对a≥02＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．

二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1

．重点：形如a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2

．难点与关键：利用“a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=3

x

，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是

___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

A

C

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以

，所以所

求点的坐标（

问题2：由勾股定理得

问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知

很明显，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的

a ≥0）?的式子叫做二次根

式，“

（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，、1

x

x>0）、

、、

1

x y

+x ≥0，y?≥0）．

分析0．

（x>0、x ≥0，y ≥0）；不是二次根

式的有：1

x

、、1x y +．

例2．当x 在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x ≥1

3

当x ≥1

3

三、巩固练习

教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展

例3．当x 1

1

x +在实数范围内有意义？

分析：11x +在实数范围内有意义，0和11

x +中的x+1≠0．

解：依题意，得230

10

x x +≥??+≠?

由①得：x ≥-3

2

由②得：x ≠-1

当x ≥-32且x ≠-1+1

1

x +在实数范围内有意义．

例4(1)已知，求

x

y

的值．(答案:2)

(2)若=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:2

5

)

五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1．形如a ≥0

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

选用课时作业设计．

二次根式的乘除法

1.二次根式的乘法

【知识与技能】

理解b a ?=ab （a ≥b ，b ≥0）,并利用它们进行计算和化简. 【过程与方法】

a?=ab（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.

由具体数据发现规律，导出b

【情感态度】

a?=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察通过探究b

发现能力，激发学生的学习兴趣.

【教学重点】

b

a?=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.

【教学难点】

a?=ab（a≥0,b≥0）.

发现规律，导出b

一、情境导入，初步认识

1.填空：

参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.

2.利用计算器计算填空.

a?=ab（a≥0,b≥0）.

【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b

二、思考探究，获取新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.

教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.

一般地，对二次根式的乘法规定为

b

a?=ab（a≥0，b≥0）.：

【教学说明】引导学生应用公式

a?=ab（a≥0,b≥0）.

b

三、运用新知，深化理解

1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）

A.32cm

B.33cm

C.9cm

D.27cm

【答案】1.B 2.C 3.A 4.D

【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.

四、师生互动，课堂小结

1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

a?=ab（a≥0,b≥0）.

2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b

【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

a?=ab（a≥0,b≥0），并学会它的应这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b

用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.

积的算术平方根

【知识与技能】

a?（a≥0,b≥0）；

1.理解ab=b

a?（a≥0,b≥0）.

2.运用ab=b

【过程与方法】

a?（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.

利用逆向思维，得出ab=b

【情感态度】

让学生推导ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生准确解题的能力. 【教学重点】

ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）及其运用.

【教学难点】

ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）的理解与应用.

一、情境导入，初步认识

一般地，对二次根式的乘法规定为b a ?=ab （a ≥0,b ≥0）.反过来，ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）.

【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）.

二、思考探究，获取新知 例1化简：

【教学说明】引导学生利用ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）直接化简即可. 例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:

【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0. 三、运用新知，深化理解

1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.

2.自由落体的公式为s=

2

1gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2

），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.

【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳. 四、师生互动，课堂小结

1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即

ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.

二次根式的除法

【知识与技能】 1.理解

b a b a =（a ≥0,b ＞0）和b

a

b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.

3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【过程与方法】

1.先由具体数据，发现规律，导出

b a

b

a = (a ≥0,

b ＞0），并用它进行计算. 2.再利用逆向思维，得出

b

a

b a =

（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【情感态度】 通过探究

b a b a =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导b

a b a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.

【教学重点】 1.理解

b a b a =（a ≥0,b ＞0），b

a b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简. 2.最简二次根式的运用. 【教学难点】

发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.

一、情境导入，初步认识

（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：

3.利用计算器计算填空：

【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知

刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：

b a

b

a =（a ≥0,

b ＞0） 反过来,

b

a

b a =

（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：

【教学说明】 直接利用

b a

b

a （a ≥0,

b ＞0） 例2化简：

观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点： （1）被开方数中不含分母；

（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.

【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.

三、运用新知，深化理解

1.化简：

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.

四、师生互动，课堂小结

请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.

22.3 二次根式的加减法(1)

第一课时

教学内容二次根式的加减

教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学方法 三疑三探 教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探（学生活动）：计算下列各式．

（1） （2）

（3 （4）

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合探1．计算

（1 （2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

合探2．计算

（1） （2）+

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展

已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（2

3

+y -（x ）的值．

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=

1

2

，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值． 五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、作业设计 一、选择题

1 ）．

A ．①和②

B ．②和③

C ．①和④

D ．③和④

2．下列各式：①17

=1，其中错误的

有（ ）．

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个 二、填空题

1．在8、1753

a 、293

a 、125、323a a 、30.2、-2

18

中，与3a 是同类二次根式的有

________．

2．计算二次根式5a -3b -7a +9b 的最后结果是________． 三、综合提高题

1．已知5≈2.236，求（80-415）-（135+4455）的值．（结果精确到0.01）

2．先化简，再求值． （6x

y

x

+33

xy y

）-（4x

x y

+36xy ），其中x=32

，y=27．

教后反思：

九年级上第23章第1节一元二次方程知识拓展

历史上的一元二次方程

含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为

一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中：求出一个数，使它与它的倒数之和等于一个已知数，即求出这样的 从这两个条件得出

关于 的一元二次方程

他们先求出，再求出，然后得出解答:

由此说明巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式，只是当时他们没有接受负数，所以负根是略而不提的．

埃及的《纸草文书》中也涉及到最简单的二次方程如

希腊的丢翻图（246－330）只承认二次方程的一个正根，即使两根都是正的他也只取一个． 印度的婆罗摩及多公元628年写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程 的一个求

根式

阿尔·花拉子模的《代数学》中（讨论方程的根法，解出了一次、二次方程，但保留了六种不同的形式，如

等，且让 、 、总是正数．在把二

次方程分成不同形式这一点上是照丢番图那样做的），给出了一元二次方程的几种特殊解法，并第一次给出了一元二次方程的一般解法．他承认方程有两个根，还允许有无理根存在，只是还未认识虚根．复数根的运用是十六世纪意大利的数学家们从解一元二次方程中开始的．法国数学家韦达（1540－1603）已经知道一元二次方程在复数范围内一定有解，并且发现了根与系数的关系．

我国对一元二次方程的研究历史悠久，我国在公元前4、5世纪时也掌握了一元二次方程的求根公式．《九章算术》中“勾股”第二十题就是通过相当于求方程的正根而解决的．《张邱建算经》中，包含了一个用文字写出的相当于的方程．

方程之先祖

方程是一个庞大的家族，具有悠久的历史，它的发展由来已久.人类最古老的方程是在古埃及的《兰

特纸草书》里面用古体象形文字写成的，用现代代数语言来叙述是：“有一个未知数，它的和它的本身一共是37，问该未知数是多少？”这个方程现在看起来很简单，而实际上这是一道三千多年前的一元一次方程，可以说是目前已知的人类最原始、最古老的方程了.当然这道题很容易解：设该未知数为x，

则根据题目条件可得到，即：.

∴

1893年俄国收藏家哥连尼雪夫从埃及又得到一本古埃及的纸草书，起名叫做《莫斯科纸草书》，书中有两道一元二次方程题.

【例1】某长方形的面积为12，其宽是长的，求其长和宽.

解：设长方形的长是x，则宽是.根据长方形的面积公式，可得：即

【例2】某直角三角形的一条直角边是另一条直角边的倍，其面积为20，求其两个直角边之长.

解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为2x，根据直角三角形面积公式，可得

这两道题实际上都是非常简单的一元二次方程，但它们是最原始、最古老的一元二次方程，是一元二次方程的先祖.

易错题解析

不少同学在解决一元二次方程有关问题时，忽视隐含条件、思考不周而导致各种各样的缺误，下面分类剖析一下错解的原因，希望同学们引以为戒．

一、

忽视方程的同解性

例１．解方程：)1(3)1(2

+=+x x 错解：由原方程得：x+1=3 ∴x=2．

剖析：上面的解法错在方程的两边同除以为零的x+1，违背了方程的同解原理，造成失根． 正确的解法为；0)1(3)1(2

=+-+x x ，(x+1)(x －2)=0，∴2,121=-=x x ．

二、

忽视方程的定义

例１．已知一元二次方程0)12(22

=+--k k kx 有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是 ．

错解：令△＝2

24)12(k k --＞０，即－4k+1＞0，解得41

1

剖析：这里忽视了二次项系数o k ≠的隐含条件．

故本题的正确答案为：4

1

<

k 且o k ≠． 三、

忽视有根的前提条件

例３．关于x 方程012)2(2

=+++-k x k x 的两实数根为1x 与2x ，若112

22

1=+x x ，

求实数k 的值．

错解：由根与系数的关系得：12,22121+=+=+k x x k x x ．∵ 2

212

221)(x x x x +=+－

２21x x ＝１１，∴11)12(2)2(2

=+-+k k ，∴092

=-k ，解得：3±=k ．

剖析：关于x 的二次方程的两实数根的平方和为１１，首先要保证它有实数根为前提．所以，此解忽视了判别式△≥０这一隐含条件．本题中，当k=3时，原方程为0752

=+-x x ， △ ＝－３＜０，故只取k=－3．

四、忽视方程根多样性

例４．已知实数a 、b 满足条件025,0252

2

=+-=+-b b a a ，则

=+a

b

b a ． 错解：由已知条件可知，a 、b 为方程0252

=+-x x 的两根，∴a+b=5，ab=2， =+a

b b a

2

21

22252)(22=?-=-+ab ab b a ．

剖析：本题就a 、b 的关系有两种情况：一是a 、b 为方程0252

=+-x x 的两根，此时

△ ＞０．可知a ≠b ．二是a=b 同样能使已知两式同时成立．而上述解法只考虑了a ≠b 的情形，却忽视

了第二种情况a=b ．当a=b 时，=+a b

b a ２． 本题的正确解答为：当a ≠b 时，=+a b b a 2

21；当a=b 时，=+a b

b a ２．

五、忽视方程根的符号

例5．已知一元二次方程0152

=++x x 的两根为21,x x ，求

2

1

12

x x x x +的值． 错解：由根与系数的关系，得31

,352121=-=+x x x x ，所以原式＝2

211

21x x x x x x +

＝

33

5

212

12

1-

=+x x x x x x ． 剖析：∵31

,352121=-=+x x x x ，∴0021<

21

1

2x x x x +≠2

211

21x x x x x x +，因此，

原式＝2

211

21x x x x x x -

-

＝－

33

5

212

12

1=

+x x x x x x ． 六、忽视条件的等价性

例６．若一元二次方程0562

=-+-m x x 的两实数根都大于２，求m 的取值范围．

错解：设方程的两实数根为21,x x ，则m x x x x -==+5,62121，∵2,221>>x x ，所以

?????>>+≥?4402121x x x x ，即??

?

??>->≥--454

60)5(436m m ，解得－４≤m ＜１． 剖析：由2,221>>x x ，可以推出4,42121>>+x x x x ，但反过来，由4,42121>>+x x x x 却推不出

2,221>>x x ，即它们之间不等价．两实数根都大于２的充要条件是△≥０且

0)2()2(21>-+-x x 且0)2)(2(21>--x x ，解得－４≤m ＜－３．

七、忽视隐含条件

例７． 已知关于x 的方程=-+--112)21(2

x m x m ０有两个不等的实根，求m 的取值范围．

错解：∵方程有两个不等的实根，∴△＝0)21(4)12(2

>-++-m m ，得m ＜2．

又∵1－２m ≠0，∴m ≠

2

1． 剖析：本题求解时注意了a 及△，但忽视了1+m 这一隐含条件下：m+1≥0． 故正确的答案应是－1≤m ＜2且m ≠2

1．

23.3 实践与探索(二)

教学目标：

1.使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型.

2.让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程.

3.通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神. 重点难点：

1.重点：列一元二次方程解决实际问题.

2.难点：寻找实际问题中的相等关系. 教学方法：三疑三探 教学过程：

一、设疑自探（考考你）

1.有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的2

7

，

求这个两位数.（这个两位数是63）

2.如图，一个院子长10cm ，宽8cm ，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度.（花圃的宽度为1m ）