《有理数》全章复习与巩固(提高)

《有理数》全章复习与巩固（提高）

撰稿：吴婷婷审稿：常春芳

【学习目标】

1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数.

2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．

3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．

4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：（2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．

（2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）．

3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．

（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

5．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

要点二、有理数的运算

1 ．法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1

b

(b≠0) ．

（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．

(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指

数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．

2．运算律：

（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成10n

a ?的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210?． 【典型例题】

类型一、有理数与无理数的相关概念

1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn )a+(x+y )2009+(-mn )2010的值．

【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，

所以a 2-(x+y+mn )a+(x+y )2009+(-mn )2010 ＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010 ＝a 2-a+1．

∵a ＝1，∴原式＝12-1+1＝1

【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三：

【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】

【变式1】选择题 （1）已知四种说法：

①|a|=a 时，a >0； |a|=-a 时， a <0． ②|a|就是a 与-a 中较大的数． ③|a|就是数轴上a 到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|． 其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （2）有四个说法：

①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）

A ．①②

B ．③④

C ．②④

D ．①② （3）已知(-ab)3>0，则（ ）

A ．ab<0

B ．ab>0

C ．a>0且b<0

D ．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A ．120 B ．-15 C ．0 D ．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）

A ．-a 6与(-a)6

B ．-a 3与|-a|3

C ．[(-a)2]3与(-a 3)2

D ．(ab)3与ab 3 （6）下列实数中是无理数的是（ ）

A ．0.306

B ．3.143

C ．1

3

D ．3.101001000…(0的个数逐渐增加) 【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C （6）D

【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4680000，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】6

4.6810?．

2．在下列两数之间填上适当的不等号： 99100-

________100

101

-． 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下，根据“1a b >，1a b =，1a

b

<分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．

【答案】 ＞

【解析】法一：作差法：99100--（100

101

-） =99100991011001001010010110110010100-?+?-

+==>?， ∴99100

100101

->-． 法二：作商法：由于99100991019999110010110010010000÷=?=<，所以99100100101

<． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：99100

100101

->-． 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．

举一反三：

【变式】在下列两数之间填上适当的不等号． 1111111-

_________1111

11111

-． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）

类型二、有理数的运算

【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】

3．(1)211143623324????????-----+- ? ? ? ??

???????

(2)5153()( 1.5)()1244-÷?-÷-

()()

2

35

41(3)24121522??

-÷-?-?-+ ???

(4)137775111 2.534812863????????

+-

-÷--÷?- ? ? ???????????

(5)

()

100

3221511221132

??

----÷- ?

??+--?

【答案与解析】

（1）原式2111114

3622332412=-++-= （2）原式54342

1215239

=-???=-

（3）原式3

132(4)12(1516)104

=-÷-?-?-+=-

（4）原式12561

[1(2)1]()233253

=+-++-??-=

（5）1125112()

41192

---÷-=+--?原式 3.9=-

【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a (b+c )＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a (b+c )等． 举一反三： 【变式】

（1）225117832

[()10.25]199[()2]7148923-÷?-?-?--

（2）23155115

(1)()()(2)()299229

-?---?-+-?

【答案】

（1）2

25117832

[()1

0.25]199[()2]7

148923

-÷?-?-?-- 251471834

()199(2)492584929=??-?-?- 118343

()199(2)449292

=-?-?-?

20(3)3=--

2

033=-+

123=

（2）23155115

(1)()()(2)()299229-?---?-+-?

955515()()()()499289

=?---?-+-?

5951()()

9428

172

24

=-?++=-

4．先观察下列各式：

11111434??=- ????；111147347??=- ????

； 11117103710??=- ????；…；1111(3)33n n n n ??

=- ?++??，根据以上观察，计算： 1111447710+++??? (1)

20052008

+?的值． 【答案与解析】原式111111111111343473710320052008????????

=

-+-+-++- ? ? ? ?????????… 111111111344771020052008??=

-+-+-+???+- ???

1113200812007

320086692008

??=- ???=?=

【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ??

- ?+??

的形式，然后再进行计算．

举一反三：

【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：

120

1

80148124181+

+++ 【答案】原式

=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=????? 类型三、数学思想在本章中的应用

5．（1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a |＞|b |，求|a |-|a+b |-|b -a |的值．

A ．2b+a

B ．2b -a

C ．a

D ．b

（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a |与-2a 的大小． （3）转化思想：1(999)35??

-÷-

???

． 【答案与解析】

（1）从数轴上a 、b 两点的位置可以看出a ＜0，b ＞0，且|a |＞|b |，所以|a |-|a+b |-|b -a |＝-a+a+b -b+a ＝a ．

（2）a 可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：

当a ＞0时，|a |＝a ＞0，-2a ＜0，所以|a |＞-2a ； 当a ＝0时，|a |＝0，-2a ＝0，所以|a |＝-2a ；

当a ＜0时，|a |＝-a>0，-2a ＞0，又-a ＜-2a ，所以|a |＜-2a ． 综上所述：当a ≥0时， |a |≥-2a ；当a ＜0时，|a |＜-2a ． （3）1(999)(10001)(35)35??

-÷-

=-+?- ???

(1000)(35)1(35)34965=-?-+?-=． 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．

类型四、规律探索

6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字

乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．

A ．495

B ．497

C ．501

D ．503

【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第

5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A

【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．

【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：

【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）

A ．

1 B ．1 C ．1 D ．1

【巩固练习】 一、选择题 1．计算106×(102)3÷104之值为（ ）．

A ．108

B ．109

C ．1010

D ．1012 2． a b -与a 比较大小，必定为（ ）．

A ．a b a -<

B ．a b a ->

C ．a b a -≤

D ．这要取决于b 3．下列语句中，正确的个数是（ ）．

①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；

③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若0m n <<，则mn n m <-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．已知||5m =，||2n =，||m n n m -=-，则m n +的值是（ ）．

A ．-7

B ．-3

C ．-7或-3

D ．±7或±3 5．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的 3.6x -和，则（ ）．

A ．910x <<

B ．1011x <<

C ．1112x <<

D ．1213x << 6． 如图：

数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是（ ）． A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点

7．有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）

A ．0a b c ++>

B ．a b c +<

C ．a c a c -=+

D ．b c c a ->- 8．记12n n S a a a =+++…，令12n

n S S S T n

+++=

…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的

“理想数”．已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )

A ．2004

B ．2006

C ．2008

D ．2010 二、填空题

9．已知a 是有理数，有下列判断：①a 是正数；②-a 是负数；③a 与-a 必有一个是负数；④a 与-a 互为相反数，其中正确的有________个．

10．2011年成市承接产业转移示范区建设成效明显，第一季度完成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作________元．

11．把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：-3，-0.4，π，-|-4|，-22

7

，0，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）． 整 数{ …} 负分数{ …} 无理数{ …}．

12．当a =________时，式子2

3(1)a --的值最大，这个最大值是________． 13．如图，有理数,a b 对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：

a b +________0；a b -________0；

()()________a b a b +-0；

2(1)ab ab +________0．

14．已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<，则代数式

a b c

a b c

++的值是 15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．

16．观察下列算式：23451=+? ，24462=+?，2

5473=+?，24846?+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：250___________=+?． 三、 解答题 17．计算：(1)2

2213151[4(4)]1417??

---?--

???

(2)3

2

3

2

3

3351914321251943252????

??????-?--??-+?- ? ? ? ? ???????????

(3)2008

2009

7887??

???- ? ???

??

(4)52315

91736342--+- (5)111223++?? (14950)

+? 18．一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位．．．依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，b

a

，b 的形式，且x 的绝对值为2，求2008

20092()

()()a b ab a b ab x ++-+-+的值．

20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算 （1）一粒大米重约多少克？

（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）

（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）

（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？

（5）经过以上计算，你有何感想和建议？ 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】 A

【解析】126

23

4

6

6

4

12

4

84

1010(10)1010101010101010

?÷=?÷=÷==． 2．【答案】 D

【解析】当b 为0时，a b a -=；当b 为正数时，a b a -<；当b 为负数时，a b a -> 3．【答案】 B

【解析】只有④正确，其他均错． 4．【答案】C

【解析】n m ≥，2,5n m =±=-，所以7m n +=-或3- 5．【答案】C

【解析】( 3.6)15,11.4x x --==

6．【答案】C

【解析】由图可知：4b a -=，又29b a -=，所以5a =- 7．【答案】C

【解析】由图可知：0a b c <<<，且c a c a -=-表示数轴上数a 对应点与数c 对应点之间的距离，此距离恰好等于数a 对应点到原点的距离与数c 对应点到远点的距离之和，所以选项C 正确． 8．【答案】C 【解析】∵ 1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，

∴

12500

2004500

S S S +++= ，

∴ 125002004500S S S +++=? ．

8，1a ，2a ，…，500a 中，18S '=；218S S '=+；328S S '=+；…，500

5008S S '=+ ∴ 8，1a ，2a ，…，500a 的理想数为：

12350012500

501888888501501501S S S S S S S T +++++++++?++++=

=

850120045002008

501?+?== 二、填空题

9．【答案】1

【解析】不论a 是正数、0、负数，a 与-a 都互为相反数，∴④正确. 10．【答案】102.3810?

11．【答案】

【解析】2(1)0a -≥ ，10a -=∴时，2(1)a -取到最小值，同时 23(1)a --取到最大值． 13．【答案】>， >， >， <

【解析】由图可得：1,10a b >-<<,特殊值法或直接推理可得：0,0,ab a b <+>

20,10a b ab ->+>．

14．【答案】1

【解析】()()()0,a b b c c a +++=又0abc <可得：三数必一负两正，不防设：

0,0,0a b a c >=-<>，代入原式计算即可．

15．【答案】 10

【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）. 16．【答案】 24852450?+=

【解析】观察可得规律为：2(4)4(2)n n n ?++=+. 三、解答题 17．【解析】 (1)原式 13151(1616)1417??=---?-

???1315101011417??

=---?=--=- ???

(2)原式322

33431942519435??

??????=-?--

?+?? ? ? ???????????

3

39

16122525????=-?-+ ? ?

???? 3

3020??

=-? ???=

(3) 原式2008

2008

788877??????=?-?- ? ? ???

??

??2008

788877??????

=?-?- ? ???????

??

88177??=?-=- ???

(4)原式5231

591736342

=--

--++--

5231(59173)6342??

=--+-+--+- ???11

01144=-=-

(5)原式1111223=-

+-+ (11)

4950

+-

111112233????=+-++-++ ? ????? (1)

1114914949505050??+-+-=-=

??? 18．【解析】1234...9910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 19．【解析】由1，a+b ，a 与0，

b

a

，b 相同， 由

b

a

得：分母有0a ≠，所以0a b += 又由三数互不相等，所以1b =，b

a a

=

化简得：1a =-，1b =，0a b +=，1ab =-

∴ 200820092()()()01142a b ab a b ab x ++-+-+=--+=．

20．【解析】

（1）10÷500≈0.02（克） 答：一粒大米重约0.02克．

（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107

（千克）

答：一年大约能节约大米2.847×107

千克．

（3）2×2.847×107=5.694×107

（元）

答：可卖得人民币5.694×107

元．

（4）5.694×107÷500=1.1388×105

答：可供113880名失学儿童上一年学．

（5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．