学校:____________________ _______年_______班 姓名:____________________ 学号:________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国III 卷
(全卷共12页)
(适用地区:广西、云南、四川)
注意事项:
1.
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。 2.
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.
回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷
一、 选择题:本题共12小题,每小题5分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==,则A C B =( )
A.{4,8}
B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}
D.{0,2,4,6,8,10}
(2)若43z i =+,则
z
z
=( ) A.1
B.1-
C.4355
i + D.4355
i - (3)已知向量13(,)2BA =u u u v ,31
(,),2
BC =u u u v 则ABC ∠=( )
A.30?
B.45?
C.60?
D.120?
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和
平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ,B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是
A. 各月的平均最低气温都在00C 以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均气温高于200C 的月份有5个
(5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是,,M I N 中的
一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.
815
B.18
C.
115
D.
130
(6)若1
tan 3
θ=
,则cos2θ=( ) A.45
-
B.15
- C.15
D.
45
(7)已知432a =,233b =,1
325c =,则( )
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
(8)执行右图的程序框图,如果输入的4,6a b ==,那么输出的n = ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
(9) 在ABC ?中,B =
1
,,sin 43
BC BC A π
=边上的高等于则( ) A.
310
B.10
C.
5 D.
310
(10) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则
该多面体的表面积为
A.18365+
B.54185+
C. 90
D. 81
(11) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球,若AB ⊥BC ,AB =6,
BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是 A. 4π B.
92π C. 6π D. 323
π
(12) 已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点,A ,B 分
别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 A.
13
B. 12
C.
23
D. 34
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题都必须作答。第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13) 若x ,y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??
--≤??≤?
则z =2x +3y –5的最小值为______.
(14) 函数sin 3cos y x x =-
的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到. (15) 已知直线:360l x y -
+=与圆2212x y +=交于,A B 两点,
过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,则CD = _______ .
(16) 已知()f x 为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x e x --=-,则曲线()y f x =在点(1,2)
处的切线方程式 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,211(21)20n n n n a a a a ++---=.
(I )求23,a a ; (II )求
{}n a 的通项公式.
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加
以说明;
(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃
圾无害化处理量. 附注: 参考数据:
7
1
9.32i
i y
==∑,7
1
40.17i i i t y ==∑7
2
1
()
0.55i
i y y =-=∑,≈2.646.
参考公式:1
2
2
1
1
()()
()(y y)
n
i
i
i n n
i
i
i i t t y y r t t ===--=
--∑∑∑
回归方程y a bt =+))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=
-∑∑),
=.a y bt -)))
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD 中,P A ⊥地面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC =3,P A=BC =4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (I )证明MN ∥平面P AB ;
(II )求四面体N BCM -的体积.
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C :2
2y
x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交
C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.
(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ; (Ⅱ)若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.
(21)(本小题满分12分)
设函数()ln 1f x x x =-+. (I )讨论()f x 的单调性;
(II )证明当(1,)x ∈+∞时,1
1ln x x x
-<
<; (III )设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x
c x c +->.
请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选
题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)
选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O中?AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交
于点G,证明OG⊥CD. (23)(本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为
3cos
sin
x
y
α
α
?=
?
?
=
??
(α为参数),
以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
2
C的极
坐标方程为sin()22
4
π
ρθ+=.
(Ⅰ)写出
1
C的普通方程和
2
C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
(24)(本小题满分10分)
选修4-5:不等式选讲
已知函数
()2f x x a a =-+.
(I )当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集; (II )设函数()21g x x =-,当x R ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国III 卷 答案
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)C (2)D (3)A (4)D (5)C (6)D (7)A (8)B (9)D (10)B (11)B (12)A
第II 卷
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。
(13)10- (14)3
π
(15)4 (16)2y x =
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由题意得4
1
,2132==
a a . .........5分 (Ⅱ)由02)12(112
=---++n n n n
a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .
因为{}n a 的各项都为正数,所以
2
1
1
=+n n a a
. 故
{}n a 是首项为1,公比为
2
1
学.科网的等比数列,因此1
2
1
-=
n n a . ......12分 (18)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
4=t ,
28)(7
1
2
=-∑=i i
t t
,
55.0)(7
1
2=-∑=i i
y y
,
89.232.9417.40))((7
1
7
1
7
1
=?-=-=--∑∑∑===i i i
i
i i i
i
y
t y t y y t t ,
99.0646
.2255.089
.2≈??≈
r . ........4分
因为
y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从
而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ............6分
(
Ⅱ
)
由
331.17
32
.9≈=
y 及
(
Ⅰ
)
得
103.028
89
.2)()
)((?7
1
2
7
1
≈=
---=∑∑==i i
i i i
t t
y y t t
b
, 92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a
. 所以,
y 学.科网关于t 的回归方程为:t y 10.092.0?+=. ..........10分
将2016年对应的9=t 代入回归方程得:82.1910.092.0?=?+=y . 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分 (19)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由已知得23
2
==
AD AM ,学.科网取BP 的中点T ,连接TN AT ,,由N 为PC 中点知BC TN //,22
1
==BC TN . ......3分
又BC AD //,故TN 平行且等于AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是AT MN //.
因为?AT 平面PAB ,?MN 平面PAB ,所以//MN 平面
PAB . ........6分
(Ⅱ)因为⊥PA 平面ABCD ,N 为PC 的中点, 所以N 到平面ABCD 的距离为
PA 2
1
. ....9分
取BC 的中点E
,连结
AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥,
522=-=BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5,故52542
1
=??=
?BCM
S . 所以四面体BCM N -的体积
3
5
4231=??=?-PA S V BCM BCM N . .....12分
(20)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(
2
2
b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ,则l 的方程为
0)(2=++-ab y b a x . .....3分
(Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab .
记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则
222111k b a
ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.
所以FQ AR ∥. ......5分 (Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2
,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF
-=--=-=??. 由题设可得2
21211b
a x a
b -=--,所以01=x (舍去),11=x .
设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得
)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而y
b a =+2
,学科&网所以)1(12≠-=x x y .
当
AB
与
x
轴垂直时,
E 与
D
重合.所以,所求轨迹方程为
12-=x y . ....12分
(21)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题设,()f x 的定义域为(0,)+∞,'1
()1f x x
=
-,令'()0f x =,解
得1x =. 当01x <<时,'
()0f
x >,()f x 单调递增;当1x >时,'
()0f x <,()
f x 单调递减. ………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 在1x =处取得最大值,最大值为(1)0f =.
所以当1x ≠时,ln 1x x <-. 故
当
(1,)x ∈+∞时,
ln 1
x x <-,
11
ln
1x x
<-,即
1
1ln x x x
-<
<. ………………7分 (Ⅲ)由题设1c >,设()1(1)x
g x c x c =+--,则'
()1ln x g x c c c =--,
令'
()0g
x =,
解得01
ln
ln ln c c x c
-=
. 当0x x <时,'
()0g
x >,()g x 单调递增;当0x x >时,'()0g x <,()g x 单
调递减. ……………9分
由(Ⅱ)知,1
1ln c c c
-<<,
故001x <<,又(0)(1)0g g ==,故当01
x <<时,()0g x >.
所以当(0,1)x ∈时,1(1)x
c x c +->. ………………12分 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
解:(Ⅰ)连结BC PB ,,则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.
因为
BP AP =,所以PCB PBA ∠=∠,又BCD BPD ∠=∠,所以
PCD BFD ∠=∠.
又PCD PFB BFD
PFD ∠=∠=∠+∠2,180ο,所以ο1803=∠PCD , 因此
ο60=∠PCD .
(Ⅱ)因为BFD PCD ∠=∠,学科.网所以ο180=∠+∠EFD PCD ,由此知E F D C ,,,四点共圆,
其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF 的垂直平分线上,故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心,所以G 在CD 的垂直平分线上,因此CD OG ⊥.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)
1C 的普通方程为2
213
x
y +=,
2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分
(Ⅱ)由题意,可设点P 的直角坐标为(
3,sin )αα,因为2C 是直线,所
以||PQ 的最小值,
即为P 到2C 的距离()d α的最小值,
|3cos sin 4|()2sin()2|32
d ααπ
αα+-=
=+-.
………………8分 当且仅当2()6
k k Z π
απ=+
∈时,()d α取得最小值,
2,此时P 的直角坐标为31
(,)22
. ………………10分
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)当2a =时,()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+≤,得13x -≤≤.
因此,()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 (Ⅱ)当x R ∈时,()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-
|212|x a x a ≥-+-+ |1|a a =-+,
当1
2
x =
时等号成立, 所以当x R ∈时,()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时,学.科.网①等价于13a a -+≥,无解.
当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分