雅克比矩阵)

雅克比矩阵

雅克比矩阵定义

任给一个n维向量X，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：（1）对于任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0;

（2）对于任意实数λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖；

（3）对于任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖；

对于这样的,叫雅克比矩阵定义。

雅克比矩阵证明

关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的

dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立

证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。利用中值定理可知：

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。

当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，

(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，

dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。

由此问题得证。

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡爾·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。

雅可比矩阵

雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。

假设F:R n→R m是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n 列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：

此矩阵表示为：

，或者

这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y i(i=1,...,m)表示的

如果p是R n中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J F(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。在此情况下，由F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x 逼近与p

例子

由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R× [0,π] × [0,2π] → R3

此坐标变换的雅可比矩阵是

R4的f函数:

其雅可比矩阵为:

此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。

在动力系统中

考虑形为x' = F(x)的动力系统，F : R n→ R n。如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。系统接近驻点时的表现通常可以从J F(x0)的特征值来决定。

雅可比行列式

如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p点的取向不变；如果是负数，

则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。

例子

设有函数F : R3→ R3，其分量为：

则它的雅可比行列式为：

从中我们可以看到，当x1和x2同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1 = 0和x2 = 0时以外。

雅可比矩阵

雅可比矩阵

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。

还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量"Jac obian"可以发音为[ja ?ko bi ?n]或者[???ko bi ?n]。

雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。

雅可比矩阵定义：

雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如

雅可比矩阵

下：

见所附jpg图片。

例：MA TLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。

syms r l f

x=r*cos(l)*c os(f);

y=r*cos(l)*sin(f);

z=r*sin(l);

J=jacobian([x;y;z],[r l f])

结果：

J =

[ c os(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]

[ c os(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*c

雅可比矩阵

os(f)]

[ sin(l), r*cos(l), 0 ]

第九章矩阵特征值问题的数值方法

第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法

9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.

如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式，称为矩阵A 的特 征多项式， 其中a 0=(-1)n ｜A ｜. (2)

显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是的根. 反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=

矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x T y=0 .

9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H，那么，A称为Hermite矩阵.

矩阵的特征多项式与特征根

矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．

矩阵特征根的有关问题

矩阵特征根的有关问题 吴晗 数学系 数学与应用数学 06180226 [摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义，接着介绍了矩阵特征根的有关求法，其次讨论了矩 阵特征根的性质，最后利用其求法与性质解决一些代数问题。 [关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用 矩阵，线性代数研究的基本对象。按照矩阵的观点，线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容，与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。 所以二者有相辅相成之意。涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举： 1 矩阵的特征根的定义 设() ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 ()11 12121 22212.......... ............n n A n n nn x a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式，而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。即在方程中求解出x （x 在复数域内）,其中I 是n 阶单位矩阵。而在矩阵的特征根研究中，我们不只是就仅仅要知道特征根是什么，它不是一个孤立存在的知识点，往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。就像前面所说特征值与特征向量的引入是为

第五章 矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且

矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =

矩阵的特征根的求法及应用

矩阵的特征根的求法及应用

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矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21Λ的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21Λ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21Λ，则 nn n a a a +++=+++ΛΛ221121λλλ，A n =λλλΛ21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.

矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ

矩阵的特征根的求法及应用

矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值， 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.

（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2．特征值与特征向量的常规求法； 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。 列1：求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法；解 ()()()21 221422 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ?+-0E A λ-=,得121λλ==（二重），35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时，对应的特征方程； 12312312322202220 2220x x x x x x x x x --=??-++=??-++=?

第五章 求矩阵特征值和特征向量

第五章 求矩阵特征值与特征向量 n 阶方阵A 的n 个特征值就是其特征方程 det()0λ-=A I 的n 个根，方程A 属于特征值λ的特征向量x 是线性方程组 λ=Ax x 的非零解。本章讨论求方阵A 的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。 5.1 幂 法 在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。 5.1.1幂法的基本思想 幂法是求实方阵A 按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零 初始向量0x ，然后作迭代序列 1k k +=x Ax ，0,1,k =??? （5。1） 再根据k 增大时，k x 各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A 的按模最大特征值及其特征向量。 先看一个计算实例。 例1 设矩阵 122 1??= ??? A 用特征方程容易求得A 的两个特征值为 11-=λ，32=λ 下面用幂法来计算，取初始向量()01,0T =x ，计算向量序列 1k k +=x Ax ，0,1,k =??? 具体结果如表5.1所示. 表5.1 幂法计算结果 k ()1k x () 2 k x 0 1

1 2 3 1 5 13 2 4 14 4 5 6 7 41 121 365 1093 40 122 364 1094 考察两个相邻向量对应分量之比： 5) 1(1)2(1=x x ,6.2)2(1 )3(1=x x ,(4)1(3)1 3.154x x =,(5)1(4)1 2.951x x =,(6)1(5)1 3.016x x =，(7) 1(6)1 2.994x x = 2) 1(2)2(2=x x ,5.3)2(2 )3(2=x x ,(4)2(3)2 2.857x x =,(5)2(4)2 3.05x x =,(6)2(5)2 2.983x x =, (7) 2 (6)2 3.005x x = 由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k 的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰 好就是矩阵A 的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。 5.1.2 幂法的计算公式 为简便起见，设矩阵A 的几个特征值按模的大小排列如下： n λλλ≥≥≥ 21 其相应特征向量为12 ,,n u u u ，并且是线性无关的，因此可作为n 维向量空间的一组基。 任取初始向量( )(0)(0) (0)012,, 0T n x x x =≠x ，首先将0x 表示为 01122n n a a a =++ +x u u u 作迭代序列 1k k +=x Ax , 0,1,k =??? 则 10111222n n n a a a λλλ==++???+x Ax u u u …… …… 1111222k k k k k n n n a a a λλλ-==++???+x Ax u u u 于是 21112211k k k n k n n a a a λλλλλ?????? ?=++???+ ? ? ??????? x u u u 为了得出计算1λ和1u 的公式，下面分三种情况讨论。 1.1λ为实根，且 12λλ>

矩阵的特征根的求法及应用

矩阵 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值， 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.

（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2．特征值与特征向量的常规求法； 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。 列1：求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法；解 ()()() 2 1 22142 2 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ? +-0E A λ-=,得121λλ==（二重） ，35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时，对应的特征方程； 123123123222022202220 x x x x x x x x x --=?? -++=??-++=?

矩阵的特征根和特征向量

哪位能帮我把这个矩阵的特征根和特征向量计算出来，我只要结果就行，急用！谢谢了! 0.776 0.258 0.166 0.121 0.045 0.112 -0.235 0.258 0.969 0.220 0.181 0.196 -0.086 -0.715 0.166 0.220 0.999 0.276 0.302 -0.062 0.020 0.121 0.181 0.276 0.969 0.293 0.309 -0.139 0.045 0.196 0.302 0.293 0.863 -0.161 0.031 0.112 -0.086 -0.062 0.309 -0.161 1.000 -0.050 -0.235 -0.715 0.020 -0.139 0.031 -0.050 1.000 最佳答案 A=[0.776 ,0.258 ,0.166 ,0.121 ,0.045 ,0.112 ,-0.235;0.258,0.969,0.220,0.181 , 0.196 ,-0.086 ,-0.715 ;0.166 ,0.220,0.999 ,0.276 ,0.302 ,-0.062 ,0.020; 0.121 ,0.181 ,0.276 ,0.969 ,0.293, 0.309 ,-0.139; 0.045,0.196,0.302,0.293 ,0.863, -0.161 ,0.031 ;0.112 ,-0.086 ,-0.062 ,0.309, -0.161, 1.000 ,-0.050 ; -0.235,-0.715 , 0.020 , -0.139, 0.031, -0.050 ,1.000]; [x,y]=eig(A); eigenvalue=diag(y); lamda = eigenvalue(1) y_lamda = x(:, 1) 特征值lamda = 0.2074 特征向量y_lamda = -0.0088 0.7057 -0.1593 0.0664 -0.1873 0.0430 0.6597

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)