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平面弧长的计算

平面弧长的计算
平面弧长的计算

§3. 平面曲线的弧长与曲率

(一) 教学目的:掌握平面曲线的弧长与曲率

(二) 教学内容:平面曲线的弧长与曲率的计算公式.

(1) 基本要求:掌握平面曲线的弧长计算公式.

(2) 较高要求:掌握平面曲线的曲率计算公式.

(三) 教学建议:

(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式.

(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式.

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1 直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

给出,其中 在 上具有一阶连续导数。

现在用元素法来计算这曲线弧的长度. 取横坐标 为积分变量,它的变化区间为

. 曲线)(x f y =上对应于 上任一小区间],[dx x x +的一段弧的长度 可以用该曲现在点))(,(x f x 出的切线上相应的一小段的长度来近似代替(图3.8.4). 而这相应切线段的长度为

以此作为弧长元素 ,即

dx y ds 21'+= 以dx y 21'+为被积表达式,在区间 ],[b a 上做定积分,变得所求得弧长. 曲线段弧 的长度为

dx y s b

a

?'+=21

2. 参数方程情形

设曲线弧由参数方程

给出,其中,在上具有一阶连续导数。

现在来计算这曲线弧的长度.

取参数为积分变量,它的变化区间为 .相应上任一小区间的小弧段的长度的近似值及弧长元素为

于是,曲线段弧的长度为

3. 极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

给出,其中在上具有连续导数。

现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得

这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是,弧长元素为

从而,曲线段弧的长度为

弧长计算公式及扇形面积计算公式

教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:

§2 曲线的弧长和弧长元素

第二章曲线的局部微分几何 §2曲线的弧长和弧长元素 通俗地讲,将曲线的一段想象成软绳的一段,则软绳的所谓“长度”是可以用“直尺”测量出来的.如果软绳并不是太“弯”,则其两个端点的“直线距离”就是其长度的近似值.这种看法在人们的日常生活中经常自觉或不自觉地被加以运用.在数学发展史上,类似的抽象观点被有效利用的年代可以追溯到古希腊的阿基米德时代;而被严格并且广泛地利用于自然科学当中,则是从 Newton 和 Leibniz 创立微积分学开始.粗略地说,在微积分学之中,当曲线“可求长”时,“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值,而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的;在此,勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则.换个角度去看,基本的度量规则确定了所谓的“长度”,同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式;而基本度量规则的改变,将导致不同的关于距离的几何学.在学习到第六章内蕴几何学的内容以后,可以再回过头来仔细体会上述说法的含义. 下面,将从几何学的角度给出长度概念及其解释. 一.E3中正则曲线段的长度 给定E3中Descartes直角坐标系O-xyz.设C: r(t) =(x(t),y(t),z(t)) , t∈[a, b] 是正则曲线上的一个弧段.任取参数区间的一个划分 D n: t0=a < t1 < …< t n = b, 对应有曲线上的分点P j: r(t j) , j= 0, 1, …, n.相应折线的长度确定为n ∑j = 1| P j-1P j|= n ∑ j = 1 |r(t j) - r(t j-1) |= n ∑ j = 1 (x j-x j-1)2+ (y j-y j-1)2+ (z j-z j-1)2. 由 Taylor 展开式,可写 r(t j) - r(t j-1) = (?t j) r'(t j-1) +(?t j)2 2! R2j, 其中余项R2j= (x"(ξ1j), y"(ξ2j), z"(ξ3j))→r"(t j-1) , 当?t j=t j-t j-1→0 .此时||r(t j) - r(t j-1)|-|(?t j) r'(t j-1)||≤|(?t j)22!R2j|,

《弧长计算》练习题

《弧长计算》练习题 一.选择题 1.圆心角为120°,弧长为12π的扇形半径为() A.6 B.9 C.18 D.36 2.圆的面积为π,则60°的圆心角所对的弧长是() A.B.C.D. 3.一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为()A.6cm B.12cm C.2cm D.cm 4.一个扇形的半径为8cm,弧长为cm,则扇形的圆心角为()A.60°B.120°C.150°D.180° 5.在半径为1的⊙O中,弦AB=1,劣弧AB的长是() A. B.C.D. 6.一个扇形的圆心角为60°,弧长为2π厘米,则这个扇形的半径为()A.6厘米B.12厘米C.厘米D.厘米 7.已知扇形的弧长是2πcm,半径为12cm,则这个扇形的圆心角是()A.60°B.45°C.30°D.20° 二.填空题 8.圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长是cm. 9.在半径为18的圆中,120°的圆心角所对的弧长是. 10.已知扇形的圆心角为60°,弧长等于,则该扇形的半径是.11.已知扇形的圆心角为120°,弧长是4πcm,则扇形的半径是cm. 12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将△ABC绕点B顺时针方向旋转,使点C落到AB的延长线上,那么点A所经过的线路长为. 13.如图,当半径为30cm的转动轮转过120°角时,传送带上的物体A平移的距离为cm. 14.如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线L上,按顺时针方向在L上转动两次使它转到三角形A″B″C″的位置,设BC=1,AC=,其中∠A=30°则定点A运动到点A″的位置时,点A经过的路线长是.

弧长计算公式及扇形面积

课题: 课型:新授课 教学目标: 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力; 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题,训练学生的数学应用能力; 3.使学生了解计算公式的同时,体验公式的变式,使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质. 教学重点: 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形的面积计算公式;会利用公式解决问题. 教学难点: 探索弧长及扇形的面积计算公式;用公式解决问题. 教学准备: 多媒体课件、几何画板软件. 教法学法: 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程: 一、创设情境,引入新课. 师:今天大家是怎么来上学的? 生:自行车/电动车/步行/坐十路车. 师:看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的. 生发出会心的笑声. 师:大家看这辆自行车,它的车轮的半径是30cm,车轮转动一周,车子将会前进多少?

生:60πcm . 师:这实际上就是利用圆的周长公式计算的,那圆的面积公式是什么?圆的圆心角是多少度? 生:若圆的半径是r ,则面积是2S r π=,圆的圆心角是360°. 师:看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了,我们今天要来把圆剖析一下,来研究一下“弧长及扇形的面积”(板书课题). 设计意图:激发学生的求知欲望,肯定学生的合理答案. 二、师生互动,探究新知 活动1 探索弧长公式 师:我们知道车轮转动一周是360°,那如果车轮转动180°,车子将会前进多少厘米? 生:30πcm .因为车轮转动180°,是转动了半圈,所以车子前进的距离是圆周长的一半. 师:那如果车轮转动了90°,车子将会前进多少厘米? 生:15πcm .因为车轮转动90°,是转动了四分之一圈,所以车子前进的距离是圆周长的一半. 师:那如果车轮转动1°呢?转动n °呢? 小组研讨交流、计算. 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法. 生:因为圆的周长所对的圆心角是360°,所以车轮转动1°,车子将前进圆周长的 1 360 ;车轮转动n °,车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍,也就是圆周长的360n .所以,当车轮转动1°时,车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时,车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师:同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么? 学生思考. 生: 180 n l r π= . 师:是的,这里同学们要特别注意,公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数,所以不写单位;如图所示?AB 的弧长记作: ?180 l n AB r π=.请同学们记住这个公式. 学生识记公式. 设计意图:关于弧长的计算,我从一个生活中的实际问题出发,设计了5个小问题,从具体到抽象,让小组的同学讨论分

弧长的计算公式

高庙王中学双案教学设计 学科数学年级九时间 11.27 总序 号 51 课题 弧长的计算公式 主备人甄守鲁 授课人甄守鲁 教学目标 和 学习目标1、经历探索弧长计算公式的过程,会推导弧长的计算公式 2、会运用弧长计算公式计算有关问题 教学重点 教学难点 目标2 师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动一、创设情境引入新课 某圆拱桥的半径是30m,桥拱AB 所对的圆心 角∠AOB=90°,你会求桥拱AB的长度吗?(精确到 0.1m) 出示课本中小亮的做法,让学生判断正误 二、探索活动 1、探索弧长计算公式 ⑴1°的圆心角所对的弧长是多少? 分析:1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 360 1 ,即 180 360 2R Rπ π = ⑵n°的圆心角所对的弧长是多少? 分析:n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心 角所对的弧长的n倍,即 180 R n l π = ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算 公式,弧长计算公式 180 R n l π =,揭示了R n l, ,这3 个量之间的一种相等关系。在R n l, ,这3个量中, 如果知道其中的两个量,就可以由弧长计算公式, 求出另一个量。 出示问题,让学 生自主探索 强调:公式中的 n不带单位,n 表示1°的圆心 角所对的弧长的 倍数

师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时,先要按中心线计算框 架的展直长度再下料,计算如图所示框架的展直长 度(精确到1mm) 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm,它所对的圆心角 为70o,求这条圆弧的长度(精确到0.1cm) 2、已知圆的半径为9cm,求20o的圆心角所对 的弧的长度(精确到0.1cm) 3、已知一条弧的长度为πR/4,半径为R,求 这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20π cm,求扇形的半径. 学生小组交流讨 论,然后找一名 学生到黑板上板 演 学生讨论,找学 生到黑板板演

悬链线方程及曲线弧长

第二章导线应力弧垂分析 第三节悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上,导线悬在空中的曲线形态,从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态,而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2-5所示,给出了悬挂于A、B两点间的一档导线,假定为悬挂点等高的孤立档,设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面,可随导线一起摆动,显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析,可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析OD段导线的受力关系,由图2-5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D 点承受拉力为T x=σx S,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α;O点承受拉力为T0=σ0S,T0为导线O点的切线方向,恰与x轴平行,故又称水平张力;此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x,其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示,如图2-6所示, 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力的代数和分别等于零。

或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力,σx、T x为导线任一点的应力和张力,S、g为导线截面和比载。将上述二式相比,则可求得导线任意一点D的斜率为: (2-10) 由微分学知识可知,曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式(2-10)是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律,还需要将不定量L x消去,因此,将式对x微分得: (微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2)将上式移项整理后,两端进行积分 这是个隐函数,因此,再进行分离变量积分,查积分公式有: (2-11) 再进行分离变量积分,有 于是,导线任一点D的纵坐标为: (2-12) 式(2-12)是悬链方程的普通形式,其中C1和C2为积分常数,其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处,则有下述初始条件:x=0, dy/dx=tgα=0 代入式(2-11)则C1=0,将x=0,y=0,C1=0 代入式(2-12),,如此,求得坐标原点最低点O处的悬链方程为: (2-13) 式中σ0—水平应力(即导线最低点应力),MPa; g—导线的比载,N/m.mm2。 当坐标原点选在其它点(例如选在悬挂点处)时,悬链线方程的常数项将有所不同,可

弧长以及扇形面积的计算-练习题含答案

弧长以及扇形面积的计算 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题(本大题共3小题,共分) 1.如图,在中,,,以BC的中 点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长 为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解:连接OE、OD, 设半径为r, 分别与AB,AC相切于D,E两点, ,, 是BC的中点, 是中位线, , , 同理可知:, , , 由勾股定理可知, , 故选:B. 连接OE、OD,由切线的性质可知,,由于O是BC的中点,从而可知OD是中位线,所以可知,从而可知半径r的值,最后利用弧长公式即可求出答案.

本题考查切线的性质,解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值,本题属于中等题型. 2.一个扇形的弧长是,面积是,则此扇形的圆心角的度数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解:一个扇形的弧长是,面积是, ,即, 解得:, , 解得:, 故选B 利用扇形面积公式1求出R的值,再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数. 此题考查了扇形面积的计算,以及弧长的计算,熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键. 3.的圆心角对的弧长是,则此弧所在圆的半径是 A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】解:根据弧长的公式 得到: 解得. 故选C. 根据弧长的计算公式,将n及l的值代入即可得出半径r的值. 此题考查了弧长的计算,解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式,属于基础题,难度一般. 二、填空题(本大题共1小题,共分) 4.如图,已知等边的边长为6,以AB为直径的与 边AC、BC分别交于D、E两点,则劣弧的长为______. 5. 6. 7. 8. 【答案】 【解析】解:连接OD、OE,如图所示: 是等边三角形,

平面曲线的弧长与曲率

§ 3 平面曲线的弧长与曲率 一、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长的概念 一条线段的长度可直接度量,但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量,因此需用不同的方法来 求. 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用内接折线总长的极限定义弧长 . 定义1 可求长曲线 设平面曲线C 由参数方程() () x x t y y t =?? =? (t αβ≤≤)给出,设01{,, ,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分 [0,n t t αβ==],即01n t t t αβ=<<<=,它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =, 111((),())M x t y t =,…,((),())n n n M x t y t =。从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ,1M ,…,n M 得到曲线的一条内接折线,用1i i M M -来表示1i i M M -的长度,则内接折线总长度为 11 1 n n n i i i i S M M -====∑ 曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→时的极限: 10 1 1 lim lim n n i i p p i i S M M -→→====∑ 如果S 存在且为有限,则称C 为可求长曲线。 定义2 设曲线C :() () x x t y y t =?? =? (t αβ≤≤),且()x t ,()y t 在[,αβ]上连续可微,且导数()x t ',()y t '在[,αβ]上不同时为0(曲线C 在[,αβ]无自交点),则曲线C 称为光滑曲线. 2、弧长公式 定理10.1设曲线C 为如上的光滑曲线,则曲线C 是可求长的,且弧长S 为: S β β α α ==? ? 注:利用微元法推导公式 注:其它形式的弧长公式 (1)设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积,则曲线()y y x =(a ≤x ≤b )的弧长S 为: a S =? (2)若曲线极坐标方程()r r θ=,αθβ≤≤,则当()r θ在[,αβ]上可微,且()r θ'可积时,

弧长的公式、扇形面积公式及其应用

【本讲教育信息】 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

弧长 计算公式

弧长计算公式 弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。弧长的计算公式 弧长公式:n是圆心角度数,r是半径,a是圆心角弧度。 公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例:半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于0.785(cm) 拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周率)x r²【半径的平方(2次方)】/360 例子 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数,L为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈3.14 R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

弧长及扇形面积的计算教案

《弧长及扇形面积的计算》教案 教学目标 一、知识与技能 1.理解弧长公式、扇形面积公式的推导; 2.会运用公式计算弧长、扇形及简单组合图形的面积; 二、过程与方法 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养探索精神与推理能力; 2.通过计算,提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力; 三、情感态度和价值观 1.通过获得成功的经验和克服困难的经历,增进学生数学学习的信心; 2.通过观察、推断可以获得教学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性; 教学重点 掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式; 教学难点 计算圆的弧长、扇形的面积; 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体; 学生准备 三角板,圆规,练习本; 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 问题一:在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的一端拴着一只狗。(1)这只狗的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少? (2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角,那么它的最大活动区域有多大?这个区域的边缘

长是多少? 问题二:将以边长为1的等边三角形木板沿水平线翻滚(如图3所示),那么点B从开始至结束所经过的路径的长度为____________。 图3 按钮 2 按钮 3 按钮 1 B 2 C 1 A 1 B 1 A B C 二、新课学习 问题(1) 如图,某传送带的一个转动轮的半径为rcm. 1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米? 2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为 L= n 360·2πr= nπr 180 实际应用: 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果用含π的式子表示). 问题2 (1)观察与思考: n

数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率 一、平面曲线的弧长 设平面曲线C=⌒AB . 如图所示,在C 上从A 到B 依次取分点: A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ,它们成为曲线C 的一个分割,记为T. 用线段联结T 中每相邻两点,得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n),这n 条弦又成为C 的一条内接折线,记:T =n i 1max ≤≤|P i-1P i |,s T =∑=n 1i i 1-i |P P |,分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1:对于曲线C 的无论怎样的分割T , 如果存在有限极限:0 T lim →s T =s , 则称曲线C 是可求长的, 并把极限s 定义为曲线C 的弧长. 定义2:设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微,且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β]),则称C 为一条光滑曲线. 定理10.1:设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线,则C 是可求长的,且弧长为:s=?'+'β α22(t)y (t)x dt. 证:对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n },并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1. 于是,与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’: α=t 0< t 1

弧长计算公式

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弧长计算公式 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长公式:n是圆心角度数,r是半径,a是圆心角弧度。 公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例:半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm) 拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周率)x r²【半径的平方(2次方)】/360

如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数,L为该扇形对应的弧长。) 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈ R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l

弧长计算公式

在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长公式:n是圆心角度数,r是半径,a是圆心角弧度。 公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例:半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm) 拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周率)x r²【半径的平方(2次方)】/360 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式

S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数,L为该扇形对应的弧长。) 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈ R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长 侧面展开图的圆心角求法:n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线,经常用的辅助线是链接圆心和切点的半径,得到直角,再用相关知识解题。

正多边形圆弧长公式及计算

正多边形和圆、弧长公式及有关计算 [学习目标] 1. 正多边形的有关概念;正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径,边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。b5E2RGbCAP 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,因此可采用作辅助圆的办法,解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形,具有以下性质: <1)半径<或边心距)的比等于相似比。 <2)面积的比等于边心距<或半径)的比的平方,即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆,因此画正n边形实际就是等分圆周。 <1)画正n边形的步骤: 将一个圆n等分,顺次连接各分点。 <2)用量角器等分圆 先用量角器画一个等于的圆心角,这个角所对的弧就是 圆的,然后在圆上依次截取这条弧的等弧,就得到圆的n等分点,连结各分点即得此圆的内接正n边形。p1EanqFDPw 5. 对于一些特殊的正n边形,如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式:,其中C为圆周长,R为圆的半径,把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7. n°的圆心角所对的弧的弧长: n表示1°的圆心角的度数,不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于,每个外角为,等于中心角。 二. 重点、难点: 1. 学习重点: 正多边形和圆关系,弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点: 解决有关正多边形和圆的计算,应用弧长公式。 【典型例题】 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是 < ) A. B. C. D. DXDiTa9E3d 解:如图所示,BF=2,过点A作AG⊥BF于G,则FG=1 又∵∠FAG=60°

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