恒定电流的磁场
潍坊科技学院教案
课程名称：大学物理（一）授课人：郑海燕
19
电流电流密度
电流就是带电粒子（载流子）的定向运动。
正电荷的运动方向规定为电流的方向。电流还可以分为传导电流和运流电流两种类型。传导电流是指在导线中的电流，其载流子在导体上的每个局部区域都是正负抵消的，是电中性的；而运流电流是指裸露的电荷运动，由于电荷是裸露的，它周围有电场存在。
描述电流的物理量主要有两个：电流强度和电流密度。电流强度描述在一个截面上电流的强弱。电流强度定义为单位时间内通过导体中某一截面的电量。如果在dt时间内通过导体某一横截面S的电量
为dq，则通过该截面的电流强度为
国际单位制中，电流强度单位是安培(A)。1A=1C/s。电流强度是标量，电流强度没有严格方向含义。
电流密度矢量j
电流密度j的方向和大小定义如下：在导体中任意一点，j的方向为该点电流的流向，j的大小等于通过该点垂直于电流方向的单位面积的电流强度（即单位时间内通过单位垂面的电量）。
如下图(a)所示，设想在导体中某点垂直于电流方向取一面积元dS，其法向n取作该点电流的方向。
如果通过该面积元的电流为dI，按定义，该点处电流密度为
在导体中各点的j可以有不同的量值和方向，这就构成了一个矢量场，叫做电流场。象电场分布可以用电场线形象描绘一样，电流场也可用电流线形象描绘。所谓电流线是这样一些曲线，其上任意一点的切线方向就是该点j的方向，通过任一垂直截面的电流线的数目与该点j的大小成正比。
电流密度能精确描述电流场中每一点的电流的大小和方向，其描述能力优于电流强度。通常所说的电流分布实际上是指电流密度j的分布，而电流强弱和方向在严格意义上应指电流密度的大小和方向。
如下图所示(b)，一个面积元dS的法线方向与电流方向成角，由于通过dS的电流dI与通过面积
元的电流相等，所以应有
(a) (b)
电流密度的定义
若将面积元dS用矢量dS=dS?n表示，其方向取法线方向，则上式可写成
这便是通过一个面积元dS的电流强度dI与dS所在点的电流密度j的关系。于是我们可以得到，
通过导体中任意截面S的电流强度I与电流密度j的关系是
从电流场的观点来看，上式表示，截面S上的电流强度I等于通过该截面的电流密度j的通量。
电动势的定义
一个电源通过非静电力做功的本领可用电源电动势来描述。电源电动势定义为把单位正电荷由电源
负极经电源内部输送到电源正极非静电力所作的功。
在输运一个载流子的过程中，非静电力作功为
故有
即电源电动势为非静电性场强由电源负极到正极的线积分。上式也常作为电源电动势的定义。在上述意义上，电源电动势只有大小，没有方向。在实际工作中常提到电动势的方向，通常是指非静电力作正功的方向，即由电源负极指向正极。电源电动势是是非静电性场强的积分，它只取决于电源本身的性质，而与工作状态无关。有时在一段电路上有多个电源，这时电路上的电动势是一个串联的结果。在电路的计算中，为了方便，通常我们要设定一个电路的计算方向l，作为一个参照方向来描述电流或电压等物理量的方向，例如，若电流I沿l方向，我们说，I是正的，反之，则是负的。对于电路中的电动势，我们也作同样的约定：若电动势的方向与l相同，我们说电动势是正的，反之则是负的。如上图(a)
中，沿l方向的电动势为
利用电动势的定义式，也可记作
或
即沿l方向的电动势为非静电场强沿l的线积分。显然，积分只在电源内部存在非静电场的区间进行。上式普遍成立，它不仅适用于分离电源，也适用于连续性分布电源，通常我们把上式作为电动势的一般定义式。
若我们考察的电路是一个已设定参照方向为l 的回路，见上图(b)。这相当于把图(a)的电路中的a
端和d 端连接，则回路电动势为
即非静电性场强沿回路方向的线积分。沿电路或回路的电动势可能是正的，也可能是负的。顺便提一下,负电动势不一定是反电动势。负电动势是指电源电动势的方向和电路计算中设定的参考方向相反，而反电动势是指电源电动势的方向和电流的方向相反，即电源处于充电状态。电动势的单位和电势的单位相同，为伏特(V) 磁场
1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。
2、磁场的主要表现：
（1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。（2）功的表现：磁场对载流导体能做功。 3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。 磁感应强度
为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。
下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。设E 、V 、F
为电荷电量、速度、受磁场力。实验结果为：1、q F ∝，V F ∝；
2、F 与V 同磁场方向夹角有关，当V 与磁场平行时，F
=0；当V 与磁场垂直时，max F F =。如V 、
磁场方向在x 、y 轴上，则max F 在z 轴上。可知，qV F ∝max ，可写成：BqV F =max 。 可知：B 是与电荷无关而仅与O 点有关即磁场性质有关的量。
定义：B 为磁感应强度，大小：qV F B max
=，方向：沿V F ?max 方向（规定为沿磁场方向）。
说明：（1）B 是描绘磁场性质的物理量，它与电场中的E
地位相当。
（2）B 的定义方法较多，如：也可以从线圈磁力矩角度定义等。（3）SI 制中，B 单位为T （特斯拉）。
磁感应线
在描述电场时，引进了电力线这一辅助概念，在描述磁场中，我们也可以引进磁力线这一辅助概念。
1、B
：方向，某点磁力线切向方向为B 的方向。 大小，规定某处磁力线密度=B 。 设P 点面元s d 与B 垂直，m d Φ为s d 上通过的磁力线数，则磁力线密度ds
d m Φ，即有：
B ds d m =Φ， 可知：B 大处磁力线密；B 小处磁力线疏。 2、磁力线性质
（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。
（2）磁力线不能相交，因为各个场点B
的方向唯一。
磁通量
定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用m Φ表示。
1、B
均匀情况
(1)平面S 与B
垂直，如图所示，可知（根据磁力线密度定义） BS m =Φ
（2）平面S 与B 夹角θ，如图所示，可知： )n S S (S B c o s BS BS m
=?===⊥θΦ
2、B
任意情况
如图所示，在S 上取面元ds ，ds 可看成平面，ds 上B 可视为均匀，n 为s d
法向向量，通过ds 的
磁通量为s d B m ?=Φ，通过S
对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故0=Φm ，
果来接受，但是可以从磁场的基本定律和场的迭加原理严格证明。 磁通量单位：SI 制中为Wb （韦伯）。
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毕奥——萨伐尔定律
一、电流元 电流元的磁场
假设在导线上沿电流方向取l d
，这个线元很短，可看作直线，又设导线中电流为I ，
则l Id
称为电流元，如下图所示，
l Id 在P 点产生的磁感应强度为B d ：B d 大小：与l Id 成正比，与l d 与r （从电B d 流
元到P 点的矢量）的夹角正弦成正比，B d 与r 大小的平方成反比，即
2sin r Idl dB θ
∝，
可写成
2s i n r I d l K
dB θ=。
K 与磁介质和单位制选取有关。对于真空和国际单位制，
πμ40
=
K ，其中
2
70/104A N -?=πμ（称为真空磁导率），
2
sin 4r Idl dB o θπμ=
?，B d 方向：沿r l Id ?方向。
304r r l Id B d
?=
πμ （矢量式）此式是毕奥——沙伐尔定律的数学表达式。 说明： （1）毕奥——沙伐尔定律是一条实验定律。
（2）l Id
是矢量，方向沿电流流向。
（3）在电流元延长线上0=B d
。
（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在P 点产生的B
为
30
4r r l Id B d B l
?==??πμ
二、磁场计算
例1图 例2图 例3图
例1：设有一段直载流导线，电流强度为I ，P 点距导线为a ，求P 点B =？
解：如图所示，在AB 上距O 点为l 处取电流元l Id ，l Id 在P 点产生的B d
的大小为
20s i n 4r I d l dB θπμ=
， B d 方向垂直指向纸面（r l Id ?方向）。同样可知，AB 上所有电流元在P 点产生的B
d
方向均相同，所以P 点B
的大小即等于下面的代数积分
20sin 4r Idl dB B AB θπ
μ??=
=， 统一变量，由图知 θθπs n i a
a r =
-=
)s i n (，θθπactg actg l -=-=)(
θθθθθθd a
d a d a dl 2
22sin csc )csc (=
=-?-=
??=?=
?2
1
2
1
sin 4sin sin sin 402
220
θθθθθθπμθθ
θθπ
μd a I a d a
I
B )cos (cos 4210θθπμ-=a I ，B 垂直指向纸面。
讨论：（1）∞→AB 时，01=θ，πθ=2，
a I B πμ20=
。
（2）对无限长（A 在O 处），
21π
θ=
，πθ=2，a I
B πμ40=
。
强调：（1）
()210cos cos 4?θπμ-=
a I
B 要记住，做题时关键找出a 、1θ、2θ。
（2）1θ、2θ是电流方向与P 点用A 、B 连线间夹角。
例2：如图所示，长直导线折成
120角，电流强度为I ，A 在一段直导线的延长线上，
C 为
120角的平分线上一点，AO=CO=r ，求A 、C 处B 。
解：任一点B
是由PO 段和OQ 段产生的磁感应强度1B 、2B 的迭加，即21B B B +=，A 处=A B
？
A 在OQ 延长线上，∴02=
B 。即1B B A
= A B ：垂直指向纸面
A B 大小：)
cos (cos 42101θθπμ-==a I B B A ，
在此 ?????
??=-=====
12002360sin 21夹角与夹角与OA OP PO PA r a πθθ，r I r I B A 000043)120cos 0(cos 32μππμ=
-=?。
（2）C 点的c B =？21B B B c
+=
由题知，21B B
=（大小和方向均相同）有22B B c = c B 方向垂直纸面向外，
c B 大小为：)cos (cos 4222101θθπμ-?==a I B B c
在此 ???
??
??=-=====
120023
60sin 21夹角与夹角与OC OP PO PC r r a πθθr I rr I B C 0023432μππμ=
?=?。 例3：如图所示，一宽为a 的薄金属板，其电流强度为I 并均匀分布。试求在板平面
内距板一边为b 的P 点的B
。
解：取P 为原点，x 轴过平板所在平面且与板边垂直，在x 处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生
B d 的方向为：垂直纸面向外，大小为 x dx
a
I
x
dI dB πμπμ2200=
=（均匀分布）
所有这样窄条在P 点的B d 方向均相同，所以求B
的大小可用下面代数积分进行：
a a
b a I ax Idx dB B b
a b
+===?
?+ln 2200πμπμ。
强调：（1）无限长载流导线产生磁场
a I
B πμ20=
。（2）迭加方法要明确。
例4图 例5图
例4：如图所示半径为R 的载流圆线圈，电流为I ，求轴线上任一点P 的磁感应强度B
。
解：取x 轴为线圈轴线，O 在线圈中心，电流元l Id 在P 点产生的B d
大小为
)2(4s i n 42
020π
θπμθπμ===
r I d l r I d l dB
设⊥l d 纸面，则B d 在纸面内。B d
分成平行x 轴分量//B d 与垂直x 轴分量⊥B d 。在与l
Id 在同一直径上的电流元'l Id 在P 点产生的//'B d 、⊥'B d ，由对称性可知，⊥'
B d 与⊥B d 相抵消，
可见，线圈在P 点产生垂直x 轴的分量由于两两抵消而为零，故只有平行x 轴分量。
0=⊥B
2
3)(2244s i n 4c o s 4c o s 2220302020202020
2
0//R x IR R r IR r R r dl I r dl I r
Idl
dB B B R R R
+=?=?=====???
?μππμπμβπμαπμαπππ B 的方向沿x 轴正向。
讨论：（1）x=0处，
πμ20I
B =
。
（2）x>>R ， 3202πμI R B =
。（3）线圈左侧轴线上任一点B 方向仍向右。
强调：N 匝线圈：(
)
2
322
202R x NI
R B +=
μ。
例5：载流螺线管的磁场。已知导线中电流为I ，螺线管单位长度上有n 匝线圈，并且
线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的B
。
解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距P 点为x 处取长为dx ，
dx 上含线圈为ndx 。因为螺线管上线圈饶得很密，所以，dx 段相当于一个圆电流，电流强
度为Indx 。因此宽为dx 的圆线圈产生的B d 大小为：2
323)(2)(222202220
x R Indx
R x R dI R dB +?=+=μμ。
所有线圈在P 点产生的B d
均向右，所以P 点B 为
??
?+=
+?
==AB
AB
R x dx In
R R x dx
In
R dB B 2
12
1
)(2
)(2
22202220μμ，
???-==θθθ
d R dx Rctg x 2csc ，
)c o s (c o s 2
s i n 1
2c s c c s c 2120220332202
1
21
θ
θμθθμθθθμθθ
θθ-=
-?=-=???In
d R In R R d R In R B 。
讨论：螺线管无限长时，πθ=1，02=θ，const In B ==0μ。半无限长：如B 在无穷
远处，A 轴线上的一点有21πθ=，02=θ，nI
B 021
μ=?。
练习
：
如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为1R 、2R 的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为I 。
求c 圆心O 处0B ＝？(2)若小半圆绕AB 转 180，此时O 处0'
B ＝？
答案解：由磁场的迭加性知，任一点B
是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度
矢量和。此题中，因为O 在直线段沿长线上，故直线段在O 处不产生磁场。
(1)0B
＝？
小线圈在O 处产生的磁场大小为：100221R I
B μ=
小（每长度相等的圆弧在O 处产生的磁场大小相同）
；
方向：垂直纸面向外。
大线圈在O 处产生的磁场大小为：
200221R I
B μ=
大；方向：垂直纸面向里。
]
11
[421
0000R R I B B B -
=
-=?μ大小方向：垂直纸面向外。
(2)0'
B ,可知???==大
大小小0'00'0B B B B ，
小0'B 、大0'B 均垂直纸面向里。
]11[421000'0R R I B B B +=+==>μ’
大
‘小方向：垂直纸面向里。
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磁场高斯定理
由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，可以想象，对于磁场中任一闭合曲面来说，有多少条磁感应线穿进闭合曲面，必有多少条磁感应线穿出闭合曲面。所以通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。即
这个结论叫做磁场高斯定理。磁场高斯定理是磁感应线是闭合曲线这一磁场的重要性质的数学表示。也是磁场无源性的数学表达。
安培环路定律
1、闭合电线L 内有电流情况
设L 为平面闭合曲线，所在平面与纸面垂直，直导线在纸面内并垂直L 所在平面，如图（a ）所示，
（b ）为俯视图。在L 上取一线元l d ，a 、b 为始、终点，oa 和ob 的夹角为?d ，oa=r ，在a 处B
的大
小为r I B πμ20=，B 的方向如图所示（B 在纸面内）??=?L L cos Bdl l d B θ
设c 是B 与ab 交点，所以?d 很小，
90=∠acb ，
I
rd r
I Brd l d B L 0200
202μ?πμ?ππ=?==????? ，
当积分方向反向时，0
μ)I (l d B L
-=??
，即
I
l d B L
0μ±=??
。
当积分绕向与I 的流向遵守右手螺旋定则时，上式取“+”，此时，可认为电流为正；当积分绕向与I 的流向遵守左手螺旋定则时，上式取负号，此时可认为电流为负。
2、闭合曲线L 不包含电流情况
把上面长直导线平移到L 外，则（b ）图可表示如下：仍有
0][222cos 000=+=
=
==
=????????→→→→a
f e e d a L
L
d d I
d I
rd r I
Brd Bdl l d B 角度角度角度
角度
角度??πμ?π
μ?πμ?θ
结论：L 不包围电流时0
=??l d B L
。
3、在l 中有n 条平行导线情况
∑?????=?++?+?=?+++=?内
L L
n L
L
L
n L
I
l d B l d B l d B l
d B B B l d B 02121)(μ
，即
∑?=?内
L L
I
l d B 0μ
此式即为安培环路定律的表达式。它表明：B 沿一个回路积分等于此回路内包围电流的代数和的
0μ倍。
说明：（1）如果l 不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。
（2）∑?=?内
L L
I
l d B 0μ
，说明了磁场为非保守场（涡旋场）。
（3）安培环路定律只说明l
d B L ??仅与L 内电流有关，而与L 外电流无关。对于B 是l 内外所有
电流产生的共同结果。
例1图 例2图
例1：求下列情况l
d B L
??=？
解：由安培环路定律有：0
0μμ==?∑?内
L L
I l d B
)2(12I I -。
例2：有一无限长均匀载流直导体，半径为R ，电流为I 均匀分布，求B 分布。
解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆周，在每一个圆周上B 的大小是相同的。
（1）导体内P 处P B
=？
过P 点做以a 为圆心半径为a r 的圆周，aP 与轴垂直，安培环路定律为∑?=?内
11
0L L I
l d B μ
（取过P 点的一电力线为回路1L ）
可知
P
L L L L r B dl B Bdl cos Bdl l d B π201
1
1
1
?====????? ,
22
02200][1R r I r R I I P P L μππμμ=?=∑内 2202R r I r B P P μπ=??即P P r R I B 202πμ= 。
方向如图所示（与轴及
P r 垂直）
。 （2）导体外任一点Q 处Q
B =？
过Q 点做以O 为圆心，
Q
r 为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律为：
∑?=?内
22
0L L I
l d B μ
可有：
Q
L r B l d B π22
?=?? ，
I
I L 002μμ=∑内
，
Q
Q r I
B πμ20=
。
Q
B 方向如图所示（与轴线及P r 垂直）。
例3：如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆
形线圈，形成螺线管。设环上导线共N匝，电流
为I，求环内任一点B
=？
例3图例4图
解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的B的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取P 所在磁力线为积分路径l，
∑
?=
?
内
l
l
I
l d
B
2
μ
可知：
Bl
dl
B
cos
dl
B
l d
B
l
l
l
=
=
=
??
?
?00
，
NI
Bl
NI
I
l
μ
μ
μ=
?
=
∑
内
即l
NI
B0
μ
=
，l
NI
B
P
μ
=
，方向在纸面内垂直OP.
讨论：（1）因为r不同时，l不同，所以不同半径r处B
大小不同。
（2）当L表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点B的大小为
nI
L
NI
B
0μ
μ
=
=
，L
N
n=
为单位长度上的匝数。
（3）如果环外半径与内半径之差<<环中心线的半径R时，则可认为环内为均匀磁场（大小），即大小均为
nI
L
NI
B
0μ
μ
=
=
。
（4）环形螺线管中结果与无限长直螺线管中心轴线上B
的大小相同。
课堂小结：与应用高斯定理求场强一样，并不能由安培环路定律求出任何情况下的磁感应强度,能够计算出B
的要求磁场满足它的对称性。在具有一定对称性的条件下，适选积分回路，才能计算出B
的值。运用安培环路定律时的程序如下：
（1）分析磁场的对称性；（2）适选闭合回路（含方向）；
（3）求出
?
l d
B
L
=
?
?
，
?
I
L
=
∑
内
μ
（4）利用
∑
?=
?
内
L
L
I
l d
B
μ
,求出B
的值。
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22
洛伦兹力
运动电荷在磁场中所受磁力叫洛伦兹力。实验证明，一个运动电荷q在磁场中所受磁力F与电荷的电量q、运动速度v以及磁感应强度B有如下关系：
上式表示的磁场对运动电荷的作用力，上式也叫做洛伦兹公式。其中，F的大小为
式中θ是v与B间的夹角。显然，当θ为0或π时，洛伦兹力为零。
洛伦兹力F的方向垂直于v与B决定的平面，指向与q的正负有关，当q为正电荷时，F的指向为矢积v×B的方向，当q为负电荷时，F的指向与矢积v×B的方向相反，如图所示。
若运动电荷的速率和磁感应强度的大小一定，在电荷速度的方向垂直于磁场时，运动电荷受到的磁
力将达到最大，即有，这正是磁感应强度B的大小的定义式。
由于洛伦兹力总是与运动电荷的速度方向垂直，所以洛伦兹力永远不对运动电荷做功，它只改变电荷运动的方向，不改变其速率。这是洛伦兹力的一个重要特性。
【例1】两质子在同一平面内的a、b两点沿相反方向运动，如下图所示。设，
，求它们距离为r=10–6m的瞬间，两质子间的电力和磁力。
【解】
根据库仑定律可得两质子间的电力大小为
Fe沿两质子的连线方向，且为排斥力。
为了求两质子间的磁力，可先求质子a在质子b处产生的磁感应强度，其大小为
的方向垂直纸面向外。
由洛伦兹公式得质子b受到的磁力大小为
的方向水平向右。
同理可得质子a受到的磁力大小为，方向水平向左。
与大小相等，方向相反，但注意它们作用线不在同一直线上。这表明运动电荷之间的磁相互作用不满足牛顿第三定律。
霍尔效应
如图所示，将一载流导体板放在磁场中，若磁场方向垂直于导体板并与电流方向垂直，则在导体板的上下两侧面之间会产生一定的电势差。这一现象叫做霍尔效应，所产生的电势差叫做霍尔电压。
实验表明，霍尔电压与导体中电流I及磁感应强度B成正比，与导体板的厚度d成反比。即
式中比例系数RH叫做霍尔系数，取决于导体的电学性质。
磁场对载流导体和载流线圈的作用
安培定律
实验表明，载流导体在磁场中受磁场的作用力，而磁场对载流导体的这种作用规律是安培以实验总结出来的，故该力称为安培力，该作用规律称为安培定律。
如图所示，AB 为一段载流导线，横截面积为S ，电流为I ，电子定向运动速度为V
，导体放在磁
场中，在C 处取电流元l Id ，C 处磁感应强度为B ，方向向右，电流元中一个电子受洛仑兹力为
B v e f
?-=
设单位体积内有n 个定向运动电子，则电流元内共有运动电子数为nsdl ，电流元中电子受合力即电流元受力为
B l Id B l ensvd B
V )e (nsdl f nsdl F d
?=?=?-==，
即电流元受力B l Id F d
?=
此式为安培定律的数学表达式
方向沿方向：大小：B l d F d sin IBdl dF F
d ?=?
说明：（1）
??
?=0BIdl dF B
//l d B l d
⊥ 。
（2）对任意形状的载流导线和任意的磁场，B l Id F d
?=都成立。对于一段导线受力可表示为
???==L
B
l Id F d F
。
（3）如图所示，电流元11l d I 位于原点，方向沿+z ，22l d I
22l d I 在y 轴上，坐标为(0,y,0)，方向沿 +y 。11l d I 在22l d I
处产生的磁场为
恒定电流的磁场汇总
潍坊科技学院教案 课程名称：大学物理（一）授课人：郑海燕
19 电流电流密度 电流就是带电粒子（载流子）的定向运动。 正电荷的运动方向规定为电流的方向。电流还可以分为传导电流和运流电流两种类型。传导电流是指在导线中的电流，其载流子在导体上的每个局部区域都是正负抵消的，是电中性的；而运流电流是指裸露的电荷运动，由于电荷是裸露的，它周围有电场存在。 描述电流的物理量主要有两个：电流强度和电流密度。电流强度描述在一个截面上电流的强弱。电流强度定义为单位时间内通过导体中某一截面的电量。如果在dt时间内通过导体某一横截面S的电量 为dq，则通过该截面的电流强度为 国际单位制中，电流强度单位是安培(A)。1A=1C/s。电流强度是标量，电流强度没有严格方向含义。 电流密度矢量j 电流密度j的方向和大小定义如下：在导体中任意一点，j的方向为该点电流的流向，j的大小等于通过该点垂直于电流方向的单位面积的电流强度（即单位时间内通过单位垂面的电量）。 如下图(a)所示，设想在导体中某点垂直于电流方向取一面积元dS，其法向n取作该点电流的方向。 如果通过该面积元的电流为dI，按定义，该点处电流密度为 在导体中各点的j可以有不同的量值和方向，这就构成了一个矢量场，叫做电流场。象电场分布可以用电场线形象描绘一样，电流场也可用电流线形象描绘。所谓电流线是这样一些曲线，其上任意一点的切线方向就是该点j的方向，通过任一垂直截面的电流线的数目与该点j的大小成正比。 电流密度能精确描述电流场中每一点的电流的大小和方向，其描述能力优于电流强度。通常所说的电流分布实际上是指电流密度j的分布，而电流强弱和方向在严格意义上应指电流密度的大小和方向。 如下图所示(b)，一个面积元dS的法线方向与电流方向成角，由于通过dS的电流dI与通过面积 元的电流相等，所以应有 (a) (b) 电流密度的定义 若将面积元dS用矢量dS=dS?n表示，其方向取法线方向，则上式可写成
恒定电流的磁场(一)答案
一.选择题: ［D ］1. 载流的圆形线圈(半径a1)与正方形线圈(边长a2) 通有相同电流I．若两个线圈的中心O1、O2处的磁感强度大小相 同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 参考答案： 1 12a I B μ =) 135 cos 45 (cos 2 4 4 2 2 ? - ? ? ? = a I B π μ ［B］2.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点(如图)的磁感强度B 的大小为 (A) ) ( 2 b a I + π μ ．(B) b b a a I+ π ln 2 μ ． (C) b b a b I+ π ln 2 μ ．(D) ) 2 ( b a I + π μ ． 参考答案: 建立如图坐标,取任意x处宽度为dx的电流元 dI’=Idx/a, b b a a I x b a a Idx x b a dI B a+ = - + = - + =??ln 2 ) ( 2 ) ( 2 '0 π μ π μ π μ ［D］3. 如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面 处处相等的铁环上，稳恒电流I从a端流入而从d端流出，则磁感 强度B 沿图中闭合路径L的积分?? L l B d (A) I0μ．(B) I0 3 1 μ． (C) 4/ I μ．(D) 3/ 2 I μ． 参考答案: 设优弧长L1,电流I1, 劣弧长L2,电流I2 由U bL1c=U bL2c得I1ρL1/S= I2ρL2/S I1/I2=1/2 有I1=I/3, I2=2I/3 故 3 20I L d B μ = ? ? ［ B ］ 4. 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别 为a、b，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B 的 大小与场点到圆柱中心轴线的距离r的关系定性地如图所 示．正确的图是 参考答案: 由环路定理I L d B μ = ? ? 当r 第十一章 恒定电流的磁场 11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。 （1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。 （2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。 解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离为13 OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应 强度的大小为 012(cos cos )4πBC I B d μββ=- 00(cos30cos150)4π/3 4πI I h h μ??= -= 方向垂直于纸面向外。 另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的大小和方向都与BC B 相同。因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即 0033 4π4πBC I I B B h h === 方向垂直于纸面向外。 （2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式 012(cos cos )4πI B d μββ=- 可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为 01(cos0cos30)4cos60) I B R μ= ?-? π(0(12πI R μ= 031(cos150cos180)4πcos60 I B B R μ?== ?- ?0(12πI R μ= I B 图11–2 图11–1 （a ） A E （b ） 第十一章 稳恒磁场习题 （一） 教材外习题 一、选择题： 1．如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N 极的指向 （A ）向外转90? （B ）向里转90? （C ）保持图示位置不动 （D ）旋转180? （E ）不能确定。 （ ） 2 i 的大小相等，其方向如图所示，问哪些区域中某些点的磁感应强度B 可能为零？ （A ）仅在象限Ⅰ （B ）仅在象限Ⅱ （C ）仅在象限Ⅰ、Ⅲ （D ）仅在象限Ⅰ、Ⅳ （E ）仅在象限Ⅱ、Ⅳ （ ） 3．哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ） （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） 4q 的点电荷。此正方形以角速度ω绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为： （A ）B 1=B 2 （B ）B 1=2B 2 （C ）B 1= 2 1B 2 （D ）B 1=B 2/4 （ ） x B x x B x B x B q q C 5．电源由长直导线1沿平行bc 边方向经过a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b 点沿cb 方向流出，经长直导线2返回电源（如图），已知直导线上的电流为I ，三角框的 每一边长为l 。若载流导线1、2和三角框在三角框中心O 点产生的磁感应强度分别用1B 、2B 和3B 表示，则O 点的磁感应强度大小 （A ）B =0，因为B 1=B 2， B 3=0 （B ）B =0，因为021=+B B ，B 3=0 （C ）B ≠0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠0。 （D ）B ≠0，因为虽然B 3=0，但021≠+B B 。 （ ） 6．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图（A ）~（E ）哪一条曲线表示B －x 的关系？ （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） 7．A 、B A 电子的速率是B 电子速率的两倍。设R A 、R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A 、T B 分别为它们各自的 周期。则： （A ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =2。 （B ）R A ∶R B = 2 1 ， T A ∶T B =1。 （C ）R A ∶R B =1， T A ∶T B = 2 1 。 （D ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =1。 8．把轻的正方形线圈用细线挂在截流直导线AB 的附近，两者在同一平面内，直导线AB 固定，线圈可以活动。当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将 （A ）不动 c x B B x x B x B x B 电流 一. 选择题 [ B ]1. 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽 度为D 、磁感强度为B (方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) p eBD 1 cos -=α． (B) p eBD 1sin -=α． (C) ep BD 1 sin -=α． (D) ep BD 1cos -=α． [ D ]2. A 、B 两个电子都垂直于磁场方向射入一均匀磁场而作圆周运动．A 电子的速率是B 电子速率的两倍．设R A ，R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A ，T B 分别为它们各自的周期．则 (A) R A ∶R B =2，T A ∶T B =2． (B) R A ∶R B 2 1 =，T A ∶T B =1． (C) R A ∶R B =1，T A ∶T B 1 =． (D) R A ∶R B =2，T A ∶T B =1． [ C ]3. 三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1 A ，2 A ，3 A 同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力F 1、F 2和F 3，如图所示．则F 1与F 2的比值是： (A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4． 提示： [ B ]4.如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． 提示：,B p M m ?= F 1 F 2F 3 1 A 2 A 3 A ⅠⅡⅢ I 1 I 2 一、简单选择题： 1.下列哪位科学家首先发现了电流对小磁针有力的作用：（ D ） （A）麦克斯韦（B）牛顿 （C）库仑（D）奥斯特 2.磁场对运动电荷或载流导线有力的作用，下列说法中不正确的是：（ B ）（A）磁场对运动粒子的作用不能增大粒子的动能； （B）在磁场方向和电流方向一定的情况下，导体所受安培力的方向与载流子种类有关； （C）在磁场方向和电流方向一定的情况下，霍尔电压的正负与载流子的种类有关； （D）磁场对运动电荷的作用力称做洛仑兹力，它与运动电荷的正负、速率以及速度与磁场的方向有关。 3. 运动电荷之间的相互作用是通过什么来实现的：（B） （A）静电场（B）磁场 （C）引力场（D）库仑力 4.在均匀磁场中，放置一个正方形的载流线圈，使其每边受到的磁力的大小都相同的方法有：（B） （A）无论怎么放都可以（B）使线圈的法线与磁场平行（C）使线圈的法线与磁场垂直（D）（B）和（C）两种方法都可以 5．电流之间的相互作用是通过什么来实现的( B ) （A）静电场（B）磁场 （C）引力场（D）库仑力 6．一平面载流线圈置于均匀磁场中，下列说法正确的是：（D）（A）只有正方形的平面载流线圈，外磁场的合力才为零 （B）只有圆形的平面载流线圈，外磁场的合力才为零 （C）任意形状的平面载流线圈，外磁场的合力和力矩一定为零 （D）任意形状的平面载流线圈，外磁场的合力一定为零，但力矩不一定零 7．下列说法不正确的是：( A ) （A）静止电荷在磁场中受到力的作用 （B）静止电荷在电场中受到力的作用 （C）电流在磁场中受到力的作用 （D）运动电荷在磁场中受到力的作用 8．一根长为L ，载流I 的直导线置于均匀磁场B 中，计算安培力大小的公式是 sin F IBL θ=,这个公式中的θ代表： ( B ) （A ）直导线L 和磁场B 的夹角 （B ）直导线中电流方向和磁场B 的夹角 （C ）直导线L 的法线和磁场B 的夹角 （D ）因为是直导线和均匀磁场，则可令090θ= 7．磁感强度的单位是：（ D ） （A ）韦伯 （B ）亨利 （C ）牛顿/库伦 （D ）特斯拉 8．在静止电子附近放置一条载流直导线，则电子在直导线产生的磁场中的运动状态是（ D ） （A ）向靠近导线方向运动 （B ）向远离导线方向运动 （C ）沿导线方向运动 （D ）静止 9．下列说法正确的是：（ B ） （A ）磁场中各点的磁感强度不随时间变化，称为均匀磁场 （B ）磁场中各点的磁感强度大小和方向都相同，称为均匀磁场 （C ）磁场中各点的磁感强度大小和方向都相同，称为稳恒磁场 （D ）稳恒磁场中，各点的磁感强度大小一定都相同 10．洛仑兹力可以：（ B ） （A ）改变运动带电粒子的速率 （B ）改变带电运动粒子的动量 （C ）对带电运动粒子作功 （D ）增加带电运动粒子的动能 11．下列公式不正确的是：（ D ） （A ）03 d 4π I l r dB r μ?＝ （B ）02 d 4π r I l e dB r μ?＝ （C ）02 d sin 4π I l dB r μθ ＝ （D ）02 d sin 4π I l dB r μθ ＝ 12．关于带电粒子在磁场中的运动，说法正确的是：（ C ） （A ）带电粒子在磁场中运动的回旋半径与粒子速度无关 （B ）带电粒子在磁场中运动的回旋周期与粒子速度有关 第十一章 稳恒电流的磁场（一） 一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度 毕奥—萨法尔定律：3 04r r l Id B d ?=πμ 1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I B πμ20= 半无限长载流直导线a I B πμ40=,直导线延长线上0=B 2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθ μ220? =R I B 电荷转动形成的电流：π ω ωπ22q q T q I === 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 () 8 2,,22135cos 45cos 2 44, 2212 000201 02121ππμπμμ=== -?? ? == a a B B a I a I B a I B o o o o 得 由【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上 均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ． 解法： b b a a I r dr a I r r dI dB dr a I dI a b b +===== =???+ln 222dI B B B ,B d B ,2P ,)(dr r P 0000πμπμπμπμ的大小为：，的方向也垂直纸面向内据方向垂直纸面向内；根处产生的它在，电流为导线相当于一根无限长的直的电流元处选取一个宽度为点为在距离 【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感 强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法： 恒定电流 一、电流：电荷的定向移动行成电流。 1、产生电流的条件：（1）自由电荷；（2）电场； 2、电流是标量，但有方向：我们规定：正电荷定向移动的方向是电流的方向； 注：在电源外部，电流从电源的正极流向负极；在电源的内部，电流从负极流向正极；3、电流的大小：通过导体横截面的电荷量Q跟通过这些电量所用时间t的比值叫电流I表示；（1）数学表达式：I=Q/t；（2）电流的国际单位：安培A （3）常用单位：毫安mA、微安uA； 二、欧姆定律：导体中的电流跟导体两端的电压U成正比，跟导体的电阻R成反比； 1、定义式：I=U/R; 2、推论：R=U/I； 3、电阻的国际单位时欧姆，用Ω表示； 三、闭合电路：由电源、导线、用电器、电键组成； 1、电动势：电源的电动势等于电源没接入电路时两极间的电压；用E表示； 2、外电路：电源外部的电路叫外电路；外电路的电阻叫外电阻；用R表示；其两端电压叫外电压； 3、内电路：电源内部的电路叫内电阻，内点路的电阻叫内电阻；用r表示；其两端电压叫内电压；如：发电机的线圈、干电池内的溶液是内电路，其电阻是内电阻； 4、电源的电动势等于内、外电压之和； E=U内+U外 U外=RI E=（R+r）I 四、闭合电路的欧姆定律： 闭合电路里的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比； 1、数学表达式：I=E/（R+r） 2、当外电路断开时，外电阻无穷大，电源电动势等于路端电压；就是电源电动势的定义； 3、当外电阻为零（短路）时，因内阻很小，电流很大，会烧坏电路； 五、半导体：导电能力在导体和绝缘体之间；半导体的电阻随温升越高而减小；导体的电阻随温度的升高而升高，当温度降低到某一值时电阻消失，成为超导； 补充： 1.电阻定律：导体两端电阻与导体长度、横截面积及材料性质有关。 R=pl/S（电阻的决定式）P只与导体材料性质有关。R与温度有关。 二极管：单向导电性；正极与电源正极相连。 2.串联特点：①总电压等于各部分电压之和。 ②电流处处相等 ③总电阻等于各部分电阻和 ④总功率等于各部分功率和 第11章稳恒电流与真空中的恒定磁场习题解答和分析 第十一章 电流与磁场 11-1 电源中的非静电力与静电力有什么不同？ 答：在电路中，电源中非静电力的作用是，迫使正电荷经过电源内部由低电位的电源负极移动到高电位的电源正极，使两极间维持一电位差。而静电场的作用是在外电路中把正电荷由高电位的地方移动到低电位的地方，起到推动电流的作用；在电源内部正好相反，静电场起的是抵制电流的作用。 电源中存在的电场有两种：1、非静电起源的场；2、稳恒场。把这两种场与静电场比较，静电场由静止电荷所激发，它不随时间的变化而变化。非静电场不由静止电荷产生，它的大小决定于单位正电荷所受的非静电力，q 非 F E =。当 然电源种类不同，非F 的起因也不同。 11-2静电场与恒定电场相同处和不同处？为什么恒定电场中仍可应用电势概念？ 答：稳恒电场与静电场有相同之处，即是它们都不随时间的变化而变化，基本规律相同，并且都是位场。但稳恒电场由分布不随时间变化的电荷产生，电荷本身却在移动。 正因为建立稳恒电场的电荷分布不随时间变化，因此静电场的两条基本定理，即高斯定理和环路定理仍然适用，所以仍可引入电势的概念。 11-3一根铜导线表面涂以银层，当两端加上电压后，在铜线和银层中，电场强度是否相同？电流密度是否相同？电流强度是否相同？为什么？ 答：此题涉及知识点：电流强度d s I =??j s ，电流密度概念，电场强度概念， 欧姆定律的微分形式j E σ=。设铜线材料横截面均匀，银层的材料和厚度也均匀。由于加在两者上的电压相同，两者的长度又相等，故铜线和银层的场强E 相同。由于铜线和银层的电导率σ不同，根据j E σ=知，它们中的电流密度j 不相同。电流强度d s I =??j s ，铜线和银层的j 不同但相差不太大，而它们的横 截面积一般相差较大，所以通过两者的电流强度，一般说来是不相同的。 11-4一束质子发生侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是：（1）电场？（2）磁场？（3）若是电场和磁场在起作用，如何判断是哪一种场？ 答：造成这个偏转的原因可以是电场或磁场。可以改变质子的运动方向，通过质子观察运动轨迹来判断是电场还是磁场在起作用。 11-5 三个粒子，当它们通过磁场时沿着如题图11－5所示的路径运动，对每个粒子可作出什么判断？ 答：根据带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力规律，通过观察运动轨迹的不同可以判断三种粒子是否带电和带电种类。 11-6 一长直载流导线如题11-6图所示，沿Oy 轴正向放置，在原点O 处取一电流元d I l ，求该电流元在（a ，0，0），（0，a ，0），（a ，a ，0），（a ， a ，a ）各点处的磁感应强度Β。 分析：根据毕奥-萨伐尔定律求解。 解：由毕奥-萨伐尔定律 03 d d .4πI r μ?=l r Β 原点O 处的电流元d I l 在（a ，0，0）点产生的Β为：000332 ()444I Idl Idlj ai dB adlk k a a a μμμπππ?==-=- d I l 在（0，a ，0）点产生的Β为： 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练2）三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1 A ，2 A ，3 A 同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力F 1、F 2和F 3，如图所示．则F 1与F 2的比值是： (A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4． 提示：设导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电流强度分别为321,,I I I ，产生的磁感应强度分别为 321,,B B B ，相邻导线相距为 a ，则 a a I a I l I B l I B l I F a a I a I l I B l I B l I F πμπμπμπμπμπμ0103022122322203020113112111222 ,47222= ??? ??-=-== ??? ???+=+= 式中3A.I A,2I 1A,I ,1 ,132121=====m l m l 故8/7/21=F F . [ D ]2. (基础训练6)两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 (A) R r I I 22 210πμ． (B) R r I I 22 210μ． (C) r R I I 22 210πμ． (D) 0． 提示：大圆电流在圆心处的磁感应强度为，方向垂直纸面朝内 2R I B 1 01μ=；小 圆电流的磁矩为方向垂直纸面朝内， ,222 r I p m π=所以，小圆 电流受到的磁力矩为 012=?=B p M m [ B ]3.（自测提高4） 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射 并能穿过一个宽度为D 、磁感强度为B (方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) p eBD 1cos -=α． (B) p eBD 1sin -=α． F 1 F 2F 3 1 A 2 A 3 A ⅠⅡⅢ O r R I 1 I 2 第一章电磁场的基本定律 §1.1、1.2电场与高斯定律 1 库仑定律：A 平方反比。B 介电系数 2 电场强度：电荷为的载流子受到的电场力为： 点电荷限制的意义：A 不扰动被测对象，操作意义。B 最小电荷量与最小载流子量子电动力学与宏观电动力学研究对象的不同。 3 电场的计算： 1）点电荷：条件是线性媒质 2）多个点电荷；叠加原理成立，意味着求和 3）场点、与源点、：带撇与不带撇 从源点到场点的矢径： 其中 4）连续分布电荷：A 概念：三种电荷密度、B计算方法：求和变为积分 3 电力线：及其重要。静电场：始于正电荷或无穷远，终于负电荷或无穷远。时变场：环，电力线环套着磁力线环，磁力线环套着电力线环。 4 高斯定律：1）通量：面积分与矢量点乘 方向的定义：闭合曲面与非闭合曲面 2）电通量密度：：仅适用于线性、各向异性媒质 3）高斯定律：A 关于与两种：后者于媒质无关。 4）用高斯定律计算电场：对称性的要求，高斯面。 5．静电场的环路积分： §1.3、1.4 磁场、毕澳－沙伐尔定律、安培环路定律 1．磁感应强度：1）速度为的运动电荷在磁感应强度为的磁场中受到的磁场力 2）载流导体： 2．毕澳－沙伐尔定律： 其中为（源点）到场点的距离，为（源点）到场点的单位矢量。 电流与电流密度： 则有 3磁通连续性原理（关于磁场的面积分）：1）磁力线；任何情况下是闭合环形2）磁通量（磁通）： 3）磁通连续性原理：该原理可以由毕澳－沙伐尔定律证明。 4 安培环路定律（关于磁场的线积分） 1） 电流与闭合曲线方向的规定；右手螺旋法则。 2）磁场强度： 适用于线性、各向异性的媒质。 3）安培环路定律求解磁场：利用对称性。 5麦克斯韦对安培环路定律的推广－全电流定律： i.推广线索：A 电容器充放电回路（参考教科书或普通物理）B 对 称性的要求：磁场生电场（法拉第电磁感应定律），电场为何不 能生磁场。来而不往非礼也，非礼则不能长久。只能磁生电，最 后只剩电了。 ii.麦克斯韦磁场环路定律 iii.全电流： 传导电流密度（欧姆定律） 运流电流密度 位移电流密度 §1.5 电磁感应定律 1．法拉第电磁感应定律 一个闭合导电回路的感应电动势 方向参考教科书16页图1.5.1 磁通的变化可以仅仅由磁场变化引起，也可以仅仅由导电回路的变化引起，也可以是两者皆有。 2．法拉第电磁感应定律的意义： 感应电动势 我们知道对于由电荷产生的电场－静电场的环路积分为零： 故环路积分不为零说明一定有其它类型的源产生了电场，并且这种电场的性质不同于静电场。 也就是电场的源除了电荷外，还有变化的磁通。即磁能生电。 3．麦克斯韦对法拉第电磁感应定律的推广：不但适用于闭合导电回路，也适用于任意空间的任何回路（不需要导电） §1.6电磁场（麦克斯韦）方程的积分形式 1．第一积分方程： 第二积分方程： 第三方程： 第四方程： 几点注解：1）偏导数代替了全导数，2）第二方程为什么有个负号？若 正号会发生什么。 补充内容：矢量场的数学性质 1．如果一个矢量场的散度和旋度已知，则该矢量场被唯一的确定。 2．任何矢量场最多只有两种源：散度源和旋度源 3．散度与闭合面积分通量有关：－高斯定理 旋度与闭合回路线积分有关：－斯托克斯定理 第8章变化的电磁场 一、选择题 1. 若用条形磁铁竖直插入木质圆环, 则在环中是否产生感应电流和感应电动势的判 断是 [ ] (A 产生感应电动势, 也产生感应电流 (B 产生感应电动势, 不产生感应电流 (C 不产生感应电动势, 也不产生感应电流 (D 不产生感应电动势, 产生感应电流 图8-1-1 2．关于电磁感应, 下列说法中正确的是 [ ] (A 变化着的电场所产生的磁场一定随时间而变化 (B 变化着的磁场所产生的电场一定随时间而变化 (C 有电流就有磁场, 没有电流就一定没有磁场 (D 变化着的电场所产生的磁场不一定随时间而变化 3. 在有磁场变化着的空间内, 如果没有导体存在, 则该空间 [ ] (A 既无感应电场又无感应电流 (B 既无感应电场又无感应电动势 (C 有感应电场和感应电动势 (D 有感应电场无感应电动势 4. 在有磁场变化着的空间里没有实体物质, 则此空间中没有 [ ] (A 电场 (B 电力 (C 感生电动势 (D 感生电流 5. 两根相同的磁铁分别用相同的速度同时插进两个尺寸完全相同的木环和铜环内, 在同一时刻, 通过两环包围面积的磁通量 [ ] (A 相同 (B 不相同, 铜环的磁通量大于木环的磁通量 (C 不相同, 木环的磁通量大于铜环的磁通量 (D 因为木环内无磁通量, 不好进行比较 6. 半径为a 的圆线圈置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直， 线圈电阻为R ．当把线圈转动使其法向与B 的夹角α=60时，线圈中通过的电量与线圈 面积及转动的时间的关系是 [ ] (A 与线圈面积成反比，与时间无关 (B 与线圈面积成反比，与时间成正比 (C 与线圈面积成正比，与时间无关 (D 与线圈面积成正比，与时间成正比 1 7. 一个半径为r 的圆线圈置于均匀磁场中, 线圈平面与磁场方向垂直, 线圈电阻为R ．当线圈转过30?时, 以下各量中, 与线圈转动快慢无关的量是 [ ] (A 线圈中的感应电动势 (B 线圈中的感应电流 (D 线圈回路上的感应电场 (C 通过线圈的感应电荷量 8. 一闭合圆形线圈放在均匀磁场中, 线圈平面的法线与磁场成30?角, 磁感应强度随时间均匀变化, 在下列说法中, 可以使线圈中感应电流增加一倍的方法是 [ ] (A 把线圈的匝数增加一倍 (C 把线圈的面积增加一倍 (B 把线圈的半径增加一倍 第11章恒定电流和恒定磁场 ◆本章学习目标 1．理解稳恒电流产生的条件；理解电流密度的概念。 2．熟练掌握欧姆定律及其微分形式。 3．理解电动势的概念；掌握闭合电路的欧姆定律。 4．了解基尔霍夫定律。 ◆本章教学内容 1．电流和电流密度；电流的连续性方程。 2 电阻率；欧姆定律的微分形式；焦尔-楞次定律。 3．电源和电动势；闭合电路的欧姆定律。 4．基尔霍夫定律。 ◆本章教学重点 1．电流密度。 2．欧姆定律的微分形式。 3．电源的电动势；闭合电路的欧姆定律。 ◆本章教学难点 1．电流密度。 2．欧姆定律的微分形式。 3．电源的电动势；闭合电路的欧姆定律。 ◆本章学习方法建议及参考资料 在中学有关电路知识的基础上，加深理解电流、稳恒电流及电动势等概念，理解稳恒电场与静电场的异同，明确稳恒电流的条件，理解其数学表达式的物理意义。在此基础上，会计算简单的含源电路。 参考资料 程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。 §11.1电流密度 电流连续性方程 一、电流 形成电流的条件： 1．在导体内有可以自由移动的电荷（载流子）； 2．导体内部存在电场。 当导体内存在电场时，正电荷沿着电场方向运动，负电荷逆着电场的方向运动，形成电流。习惯上把正电荷运动的方向规定为电流的方向。 电流强度（I ）：单位时间内通过导体中某一截面的电量。 如果在dt 时间内通过导体某一截面S 的电量为dq ，则通过该截面的电流强度为 dt dq t q I t = ??=→?0lim （1） 在国际单位制中，单位：安培(A)。 二、电流密度 电流虽能描述导体横截面上的电荷流动的特征，但不能描述导体中每一点的电荷流动的特征。如图所示的不均匀导体内，正电荷在通过A 、B 时运动方向是不同的。 为了更精确地描述导体内各点的电流分布 情况，引入电流密度矢量j ρ 。 电流密度：对于导体中的任一点，j ρ 的大 小等于通过该点与电流方向垂直的单位面积上的电流；方向为正电荷在该点处的运动方向。 在导体内部某点处取一个与电流方向垂直的面元⊥dS ,设通过该面元的电流为dI ,如图所示，则该点的电流密度的大小为 ⊥ = dS dI j （2） 方向与面元的法线n ρ 的方向一致。单位：2-?m A 一. 选择题: ［ D ］1. 载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 ［B ］2.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分 布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度 B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ． (C) b b a b I +πln 20μ． (D) ) 2(0b a I +πμ． ［ D ］3. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处 处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿 图中闭合路径L 的积分??L l B d 等于 (A) I 0μ． (B) I 03 1 μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． 提示 ［ B ］ 4. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？ (A) Ⅰ区域． (B) Ⅱ区域． (C) Ⅲ区域． (D) Ⅳ区域． (E) 最大不止一个． 提示： 加原理判断 磁场和磁感应强度的叠根据无限长直导线产生 ［ C ］5. 在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a ，如图．今在此导体上通以电流I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O ′点的磁感强度的大小为 (A) 2202R a a I ?πμ (B) 22202R r a a I -?πμ (C) 2 22 02r R a a I -?πμ (D) )(222220a r R a a I -πμ 二. 填空题 1.在匀强磁场B 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线n 与B 成60°角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示 的任意曲面S 的磁通量 ==???S m S B d Φ221 R B π- 提示： 2. 一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电 流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 204a I d l πμ 方向为Z 轴负方向 提示： ⅠⅡ ⅢⅣ a R r O O ′ I 任意曲面 第十一章 恒定电流的磁场 11.1 选择题 (1) 有两条长直导线各载有5A 的电流, 分别沿x 、y 轴正向流动. 在(40, 20, 0)(cm)处的B 是(真空磁导率μ0 = 4π × 10-7N/A 2) [C] (A) 2.5×10-6 T 且沿z 轴负向 (B) 3.5×10-6 T 且沿z 轴负向 (C) 2.5×10-6 T 且沿z 轴正向 (D) 3.5×10-6 T 且沿z 轴正向 k y I B πμ2101=,k x I B πμ2202-= k T k x y I k x I k y I B B B 6 020*******.211222-?=??? ? ??-=-=+=πμπμπμ (2) 半径为1a 的圆形载流线圈与边长为2a 的方形载流线圈, 通有相同的电流, 若两线圈中心1O 和2O 的磁感应强度大小相同, 则半径与边长之比21:a a 为[D] (A) 1:1 (B) π212:1 (C) π212:4 (D) π212:8 1012a I B μ= ; ()2 102cos cos 44θθπμ-?=a I B 20202243cos 4cos 2 144a I a I πμπππμ=??? ??-?= 21B B =, 201 0222a I a I πμμ= , 8221π = a a (3) 无限长空心圆柱导体的内、外半径分别为a 和b , 电流在导体截面上均匀分布, 则在空间各处B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系, 定性地分析如图 [B] (A) (B) (C) (D) 解析：∑?=?内 0i L I l d B μ (4) 氢原子处于基态(正常状态)时, 它的电子(e = 1.6×10-19C)可看做是在半径为a = 0.53 × 10-8cm 的轨道做匀速圆周运动, 速率为2.2 × 108cm/s, 那么在轨道中心B 的大小为(真空磁导率μ0 = 4π×10-7N/A 2)[B] (A)8.5×10-8T (B)13T (C)8.5×10-4T R I B 20μ= ,a R =,T e I = ,v a T π2=,可得204a ev B πμ=, 数据带入即可. (6) 载流i 的方形线框, 处在匀强磁场B 中, 如图所示, 线框受到的磁力矩是 (A) 向上 (B) 向下 (C) 由纸面向外 (D) 由纸面向内 B p M m ?=;n IS p m = m p 的方向与n 的方向相同, n 的方向是载流线圈的正法线方向(由右手螺旋法则 确定), 正法线方向垂直向外, 磁场的方向水平向右, 那么磁力矩M 的方向竖直向上. i B 题11.1(6)图 a e O 题11.1(4)图 第8章 变化的电磁场 一、选择题 1. 若用条形磁铁竖直插入木质圆环, 则在环中是否产生感应电流和感应电动势的判 断是 [ ] (A) 产生感应电动势, 也产生感应电流 (B) 产生感应电动势, 不产生感应电流 (C) 不产生感应电动势, 也不产生感应电流 (D) 不产生感应电动势, 产生感应电流 2．关于电磁感应, 下列说法中正确的是 [ ] (A) 变化着的电场所产生的磁场一定随时间而变化 (B) 变化着的磁场所产生的电场一定随时间而变化 (C) 有电流就有磁场, 没有电流就一定没有磁场 (D) 变化着的电场所产生的磁场不一定随时间而变化 3. 在有磁场变化着的空间内, 如果没有导体存在, 则该空间 [ ] (A) 既无感应电场又无感应电流 (B) 既无感应电场又无感应电动势 (C) 有感应电场和感应电动势 (D) 有感应电场无感应电动势 4. 在有磁场变化着的空间里没有实体物质, 则此空间中没有 [ ] (A) 电场 (B) 电力 (C) 感生电动势 (D) 感生电流 5. 两根相同的磁铁分别用相同的速度同时插进两个尺寸完全相同的木环和铜环内, 在同一时刻, 通过两环包围面积的磁通量 [ ] (A) 相同 (B) 不相同, 铜环的磁通量大于木环的磁通量 (C) 不相同, 木环的磁通量大于铜环的磁通量 (D) 因为木环内无磁通量, 不好进行比较 6. 半径为a 的圆线圈置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直， 线圈电阻为R ．当把线圈转动使其法向与B 的夹角 60=α时，线圈中通过的电量与线圈 面积及转动的时间的关系是 [ ] (A) 与线圈面积成反比，与时间无关 (B) 与线圈面积成反比，与时间成正比 (C) 与线圈面积成正比，与时间无关 (D) 与线圈面积成正比，与时间成正比 图8-1-1 第十一章 恒定电流的磁场（二） 1. 选择题 [ C]1. （基础训练2）三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1 A，2 A，3 A同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力F1、F2和F3，如图所示．则F1与F2的比值是： (A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4． 【提示】设导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电流强度分别为，产生的磁感应强度分别为，相邻导线相距为a，则 式中，得 . [ D]2. (基础训练6)两个同心圆线圈，大圆半径为R，通有电流I1；小圆半径为r，通有电流I2，方向如图．若r<< R(大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 (A) ． (B) ． (C) ． (D) 0． 【提示】大圆电流在圆心处的磁感应强度为；小圆电流的磁矩为所以，小圆电流受到的磁力矩的大小为 [ B]3.（自测提高4）一个动量为p的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽度为D、磁感强度为(方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) ．(B) ． (C) ． (D) ． 【提示】电子在磁场中的轨迹为一段圆弧，如图。所以有 [B ]4.（自测提高5）如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． 【提示】小线框的磁矩和大平板产生的磁场方向如图所示。小线框受到的磁力矩为，该力矩总是使得小线圈朝着磁矩转向外磁场的方向转动。故小线框顺时针转动。 2. 填空题 图11-33 1．（基础训练14）如图11-33，在粗糙斜面上放有一长为l的木制圆柱，已知圆柱质量为m，其上绕有N匝导线，圆柱体的轴线位于导线回路平面内，整个装置处于磁感强度大小为B、方向竖直向上的均匀磁场中．如果绕组的平面与斜面平行，则当通过回路的电流I =时，圆柱体可以稳定在斜面上不滚动． 【提示】（1）圆柱体所受合力为零：，式中的θ为斜面的倾角。 （2）以圆柱体的轴线为转轴，则圆柱体所受的合力矩为零。重力矩和支撑力F的力矩为零，所以摩擦力矩和磁力矩的矢量和=0，即，式中的磁矩为，联立上述三个式子求解，即得答案。 2.（基础训练16）有半导体通以电流I，放在均匀磁场B中，其上下表面积累电荷如图所示．试判断它们各是什么类型的半导体？ 【提示】霍尔效应。n型半导体为电子导电，电子带负电荷；p型半导体为空穴导电，空穴带正电荷。由电子或空穴所受的洛仑兹力的方向判断它们往哪个表面堆积。 3. （基础训练19）如图，一个均匀磁场只存在于垂直于图面的P平面 右侧，的方向垂直于图面向里．一质量为m、电荷为q的粒子以速度射入磁场．在图面内与界面P成某一角度．那么粒子在从磁场中射出前是做半径为的圆周运动．如果q > 0时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域的面积为S，那么q < 0时，其路径与边界围成的平面区域的面积是. 【提示】（1），所以；（2）如图。 第11章 恒定电流的磁场 11.2 一根很长的直输电线，通有100A 的电流，在离它0.50m 远的地方，磁感应强度为多大？ 解： 02I B a μπ=741010020.5 ππ??=?5410()T -=? 11.4 求下面各图中P 点的磁感应强度的大小和方向。 解： ()a 一根半无线长导线端头在P 点的磁感强度大小 014I B a μπ= 方向：垂直纸面向外 另一根半无线长导线延长线上P 点的磁感强度大小 20B = 则 0124I B B B a μπ=+= 方向：垂直纸面向外 ()b 两根半无线长导线端头在P 点的磁感强度大小 0001442I I I B r r r μμμπππ=+= 方向：垂直纸面向里 半圆环圆心处P 点的磁感强度大小 002224I I B r r μμππ= ?= 方向：垂直纸面向里 则 000124224I I I B B B r r r μμμππππ=+=+?+0024I I r r μμπ=+ 方向：垂直纸面向里 ()c 每一根导线在P 点的磁感强度大小，方向都一样。 0012(cos cos )4I B r μθθπ=- 其中0201150,30==θθ r I B πμ4300=? 方向：垂直纸面向内 其中r 根据等边三角形的边角关系可得：a r 63= 则 009 32I B B a μπ=== 方向：垂直纸面向内 11.7同轴电缆由一导体圆柱和一同轴导体圆筒构成，使用时电流I 从一导体流去，从另一导体流回。电流均匀分布在导体横截面上，设圆柱体的半径为1R ，圆筒的内外半径分别为2R 、3R （见图）。以r 代表场点到轴线的距离，求r 从o 到∞的范围内磁感应强度的大小。 解：电流及磁场分布具轴对称性，选半径为r 的积分路径，由安培环路定理： ∑?=?=?I r B l B l 02d μπ 1r R < 22 1r R I I =∑第十一章 恒定电流的磁场习题解
第11章稳恒磁场
恒定电流的磁场(二)答案
物理学教程第11章恒定磁场
第十一章稳恒电流的磁场一作业答案
恒定电流和磁场知识点总结
第11章稳恒电流与真空中的恒定磁场习题解答和分析学习资料
第八章 恒定电流的磁场(二)
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