三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆

重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。

难点：知识的综合运用。

知识回顾：

1、什么是三角形的外接圆与内切圆

关系定义圆心实质半径图示

外接圆经过三角

形各顶点

的圆

外心

三角形各

边垂直平

分线的交

点

交点到三

角形各顶

点的距离

内切圆与三角形

各边都相

切的圆

内心

三角形各

内角角平

分线的交

点

交点到三

角形各边

的距离

2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆画圆的关键：确定圆心；确定半径

3、性质有哪些

(1)外接圆性质：

锐角三角形外心在三角形内部。

直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。

有外心的图形，一定有外接圆。

直角三角形的外心是斜边的中点。

外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

(2)内切圆性质：

三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。

一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2）

直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）

r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2

r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长

注意：

等边三角形的内心、外心重合。

主体部分：(未完成)

小结：

1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。

2、会画三角形的外接圆和内切圆。

3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。

4、有关证明题。

练习：

1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（）度。

2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（）度。

3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。

4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（）内切圆半径（2cm）。

5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 关系定义圆心实质半径图示外接圆 经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）

任意三角形的外接圆与内切圆半径

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。

例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则 CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝ AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?2 1公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 中考题 1.直角三角形的外接圆半径为5cm ，内切圆半径为1cm ，则此三角形的周长是( ) A 、24cm B 、 22cm

AutoCAD绘制三角形的内切圆

绘制三角形的内切圆 一、教学目标 1．掌握直线段的基本绘制方法。 2．掌握圆的绘制方法。 3．掌握对象捕捉的设置。 二、任务分析 每一张机械图样都是由简单的基本图形元素组成的，包括直线、圆、圆弧、矩形等，在AutoCAD 2007中掌握这些基本图形的画法是整个CAD绘图的基础。本任务将通过绘制如图2-1所示的“三角形内切圆”介绍在AutoCAD 2007中直线和圆的绘制方法以及精确捕捉绘图辅助工具的使用。 图2-1 三角形内切圆 三、实践操作 1．选择下拉菜单“文件”｜“新建”命令，新建一个“无样板公制”（acadiso）文件。 2．绘制任意三角形 （1）单击“绘图”工具栏的按钮，启动直线命令绘制第一条直线，命令行的显示操作如下： 命令: _line 指定第一点: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标左 键拾取一点，作为直线的起点指定下一点或[放弃(U)]: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标 左键拾取一点，作为直线的终点指定下一点或[放弃(U)]: // 按下回车键。结束操作，绘制结果如图2-2所示。

图2-2 第一条直线 （2）设置对象捕捉 “对象捕捉”功能是专用于精确捕捉图形对象特征点的工具，具体设置步骤如下： 1）移动鼠标光标到“状态栏”的按钮上，单击鼠标右键，系统弹出如图2-3所示下拉菜单。 图2-3 设置菜单 2）单击“设置”选项，系统会弹出“草图设置”对话框，此时系统在“对象捕捉”状态下。 3）在对话框上分别单击特征点选项前面的小方格，使系统默认的对象特征点“中点”“圆心”“延伸”“最近点”处于未选中状态（方格为是选中状态）。设置结果如图2-4所示。

任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 A B C O A B C O D A B C O D A B C O D E

三角形的内切圆(教学设计)

C B C B 4.7三角形的内切圆 【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真 正的阶梯是永远拼搏！ 【学习目标】 1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 【学习过程】 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已 知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； ②内心与外心类比： 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相 切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。

C 三.再攀高峰 探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？ 探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）． 四、达标测试 1．如图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么 ∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ． 65° D ． 70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（ ） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．如图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．下列命题正确的是（ ） A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B ．三角形的内心不一定在三角形的内部

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就 是直角三角形的斜边. 例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求 AABC 的外接圆的半径. 解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \ A ZC = 90° , .?.AB 为△ ABC 的外接圆的直径， ???△ABC 的外接圆的半径为. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求 AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析： 利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径 BD,连结AD. 则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90° .?沏=竺=旦 sinD sin 80° ??.△ABC 外接圆。。的半径为盘 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一 边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径. 例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10, ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90° ???△ABC 外接圆O0的半径为￥厲? ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接 圆00的半径. 分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD ?作AE 丄BC,垂足为E. 则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的， /.AD= AB 10 sinD sin 60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2 = 41 r c

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆 1、一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆 C ．四边形都有一个外接圆 D ．圆有且只有一个内接三角形 3.如右图，I 是ABC ?的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=?180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=?90+∠A/2 D 、∠BIC=?90-∠A/2 4、等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A ． 2 3 B ． 3 3 C ． 3 D ． 2 1 5.ABC ?外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ?的外心是ABC ?的 。 6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ． 7. 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． 8.ABC ?的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=?135，则ABC ?为 9、设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心 ，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。 10、．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。 11、如图11，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= 。 12、．如图12，⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C=90°，D 、E 、F 为切点。若∠AOC=120°，则∠OAC= ， ∠B= ；若AB=2cm ，则AC= ,△ABC 的外接圆半径= ，内切圆半径= 。 13、如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 14.已知：如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若 ∠FDE=70°，求∠A 的度数． A B C I E F 图11 A E B D O 图12 A B C O D · I A B C

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、 什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC ）。

(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）

三角形内切圆和外接圆(已整理)

圆一三角形外接圆、内切圆2018.12.16 3、 下列命题正确的是（） A .三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 三角形的内心不一定在三角形的内部 C. 等边三角形的内心，外心重合 D. —个圆一定有唯一一个外切三角形 4、 小颖同学在手工制作时，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上 ，若三角形的三个顶点恰好都 在这个圆上，则圆的半径为 _______________ 。 5、 等边三角形的外接圆的半径等于边长的 _____________ 倍。 6、 直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 _______________ ，内切圆半径为 ___________ . 7、 若三角形的三边长为 5、12、13,则其外接圆的半径等于 ________________ ，其内切圆的半径为 ____________ 。 &在平面直角坐标系中 A B 的坐标分别为 3,0、 0,4，则Rt ABO 内心的坐标是 _______________________ . 9、 如图，在 RtiABC 中，/ C=90°, BC=5 O O 与Rt 心ABC 的三边 AB BC AC 分相切于点 D E 、F ,若O O 的半径r = 2,贝V Rt ABC 的周长为 _____________________ . 10、 如图，O O 内切于 RtiABC ，/ C=90°, D E F 为切点。若/ AOC=120，贝U NOAC = , N B = _________ ；若 AB=2cm 贝U AC= , △ ABC 的外接圆半径 = ______ ，内切圆半径= _________ 。 11、 如图，已知 AABC , ￡B =40 . （1） 在图中，用尺规作出 「ABC 的内切圆O O,并标出O O 与边AB , BC , AC 的切点D , E , F （保留痕迹，不必 写作法）； （2） 连接EF , DF ，求Z EFD 的度数. 12、如图，AB 是O O 的直径，点 C 在AB 的延长线上，AD 平分/ CAE 交O O 于点D,且AE ± CD 垂足为点 E. （1）求证：直线 CE 是O O 的切线.（2）若BC=3 CD =3.2，求弦AD 的长. 1、三角形内心是 三角形外心是 ______________ 2、如图，在.'ABC 中，/ A=66° ,它是 ,它是 的交点。 I 是内心，则/ BIC 的大小为 B （2）「二 "（9） F （10）

三角形的外接圆和内切圆之欧阳光明创编

三角形的外接圆和内切圆 欧阳光明（2021.03.07） 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 关系定义圆心实质半径图示 外接圆经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。 (2)内切圆性质：

三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。

三角形的外接圆与内切圆半径的求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半 径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边 例 1 已知：在厶 ABC 中，AB= 13，BC= 12, AC= 5 求厶ABC 的外接圆的半径. 解：??? AB= 13 , BC= 12, AC= 5, ??? A B= BC+ AC, ???/ C = 90°, ? AB %A ABC 的外接圆的直径， ? △ ABC 的外接圆的半径为 6.5. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在△ ABC 中，AB= 10,/ C= 100°, 求厶ABC 外接圆O O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形. 解：作直径BD 连结AD. 则/ D= 180°-/ C= 80°,/ BAD= 90° ? BD A B = 10 sin D sin80° ? △ ABC 外接圆O O 的半径为 5 sin80° 角形的外接圆的半径 例 3 如图，已知，在△ ABC 中，AB= 10,/ A_ 70°,/ B_ 50° 求厶ABC 外 接圆O O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题 . 解：作直径AD 连结BD. 则/ D=/ C_ 180°-/ CAB- / BAC= 60°,/ DBA_90° ? AD=^ _d _ 20.3 sin D sin 60* 3 ? △ ABC 外接圆O O 的半径为10?、3. 3 ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知，在△ ABC 中，AC_ 2, BC_ 3,/ C_ 60° 求厶ABC 外接圆O O 的半径. 分析：考虑求出 AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直 径 AD 连结BD.作AE ± BC 垂足为E. 则/ DBA_ 90°,/ D_/ C_ 60°, CE_ - AC_ 1 , AE_、3 , 注：已知两边和其中一边的对角, 以及已知两角和一边, 都可以利用本题的方法求出三 C B C B

三角形的内切圆(教学设计)

C B C B D C 4.7三角形的内切圆 【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真 正的阶梯是永远拼搏！ 【学习目标】 1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 【学习过程】 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相 切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。

C 三.再攀高峰 探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？ 探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）． 四、达标测试 1．如图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么 ∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ． 65 ° D ．70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（ ） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．如图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．下列命题正确的是（ ） A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B ．三角形的内心不一定在三角形的内部

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切 圆 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆 关系定义 圆心实质半径图示外接圆 经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些 (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）

三角形的内切圆(1)

三角形的内切圆 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一． 难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质； （2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学． 教学目标： 1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动． 教学重点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．

教学活动设计 （一）提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？ 画出一个最大的圆？想一想，怎样画? 2、分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题： 例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分 析，寻找作法． 提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． 完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个． （二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、类比： 名称确定方法图形性质

三角形的外接圆及内切圆

三角形的外接圓及內切圓 學習階段：三 學習範疇：度量、圖形與空間範疇 學習單位：以演繹法學習幾何 基本能力： KS3-MS9-3 識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線簡介： 1.教師派發「三角形的外接圓及內切圓」工作紙。 2.學生利用Java檔案“Circle1.html”及“Circle2.html”去完成工作 紙。（此檔案需與其他在Circles.zip內的所有檔案放於同一folder 內才可執行，電腦亦需安裝了Java軟體。） 3.學生利用檔案“Circle1.html”，在Java的互動幾何的環境中， 拖拉一個圓的中心，令到圓通過其中兩個頂點。再透過電腦追蹤 中心點的軌跡，從而認識到圓心的軌跡是一條垂直平分線，再認 識到外接圓的中心是三條垂直平分線的相交點。 4.學生再利用檔案“Circle2.html”，在Java的互動幾何的環境 中，拖拉一個圓的中心，令到圓與其中兩條邊只相交於一點。再 透過電腦追蹤中心點的軌跡，從而認識到圓心的軌跡是一條角平 分線，再認識到內切圓的中心是三條角平分線的相交點。

學習單位：以演繹法學習幾何–「三角形的外接圓及內切圓」工作紙 三角形的外接圓及內切圓 題一：三角形的外接圓 開啟檔案“Circle1.html”，可看到以下畫面： 畫面顯示 ABC及一個通過B的圓，它的圓心O可被隨意拖拉到不同的位置。 1. 將O拖拉到不同的位置，令它通過B及C。電腦會以紅點記錄O的位置，並以紅 色虛線連起O及C，如圖1所示。 圖1 2. 若一個圓通過B及C，它的圓心O必須位於通過的 線上。

3. 將O拖拉到不同的位置，令它通過B及A。電腦會以綠點記錄O的位置，並以綠 色虛線連起O及A，如圖2所示。 圖2 4. 若一個圓通過B及A，它的圓心O必須位於通過的 線上。 5. 若一個圓通過A及C，它的圓心O必須位於通過的 線上。 6. 三角形的外接圓的圓心O是三角形的三條線的交點。 題二：三角形的內切圓 開啟檔案“Circle2.html”，可看到以下畫面： 畫面顯示 ABC及一個與AB只相交於一點的圓，它的圓心I可被隨意拖拉到不同的位置。

三角形的内切圆和外接圆

三角形的内切圆和外接 圆 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h) 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ， ∴AC AE AD AB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD 方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边 在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE ∴AE ＝AB/SinC ∴2R ＝AB/SinC 若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ） 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E. 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8 A B C O D E

三角形的内切圆和外接圆

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h) 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ， ∴AC AE AD AB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD 方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边 在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE ∴AE ＝AB/SinC ∴2R ＝AB/SinC 若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ） 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E. 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8 A B C O D E

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为 8 65. 例2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。 例3 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB ，然后用方法一或方法二解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°， ∠CAE ＝∠DAB ＝ 90°－ 60°＝30° CE ＝2 1AC ＝1，AE ＝ 3 ，AB=√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3 ) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥BC 于M ，则 AD 2－MD 2＝A M 2 ＝AC 2－(MD ＋CD)2．即 52－MD 2＝72－(MD ＋3)2． 得R ＝14， 则△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝196π． 例5 如图3，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上， 求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与x 轴的交点B 、C 的坐标； ③△ABC 的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9)； A B C O D E

三角形的内切圆教案

《三角形的内切圆》教案教学目标一、知识与技能1．使学生了解尺规作三角 形的内切圆的方法；2．理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形的概念；二、过程与方法通过作图操作，让学生经历三角形内切圆的产生过程1．；2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；三、情感态度和价值观；1．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心；2．通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性教学重点；三角形内切圆的概念和画法教学难点；三角形内切圆有关性质的应用教学方法引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 三角板，圆规，练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 二、新课学习 作圆,使它和已知三角形的各边都相切. 已知:△ABC(如图). 求作:和△ABC的各边都相切的圆. 作法: 1.作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3.以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆. 三角形与圆的位置关系 这样的圆可以作出几个?为什么? ∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?), .

并且只能作一个,三边都相切的圆可以作出一个ABC∴因此和△． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内心的性质： 1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 2、三角形的内心到三角形各边的距离相等; 例1：如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心, 求∠BIC的度数 三、结论总结 通过本节课的内容，你有哪些收获？