2015年上海市高考数学试卷(理科)
一、填空题(本大题共有14题,满分48分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.1.(4分)(2015?上海)设全集U=R.若集合Α={1,2,3,4},
Β={x|2≤x≤3},则Α∩?UΒ=.
2.(4分)(2015?上海)若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z= .
3.(4分)(2015?上海)若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2= .
4.(4分)(2015?上海)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= .
5.(4分)(2015?上海)抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= .
6.(4分)(2015?上海)若圆锥的侧面积及过轴的截面面积之比为2π,则其母线及轴的夹角的大小为.
7.(4分)(2015?上海)方程log2(9x﹣1﹣5)=log2(3x﹣1﹣2)+2的解为.
8.(4分)(2015?上海)在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示).
9.(2015?上海)已知点 P和Q的横坐标相同,P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍,P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2.若C1的渐近线方程为y=±x,则C2的渐近线方程为.
10.(4分)(2015?上海)设f﹣1(x)为f(x)=2x﹣2+,x∈[0,2]的反函数,则y=f(x)+f﹣1(x)的最大值为.11.(4分)(2015?上海)在(1+x+)10的展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).
12.(4分)(2015?上海)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则Eξ1﹣Eξ2= (元).
13.(4分)(2015?上海)已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1<x2<…<x m≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f (x3)|+…+|f(x m﹣1)﹣f(x m)|=12(m≥12,m∈N*),则m的最小值为.
14.(2015?上海)在锐角三角形 A BC中,tanA=,D为边 BC上的点,△A BD及△ACD的面积分别为2和4.过D作D E⊥A B于 E,DF⊥AC于F ,则?= .
二、选择题(本大题共有4题,满分15分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.(5分)(2015?上海)设z1,z2∈C,则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又
非必要条件
16.(5分)(2015?上海)已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为()A.B.C.D.
17.(2015?上海)记方程①:x2+a1x+1=0,方程②:x2+a2x+2=0,方程③:x2+a3x+4=0,其中a1,a2,a3是正实数.当a1,a2,a3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是()
A.方程①有实B.方程①有实
根,且②有实根根,且②无实根
C.方程①无实根,且②有
实根D.方程①无实根,且②无
实根
18.(5分)(2015?上海)设 P n(x n,y n)是直线2x﹣y=(n∈N*)及圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=()
A.﹣1B.﹣C.1D.2
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(12分)(2015?上海)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点,证明A1、C1、F、E四点共面,并求直线CD1及平面A1C1FE所成的角的大小.
20.(14分)(2015?上海)如图,A,B,C三地有直道相通,AB=5千米,AC=3千米,BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地,经过t小时,他们之间的距离为f(t)(单位:千米).甲
的路线是AB,速度为5千米/小时,乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t=t1时乙到达C地.
(1)求t1及f(t1)的值;
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t1≤t≤1时,求f(t)的表达式,并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3?说明理由.
21.(14分)(2015?上海)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.
(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=2|x1y2﹣x2y1|;
(2)设l1及l2的斜率之积为﹣,求面积S的值.
22.(16分)(2015?上海)已知数列{a n}及{b n}满足a n+1﹣a n=2(b n+1﹣b n),n∈N*.
(1)若b n=3n+5,且a1=1,求数列{a n}的通项公式;
(2)设{a n}的第n0项是最大项,即a≥a n(n∈N*),求证:数列{b n}的第n0项是最大项;
(3)设a1=λ<0,b n=λn(n∈N*),求λ的取值范围,使得{a n}有最大值M及最小值m,且∈(﹣2,2).
23.(18分)(2015?上海)对于定义域为R的函数g(x),若存在正常数T,使得cosg(x)是以T为周期的函数,则称g(x)为余弦周期函数,且称T为其余弦周期.已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数,其值域为R.设f(x)单调递增,f(0)=0,f(T)=4π.(1)验证g(x)=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数;
(2)设a<b,证明对任意c∈[f(a),f(b)],存在x0∈[a,b],使得f(x0)=c;
(3)证明:“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解,”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”,并证明对任意x∈[0,T],都有f(x+T)=f(x)+f(T).
2015年上海市高考数学试卷(理科)
参考答案及试题解析
一、填空题(本大题共有14题,满分48分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.1.(4分)(2015?上海)设全集U=R.若集合Α={1,2,3,4},
Β={x|2≤x≤3},则Α∩?UΒ={1,4} .
考点:交、并、补
集的混合运
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专题:集合.
分析:本题考查集
合的运算,
由于两个集
合已经化
简,故直接
运算得出答
案即可.
解答:解:∵全集
U=R,集合