(完整版)图论及其应用1-3章习题答案(电子科大)
习题一
1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的
证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图
作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)
容易证明，对?v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
2. （题6）设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =????
??2n 当且仅当G 是
完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则? v ∈V(G),有d(v)< n-1 ? ∑ d(v) < n(n-1) ? 2m ? m < n(n-1)/2=??? ? ??2n , 与已知矛盾！ 充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ? m= ??? ? ??2n 。 3. （题9）证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。 图1-28 (a) v 2 v 3 u 4 u (b) 证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ? ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。 4. （题12）证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ?v in v ik 构成一个圈 。 5. （题17）证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。 习题二 2、证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。 证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1 、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 5、证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当 )1(21 -=∑=n d n i i 。 证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足 E d n i i 21 =∑=，E 为T 的边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以)1(21 -=? ∑=n d n i i 14、证明：若e 是n K 的边，则3 )2()(--=-n n n n e K τ。 若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生成树的总边数为：2 )1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数为： 32 2)1(2 1 )1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为： 332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ 16、Kruskal 算法能否用来求： （1）赋权连通图中的最大权值的树？ （2）赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？ 解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。 （2）可以，步骤如下： 步骤一：选择边e1，是的)(1e ω尽可能小； 步骤二：若已选定边i e e e ,...,,21，则从},...,{\21i e e e E 选取1+i e ，使 a 、}],...,[{121+i e e e G 为无圈图 b 、)(1+i e ω是满足a 的尽可能小的权； 步骤三：当步骤二不能继续执行时停止； 习题三 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1）G 是块 （2）G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3）G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 证明：（1）→（2）： 错误!未找到引用源。是块，任取错误!未找到引用源。的一点错误!未找到引用源。，一边错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。边插入一点错误!未找到引用源。， 使得错误!未找到引用源。成为两条边，由此得到新图1G ，显然错误!未找到引用源。的是阶数大于3的块，由定理，错误!未找到引用源。中的u,v 位于同一个圈上，于是错误!未找到引用源。中u 与边错误!未找到引用源。都位于同一个圈上。 (2)→(3): 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取错误!未找到引用源。的点u ，边e ，若错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如错误!未找到引用源。不在错误!未找到引用源。上，由定理，错误!未找到引用源。的两点在同一个闭路上，在错误!未找到引用源。边插入一个点v ，由此得到新图错误!未找到引用源。，显然错误!未找到引用源。的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 (3)→(1): 错误!未找到引用源。连通，若错误!未找到引用源。不是块，则错误!未找到引用源。中存在着割点错误!未找到引用源。，划分为不同的子集块错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。无环，12,x v y v ∈∈，点错误!未找到引用源。在每一条错误!未找到引用源。的路上，则与已知矛盾，错误!未找到引用源。是块。 13、设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解：通常错误!未找到引用源。. 整个图为错误!未找到引用源。，割点错误!未找到引用源。左边的图 错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的的子图，错误!未找到引用源。 错误!未 找到引用源。，则错误!未找到引用源。. 15、设T 是简单连通图G 的生成树，)(T E G T -=称为G 的余树，图G 的极小边割是指其任何真子集均不是边割的边割。证明： （1）T 不含G 的极小边割。 （2）e T +包含G 的唯一的极小边割，其中e 为G 的不在T 中的边。 证明：（1）设T 含有G 的极小边割S ，则T 中不含极小边割S ，由于T 是简单连通图G 的生成树，则T 中必然含有一组极小割边，这与T 中不含极小割边相矛盾，则T 中不含G 的极小边割。 （2）假设e 为T 中的一条边，根据（1）得T +e 中仍不含G 的极小割边，这与 e T +包含G 的唯一的极小边割相矛盾，则e 为G 的不在T 中的边，得证。 e H 习题一： ● 。 证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10) 容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。 ● 5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0: m=1 ： m=2： m=3： m=4： (a) v 23 4 (b) m=5： m=6： 因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。 ● 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1） 不是图序列。 证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列； （6,6,5,4,3,3,1）是图序列 1 1 12312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=---是图序列 （5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 ● 12.证明：若 ，则包含圈。 证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干 个连通的情形来证明。设 , 对于中的路 若与邻接，则构成一个闭路。若是一条路，由于，因 此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。 ● 17.证明：若G 不连通，则连通。 证明：对于任意的 ,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通； 电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） A C D A B C D 6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 (G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(45-++=k k k G P k 。 六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 1 3 图G 图论及其应用答案电子科 大 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 习题三： 证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e . 证明：充分性: e是G的割边，故G ?e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G中的u ,v不连通， 而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G ?e中不存在从 u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v是单图G的割点，则G ?v有两个连通分支。现任取x ,y ∈V (G ?v ), 如果x ,y 不在G ?v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G ?v的补图中连通。若x ,y在G ?v的同一分支中，则它们在G ?v的补图中邻接。所以，若v是G 的割点，则v不是补图的割点。 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）} 图论及其应用答案电子科 大 Newly compiled on November 23, 2020 习题三： ● 证明：e 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两 个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u ，v ）必含e . 证明：充分性: e 是G 的割边，故G ?e 至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G 中的u,v 不连通， 而在G 中u 与v 连通，所以e 在每一条(u,v)路上，G 中的(u,v)必含e 。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G 中所有(u,v)路均含有边e ，从而在G ?e 中不存在从 u 与到v 的路，这表明G 不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e 都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G 的点u ，边e ，若u 在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u 不在e 上，由定理，e 的两点在同一个闭路上，在e 边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 习 题 1 1. 证明在n 阶连通图中 （1） 至少有n -1条边。 （2） 如果边数大于n -1，则至少有一条闭通道。 （3） 如恰有n -1条边，则至少有一个奇度点。 证明 (1) 若对?v ∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ? m ≥n >n-1,矛盾！ 若G 中有1度顶点，对顶点数n 作数学归纳。 当n=2时，G 显然至少有一条边，结论成立。 设当n=k 时，结论成立， 当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v 是k 阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k 条边。 (2) 考虑v 1→v 2→?→v n 的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G 的边数大于n-1,因此存在v i ,v j ,使得v i adgv j ,这样，v i →v i+1→?→v j 并上v i v j 构成一条闭通道；若该途径是一条非路，易知，图G 有闭通道。 (3) 若不然，对?v ∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ? m ≥n >n-1,与已知矛盾！ 2. 设G 是n 阶完全图，试问 （1） 有多少条闭通道？ （2） 包含G 中某边e 的闭通道有多少？ （3） 任意两点间有多少条路？ 答 (1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+…+(n -2)…1. 3. 证明图1-27中的两图不同构： 证明 容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。 4. 证明图1-28中的两图是同构的 证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 图 1-27 图1-28 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共_____小时） 课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2007__年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写） 一．填空题(每题2分，共12分) 1．简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G 和空图)的个数是___2m __个； 2．设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_ 6__; m=_9__； 3．一棵树有i n 个度数为i 的结点，i=2,3,…,k,则它有2+(i ?2)∑n i i 个度数为1的结点； 4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为__20___; 5、某年级学生共选修9门课。期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要___9__天才能考完这9门课。 二．单项选择(每题2分，共10分) 1．下面给出的序列中，不是某简单图的度序列的是( D ) (A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333). 2． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 学 号 姓 学 …………………… 密……………封…………… 线……………以……………内……………答…… ………题… …………无……………效…………………… v 5 v v 6A B 3．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B） A B C D 4．下列图中，是可平面图的图的是（B） A B C D 5．下列图中，不是偶图的是（B） C A B D 三、 (8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树 解：m=n?1=6 …… 四，用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分) 证明：此题转换为证明任何一个没有孤立点的简单图至少有两个点的度数相同。 参考教材P5。 五．(10分) 设G为n 阶简单无向图，n>2且n为奇数，G与G的补图G中度数为奇数的顶点个数是否相等？证明你的结论 证明：根据补图定义d G(v i)+d G(v i)=n?1。相等。 由频序列相同证明有同样奇数的顶点个数。 参考教材P5。 习题 1 1. 证明在n阶连通图中 （1）至少有n-1条边。 （2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。 （3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。 证明(1) 若对v V(G),有d(v)2,则：2m=d(v)2n m n n-1,矛盾！ 若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。 当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。 设当n=k时，结论成立， 当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G至少有k条边。 (2) 考虑v 1v 2v n的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G的边数 大于n-1,因此存在v i,v j,使得v i adgv j,这样，v i v i+1v j并上v i v j构成一条闭通道； 若该途径是一条非路，易知，图G有闭通道。 (3) 若不然，对v V(G),有d(v)2,则：2m=d(v)2n m n n-1,与 已知矛盾！ 2.设G是n阶完全图，试问 （1）有多少条闭通道？ （2）包含G中某边e的闭通道有多少？ （3）任意两点间有多少条路？ 答(1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+…+(n-2)…1. 3.证明图1-27中的两图不同构： 图1-27 证明容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。 4.证明图1-28中的两图是同构的 图1-28 证明将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )u i (1 i 10) 容易证明，对v i v j E((a)),有f(v i v j )u i u j E((b)) (1 i 10, 1j 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 5. 证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明 m=0 1 2 3 4 5 6 由于四个顶点的简单图至多6条边，因此上表已经穷举了所有情形，由上表知：四个顶点的非同构简单图有11个。 6. 设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =??? ? ??2n 当且仅当G 是完全图。 证明 必要性 若G 为非完全图，则 v V(G),有d(v) n-1 d(v) n(n-1) 2m n(n-1) m n(n-1)/2=??? ? ??2n , 与已知矛盾！ 充分性 若G 为完全图，则 2m= d(v) =n(n-1) m= ??? ? ??2n 。 7. 证明：（1）m (K l ,n ) = ln ， (a) v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b) 离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝ 图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f 离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1.设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???01010 1001000001 1100100110 则G 的边数为( ). A.6 B.5 C.4 D.3 2.已知图G 的邻接矩阵为 , 则G 有( ). A.5点,8边 B.6点,7边 C.6点,8边 D.5点,7边 3.设图G ＝ 图三 7.设有向图(a )、(b )、(c )与(d )如图四所示,则下列结论成立的就是 ( ). 图四 A.(a )就是强连通的 B.(b )就是强连通的 C.(c )就是强连通的 D.(d )就是强连通的 应该填写:D 8.设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当( )时,K n 中存在欧拉回路. A.m 为奇数 B.n 为偶数 C.n 为奇数 D.m 为偶数 9.设G 就是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r = ( ). A.e －v ＋2 B.v ＋e －2 C.e －v －2 D.e ＋v ＋2 10.无向图G 存在欧拉通路,当且仅当( ). A.G 中所有结点的度数全为偶数 B.G 中至多有两个奇数度结点 C.G 连通且所有结点的度数全为偶数 D.G 连通且至多有两个奇数度结点 11.设G 就是有n 个结点,m 条边的连通图,必须删去G 的( )条边,才能确定G 的一棵生成树. A.1m n -+ B.m n - C.1m n ++ D.1n m -+ 12.无向简单图G 就是棵树,当且仅当( ). A.G 连通且边数比结点数少1 B.G 连通且结点数比边数少1 C.G 的边数比结点数少1 D.G 中没有回路. 二、填空题 1.已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数就是 . 2.设给定图G (如图四所示),则图G 的点割 集就是 . 3.若图G= 一、填空 20% 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 图和子图 图 图 G = (V, E)， 其中 V = {νv v v ,......,,21} V ---顶点集， ν---顶点数 E = {e e e 12,,......,ε} E ---边集， ε---边数 例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。 称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。 称顶点a 与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。 环（loop ，selfloop ）：如边 l 。 棱（link ）：如边ae 。 重边：如边p 及边q 。 简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：νε()(),()().G V G G E G ==。 习题 1.1.1 若G 为简单图，则 εν≤?? ?? ?2 。 1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。 同构 在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ? V （G)=V(H), E(G)=E(H)。 图G 同构于图F ? V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间各存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。 记为 G ?F 。 注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。 d e f G = (V, E) y z w c G =(V , E ) w c y z H =(V ?, E ?) ?a ? c ? y ? e ?z ? F=(V ??, E ??) 图论第三次作业 一、第六章 2.证明： 根据欧拉公式的推论，有m ≦l*(n-2)/(l-2), (1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4; (2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10; (3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6. 3.证明： ∵G 是简单连通图，∴根据欧拉公式推论，m ≦3n-6; 又，根据欧拉公式：n-m+φ=2,∴φ=2-n+m ≦2-n+3n-6=2n-4. 4.证明： (1)∵G 是极大平面图，∴每个面的次数为3， 由次数公式：2m==3φ, 由欧拉公式：φ=2-n+m, ∴m=2-n+m,即：m=3n-6. (2)又∵m=n+φ-2,∴φ=2n-4. (3)对于3n >的极大可平面图的的每个顶点v ，有()3d v ≥，即对任一一点或者 子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使()(H)w G w G <-，由点连通度的定义知()3G κ≥。 5.证明： 假设图G 不是极大可平面图，那么G 不然至少还有两点之间可以添加一条边e ，使G+e 仍为可平面图，由于图G 满足36m n =-，那么对图G+e 有36m n '=-，而平面图的必要条件为36m n '≤-，两者矛盾，所以图G 是极大可平面图。 6.证明： (1)由()4G δ=知5n ≥当n=5时，图G 为5K ，而5K 为不可平面图，所以6n ≥，（由()4G δ=和握手定理有24m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得6n ≥）对于可平面图有()5G δ≤，而6n ≥，所以至少有6个点的度数不超过5. (2)由()5G δ=和握手定理有25m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得12n ≥，对于可平面图有()5G δ≤，而12n ≥，所以至少有12个点的度数不超过5. 二、第七章 2.证明： 设n=2k+1,∵G 是Δ正则单图，且Δ>0, ∴m(G)==>k Δ,由定理5可知χˊ(G)=Δ(G)+1. 习题三： ● 证明：e 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u ，v ）必含e . 证明：充分性: e 是G 的割边，故G ?e 至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G 中的u,v 不连通，而 在G 中u 与v 连通，所以e 在每一条(u,v)路上，G 中的(u,v)必含e 。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G 中所有(u,v)路均含有边e ，从而在G ?e 中不存在从u 与到v 的路，这表明G 不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e 都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G 的点u ，边e ，若u 在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u 不在e 上，由定理，e 的两点在同一个闭路上，在e 边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G 连通，若G 不是块，则G 中存在着割点u ，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u 在每一条(x,y)的路上，则与已知矛盾，G 是块。 ● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v 是单图G 的割点，则G ?v 有两个连通分支。现任取x,y ∈V(G ?v), 如果x,y 不在G ?v 的同一分支中，令u 是与x,y 处于不同分支的点，那么，x,与y 在G ?v 的补图中连通。若x,y 在G ?v 的同一分支中，则它们在G ?v 的补图中邻接。所以，若v 是G 的割点，则v 不是补图的割点。 ● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）} 08信安专业离散数学期中考试试题 1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A?B且C?D.证明: A∪C?B∪D; A∩C?B∩D . (15分) 2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分) 3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的 最小的对称的二元关系. (15分) 4.设A={1,2,…,20},R={ 期中考试试题解答 1.证明: ?x, x∈A∪C x∈A∩C ?x∈A∨x∈C ?x∈A∧x∈C ?x∈B∨x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∧x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∪D ?x∈B∩D ∴A∪C?B∪D ∴A∩C?B∩D 2.解: A∪((B―A)―B) =A∪((B∩∽A)∩∽B) =A∪(∽A∩(B∩∽B)) =A∪(∽A∩φ) =A∪ф =A . 3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ? 图论及其应用 学时：40 学分：2 课程属性：专业选修课开课单位：理学院 先修课程：高等代数后续课程：无 一、课程的性质 《图论及其应用》是数学与应用数学专业的专业选修课程。 二、教学目的 通过教学，使学生掌握图论及其算法的基本理论和基本技巧，初步掌握图论及其算法的基本应用手段、基本算法设计及编程，并能用所学理论解决一些应用问题。 三、教学内容 1.图的基本概念 2.图的连通性 3.树的基本性质及其应用 4.Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 5.平面图性质 6.匹配，求最大匹配算法及应用 7.图的染色及应用 8.极图理论 四、学时分配 章课程内容学时 1 图的基本概念 4 2 图的连通性 6 3 树的基本性质及其应用 6 4 Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 4 5 平面图性质 6 6 匹配，求最大匹配算法及应用 6 7 图的染色及应用 4 8 极图理论 4 合计40 五、教学方式 本课程采用多媒体课堂讲授，结合实际范例深入浅出讲解讨论。 六、考核方式 本课程考核采用平时与期末考核相结合的办法，特别注重平时的考核，作业采用简单练习、论文等形式，期末考试采用简单考题或论文形式。 七、教材及教学参考书 参考教材： [1] J.A.Bondy and U.S.R.Murty. Graph Theory with Applications, The Macmillan Press LTD,1976. [2] 蒋长浩．图论与网络流．北京：中国林业出版社，2000． 参考书目： [1] Bela Bollobas．Modern Graph Theory（现代图论，影印版）．北京：科学出版社，2001． [2] 殷剑宏、吴开亚．图论及其算法．合肥：中国科学技术大学出版社，2003． [3] 谢金星、邢文训．网络优化．北京：清华大学出版社．2000． [4] 程理民、吴江、张玉林．运筹学模型与方法教程．北京：清华大学出版社，2000． [5] 三味工作室．SPSS V10.0 for Windows 实用基础教程．北京：北京希望电子出版社2001． [６] 孙魁明、张海彤．Mathematica工具软件大全．北京：中国铁道出版社，1994． [７] 楼顺天、于卫、闫华梁．MATLAB程序设计语言．西安：西安电子科技大学出版社，1997．八、教学基本内容及要求 第一章图的基本概念 1．教学基本要求 掌握的图的基本概念、特殊图概念，了解最短路问题。 2．教学具体内容 图的基本概念，路和圈，最短路问题。 习题一(yangchun)： 4.证明下面两图同构。 证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10) 容易证明，对?v i v j ∈ E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。 5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0: m=1 ： m=2： m=3： m=4： (a) v 23 4 (b) m=5： m=6： 因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列； （6,6,5,4,3,3,1）是图序列 1 1 12312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=--- 是图序列 （5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 ● 12.证明：若 ，则包含圈。 证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干 个连通的情形来证明。设 , 对于中的路 若与邻接，则构成一个闭路。若是一条路，由于，因 此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。 ● 17.证明：若G 不连通，则连通。 证明：对于任意的 ,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通； 习题三： ● 证明：是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意及, G 中的路必含. 证明：充分性: 是的割边，故至少含有两个连通分支，设是其中一个连通分支的顶点集，是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为中的不连通，而在中与连通，所以在每一条路上，中的必含。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设中所有路均含有边，从而在中不存在从与到的路，这表明不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 ： 是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，由定理，中的u,v 位于同一个圈上，于是 中u 与边都位于同一个 圈上。 ： 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u ，边e ，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v ，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 ： 连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块,,,无环，12,x v y v ∈∈，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。 ● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图的割点。 证明：是单图的割点，则有两个连通分支。现任取, 如果不在的 同一分支中，令是与 处于不同分支的点，那么，与在的补图中连通。若在的同一分支中，则它们在的补图中邻接。所以，若是的割点，则不是补图的割点。 ● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给 出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）} ()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10} 2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）} ● 13.设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解： 通常. 整个图为，割点左边的图为的的子图， ，则. e H **学院2016—2017学年第二学期期末考试2014级本科数学与应用数学专业《图论》试卷A （本试卷满分100分，考试时间110分钟） 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.图G的两个子图G1，G2的环和表示为_______． 2.图G中的一圈，若它通过G中的每一条边(或弧)恰好一次，则称该圈为____． 3.图G的两个不同的生成的树T1，T2的顶点个数_______．（填相同或不相同）4．“3,3 K是欧拉图也是哈密顿图”这句话是_______。(填对或错) 5.图G的任意顶点的关联集都等于其余各顶点关联集的____． 6.(p,q)图G的基本圈有_________个． 7.连通图G的边连通度定义为． 8.设M是G的一个匹配，如果G的每一个顶点都是M-饱和点，则M为______． 9.使图G为n-着色的最小数值即为G的_________． 10.极大可平面图的每一个面的次数都是_________． 二、判断题（每小题1分，共10分） 1.同构的图保持邻接关系． 2.最小生成树即G的所有生成树中权值最小的生成树． K是欧拉图． 3. 5 4.设G是无向连通图，则G是一笔画 G中没有奇数度顶点． 5.图的秩等于图的完全关联矩阵的秩，而不等于其关联矩阵的秩． 6.图的关联矩阵是对称矩阵． 7.图的边连通度大于最小顶点的度数． 8.一个非完全连通图的连通度就是使这个图成为非连通图所需要去掉的最小顶点数． 9.完美匹配必定是最大匹配，但反之不然． K的子图． 10．一个图是平面图当且仅当它没有收缩到K5或 3,3 三、单项选择题（每小题2分，共20分） 1. 一个图的所有顶点的度数之和不可能是( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 如果连通图G 的顶点个数为8，则其生成树中边的个数为( ) A. 7 B. 6 C. 9 D. 8 3. 在如下各图中（ ）欧拉图。 4．如下右图所示，以下说法正确的是 ( )． A ．{a, e }是点割集 B ．e 是割点 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集 5. 如果连通图G 的顶点个数为7，边数为8，则其向量空间的维数为( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 1 6．设无向图G 的邻接矩阵为 ????????????????010******* 000011100100110， 则G 的边数为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7.如果连通图G 的点连通度为2，边连通度为3，图的最小顶点的度数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D ．2 8.G 的一个匹配M 中的顶点（ ）M 饱和顶点 A. 都不是 B. 只有一个是 C. 有些是，有些不是 D.全部是答案(电子科大版)图论及其应用第一章
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