等比数列的前n和教学设计

第四届全国高中青年数学教师优秀课大赛

教案设计

课题: 等比数列前n项和(第一课时) 执教人: 谢业建(139********)

单位: 安徽无为襄安中学

课题：等比数列的前n项和

（第一课时）

一教学目标:

1.知识与技能目标:

1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2过程与方法目标：

通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感与态度目标：

通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二教学重点：

等比数列项前n和公式的推导与简单应用。

三教学难点：

等比数列n项和公式的推导。

四教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

五教学过程：

1．创设情境，导入新课：

1）复习旧知，铺垫新知：

（1）等比数列定义及通项公式；

（2）等比数列的项之间有何特点？

说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n和埋下伏笔。2）问题情境，引出课题：

从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.

注：师生合作分别给出两个和式：

①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n和的问题但却感到不会解！

问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）

问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）

2．师生互动，新课探究：

如何求和：

注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要

启发：

1）等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和）

2）公比是多少？（2）

即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.

3）因此，如果两边……（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等

式两边同乘以公比2）

从而有：

3029432302222222++++++= T

师：如何求30T ？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他

们自己得出求解的方法：作差）

注：①学生解出30T ，并与30S 比较（到底能不能向富人借钱）。这种求和的方法

叫错位相减法。

②此处先不忙介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，后面还

有应用，体现从特殊到一般、学生自主探究教材的新教材理念。

如何求等比数列}{n a 的前n 项和n S ：

112111-++++=n n q a q a q a a S

注：①学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，

教师可放手让学生探究，并请学生上台板演。

②将112111-++++=n n q a q a q a a S 两边同时乘以公比q 后会得到

n n q a q a q a q a qS 131211++++= ，两个等式相减后，哪些项被消去，还

剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前n

项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师用多媒体予以突出强调，加深

印象！

③两等式作差得到)1()1(1n n q a S q -=-时，肯定会有学生直接得到

q

q a S n n --=1)1(1，师不忙揭露错误，等一会用练习反馈这个易错知识点，从而掌握公式的本质！

练习1. 用等比数列求和公式求和：

)

5100(555)23333)11009

329相加个 ++=++++=S S

注：此组练习目的：

① 熟悉等比数列求和公式的直接应用。

② ?,1公式还能用吗时公比=q

从而得到：等比数列}{n a 前n 项和n S 公式应为：??

???≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n . ③ 通过纠错的方式给出公式比平铺直叙方式得出公式的效果要好得多，学生通

过：自己推导出公式（不完整）──公式应用──得出矛盾──完整公式的过程，

很好地解决了本节课重、难点。

练习2.求和：

1)

.}{,192,2,6,}{)21n n n n S n a a q a a 项和前求中等比数列===

注：①练习1）中数列的项数的确定是很容易失误的地方，学生误解为是19项。

从而强调求和公式n S 中的“n ”指的是项数.另外，还要指出等比数列求和公式

中的公比q 的指数是“n ”，而等比数列通项公式11-=n n q a a 的公比q 的指数是

“1-n ”.

②练习2）的目的在于引出等比数列求和的第二个公式形式：

??

???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ，根据所给条件选择哪个求和公式进行求解。很多学生会根据条件先求出n ，再带到求和公式中去求n S ，而直接用n S 的另一

个公式去求，可使计算过程简化，从而自然引出这个知识点.

③ 求和公式中共有五个量：n n a n q a S ,,,,1，可用方程（组）思想：知三求二.

注：在不知道公比是否为1的情况下,利用等比数列求和公式求和时一定要

对公比要进行分类讨论,这是学生容易忽视的问题.

对于问题：

还可以这样考虑:

)221(2128++++=

)2(212930-+=T

123030-=∴T

问：从这种证法中，大家受何启发？

你能用这种方法证明等比数列的前n 项和公式吗？

注：此处给时间给学生思考、证明（并投影强调步骤）.

六 课堂小结

注：通过教师的提问和幻灯片的顺序播放，进一步巩固本节课的内容，并把整节

课的内容形成一个整体。

七 作业

第30页 第8题偶数题（基础题），第10题（应用提高题）；

课后探索：等比数列前n 项和n S 的其它证明方法。

八 板书设计