函数知识点及典型例题
函数知识点
一.图像及性质 1.一次函数 ①
图
像
：
y=kx+b(k
≠
0) y=kx(k ≠0,b=0)
①k>0 增 k<0 减 ②b ≠0一次函数，b=0正比例函数 2.二次函数 ①图像：
②a>0 开口向上，a<0开口向下 ③a>0最小值，a<0最大值 ④X 对称=-b
2a
⑤顶点坐标：（-b
2a
，244ac a b -）
⑥三种表达
形
式
222
(1)(2)4()24y a x x x x b ac b y a x a a y ax bx c =--??
??
-??
=++
??????=++??两点式顶点式一般式
3指数函数
①图像：y=x a （a>0且a ≠1）
②0
0a =1（a ≠0）③必过（0,1）④y>0
4对数函数
①图像：y=lo x a g （a>0且a ≠1）
②0
①图像：y=a x （a ∈R ）
②a<0 减函数，a>0 增函数 ③0
6对勾函数
①图像:y=x+ p
x
(p>0)
②顶点坐标-
二.定义域
1.给定解析式
（1）
1
2x
-
（2
）
2
()
x x
y
-
=（3
）
cos
l x
y g
=
2.已知f（x）定义域，求f（g（x））定
义域
（1）已知f（x）定义域为[-1
2
,1
2
],求
y=f(2x-x-1
2
)定义域
3.已知f(g(x))的定义域。求f(x)的定义
域
（1）若f(2x)的定义域为[-1,1],求f(x)
的定义域
（一）求函数定义域
例：(21)
f x-的定义域为[]
0,1,求(13)
f x
-的
定义域
1.求下列函数定义域
①
x
x
x
y
-
-
+
=
2
)1
(2
②)
4
5(
log
)1
(
x
x
y-
=
+
2.已知
6
lg
)3
(
2
2
2
-
=
-
x
x
x
f，则()
f x的定义域
是
3．（2013陕西理1）设全集为R，函数
2
1
)
(x
x
f-
=的定义域为M，则M
C
R
为
( )
.A]1,1
[-
.B)1,1
(-
.C)
,1[
]1
,
(+∞
-
-∞
.D)
,1(
)1
,
(+∞
-
-∞
4．（2013江西理2）函数)
1
ln(x
x
y-
=的
定义域为( )
.A)1,0(.B)1,0[
.C ]1,0( .D ]1,0[
5.（2013
山东文
5）函数
3
121)(++
-=x x f x
的定义域为( )
.A ]0,3(-
.
B ]
1,3(-
.C ]0,3()3,(---∞ .D ]1,3()3,(---∞
6.（2013重庆文3）函数)
2(log 1
2-=x y 的
定义域为( )
.A )2,(-∞ .B ),2(+∞ .C ),3()3,2(+∞ .D ),4()4,2(+∞
7.（2013
安徽文
11）函
数1
l n (11
y x
=++
的定
义
域
为
_____________.
（二）利用定义域求参数范围
例.)1lg(2++=ax x y 的定义域为R ，求a 的
范围？
练1.82)(2--=x x x f 的定义域为A ,
m
x x g --=
11)(的定义域为B ，Φ=?B A ,
求m 的取值范围？
练2.3
41
)(2
++=ax ax x f 的定义域为R ，求a 的范围
练
3.2
(1),1()41
x x f x x +
取值范围？
三.求函数的解析式
1.拼凑法:
例1.已知f(x+1
x )=3x +
3
1
x ,求f(x)
例2：2(1)()f x x f x -=,求
例3：，求
2换元法：
例1：已知f （2x
+1）=lgx,求f(x)的解析式
564)12(2+-=+x x x f )(x f
例2：2)1(x x f =-，求f （x ）
例3：，求
例4：x x x f 2)1(-=-
3.待定系数法：
例1:已知二次函数f(x)满足f （2+x ）=f(2-x),且f(x)=0的两实根平方和为10，f(x)的图像过点（0,3），求f(x)
例2：若()[]12-=x x f f ，则一次函数=
例3：二次函数满足，且。求的解析式；
4.直接代入法:
例：2
()(1)f x x f x =-,求
5消去法（解方程组法）
例1：23)(2)(+=--x x f x f ，求
例2：),0,,(,)1()(22b a c b a cx x
bf x af ≠≠=+，求
6特殊值法 例
)12()()(,,,1)0(,+--=-??=∈y x y x f y x f y x f R x 求 练：
22)(),()()(,,),(z x z x f y f x f y x f y x x f y -=-+=+??=
7函数性质求解析式 例：定义在R 上的奇函数，0x >时，
?)(),1()(=-=x f x x x f 求
8转移代入法
例：若函数()g x 与)1()(x x x f -=的图像关于
()2,0点成中心对称，求()g x 的解析式？
四.值域 1数形结合
（1）分段函数： y=|x-2|+|x+8|
564)12(2+-=+x x x f )(x f )(x f )(x f x x f x f 2)()1(=-+1)0(=f )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f
(2)直线与圆：已知2(3)x -+2y =6，求y x
的最值
2配方法 (1)y=
2
x -2x+5 x ∈[-1,2] (2)2cos sin 1y x x =++
(3) 421x x y =-+
(4) 22y=[f(x)]()f x +,已知 3f(x)=2+log x
,
x [1,9]∈
3.换元法
(1)y=y x =+
4.分离常数法 (1)一次分式：6
3
x y x +=-
(2)二次分式：2x+1
x y x
+=
5.判别式法
例1:22
58x+5
1x y x +=+
（定义域为R ）
例2：求函数1
2+=x x
y 的值域
例3：若点(,)P x y 在圆122=+y x 上，则2y x -的
最大值和最小值分别是？
6.均值不等式法：
例1:已知x<3,求函数4
()3
f x x x =
+-的最大值
例2：求函数)0(91
22≠++=x x
x y 的值域
例3：,032,,,=+-∈+
z y x R z y x 则xz
y 2
的最小
值为？
例4:求2
15
1122+++=x x x y 的值域
7单调性法
例1
: 1y x
=
例2
: 5210)x y x -=+≤≤
例3：求)22(log 22+-=x x y 的值域
例4：求函数122
2+-=x x y 的值域
例5:求函数)102(1log 235≤≤-+=-x x y x 的值域
8.导数法
已知32()3f x x ax x =--,
(1)若f(x)在区间[1,)+∞上是增函数，求a 的范围
(2)若x=-13
是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上最大值
9.反表示法（有界性）
(1)2
2
11x y x
-=+( 2x >=0) (2) 3cos 1cos x
y x
-=+(-1<=cos x <=1)
(3) 11x
x
e y e +=-
五.对称性与周期性
1.周期性:定义函数)(x f y =对于D x ∈?，若)()(x f T x f =+，则T 为)(x f 的一个周期，
满足条件的T 的最小值为最小正周期。
注：周期有正有负，)(),()(Z k x f kT x f ∈=±
三角函数:sin()y A x B w j =++，2T p
w
=
()()=02+2(2)(-)=()
2f x a f a x X x b x f x b f x X b ??
-=-=??????
-??+==????
（x-a+a-x ）对称轴（常数）对称轴常数
(2)(),2()(),21(),2()1(),2()()(),21() ()4?1()f x b f x T b f x a f x a T a f x a T a f x f x a T a f x f x a f x T a f x f x a T a f x +==????+=-=????+==??
????
??
+=-=????+=-=??
??+??+==-????
周期性例题:
例1.()f x 定义域为R ，1
(2)()
f x f x +=-，1
(2)8
f =-，求(2012)f 。
例2. ()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若23
(1)1,(2)1
a f f a ->=+ ,则a 的范围。
例 3.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-+，且[1,x ∈-时，2()2f x x x
=+ 求(3,5]x ∈时的解析式
例4.(2010重庆理15)已知函数()f x 满足：1(1)4
f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-?，则
(2010)f =____________．
例5.已知,x a R ∈，a 为常数，且
1()
()1()
f x f x a f x ++=-，则函数()f x 必有一周期
为( )
A ．2a
B ．3a
C ．4a
D ．5a
例6.（2013大纲文13）设)(x f 是以2为周期的函数，且当)3,1[∈x ，2)(-=x x f ，则=-)1(f
1. (2009山东理)定义在R 上的函数()f x 满足()f x =??
?
>---≤-0),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，则
)2009(f 的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.已知函数()f x 为偶函数，且
(2)(2)f x f x +=-当20x -≤≤时，()2x
f x =，
则(2010)f =（ ）
A ．2010
B ．
C ．-4
D ．4
3.（2006山东理）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为( )
A ．－1 B.0 C. 1 D.2
4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件
1
(2)()
f x f x +=
，若(1)5f =-则()()
5f f =______________
5.(2012浙江文16) 设函数)(x f 是定义在
R 上的周期为2的偶函数，当[]1,0∈x 时，
1)(+=x x f ，则)2
3
(f ＝________
6.已知在上是奇函数，且满足
，当时，，
则____________
7.定义在R 上的偶函数，满足
，且在区间上为递增，
则( )
A B
C. D .
8.(2012山东理8)定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+.当13-<≤-x 时，2
)2()(+-=x x f ；当31<≤-x 时，x x f =)(，
则=+++)2012()2()1(f f f ( )
A.335
B.338
C.1678
D.2012
f x f x y ()()与的图象关于轴对称- 联想点
（x,y ）,(-x,y)
f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点
（x,y ）,(x,-y)
f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点
（x,y ）,(-x,-y)
f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联
想点（x,y ）,(y,x)
f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联
想点（x,y ）,(2a-x,y)
f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称
--20
联想点（x,y ）,(2a-x,0)
将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→
????????>=+=-()()()()
()
00
2.对称性：轴对称：)(x f y =对于定义域内
任意一个x 值，若)()(x b f a x f -=+，则
)(x f y =关于2
b
a x +=
对称。 特别的当b a =时，即)()(x a f x a f -=+，则对称轴为a x =
点对称：)(x f y =对于定义域内任意一个x 值，若)()(x b f a x f --=+，则)(x f y =关于
)0,2
(
b
a +点对称。 例1.()f x 是定义在R 上以3为周期的偶函数，且(1)0f =，则方程()0f x =在区间()0,6内解的个数的最小值为？
()f x R (4)()f x f x +=(0,2)x ∈2()2f x x =(7)f =()f x (1)()f x f x +=-[1,0]
-(3)(2)f f f <
<(3)(2)f f f <
<(2)(3)f f f <
<(2)(3)f f f <<
例 2. ()f x 是偶函数，且(0)993f =，又()(1)g x f x =-为奇函数，则(2012)f =？
例 3.()f x 是定义在R 上的偶函数，(1)(1)f x f x +=-，当10x -≤≤时，()f x x =-，求(8.6)f =？
例4．()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 图像关于
1
2
x =对称，则
(1
)(
2
)(3)f f
f f f
+++
+=
例5.(2009山东理)已知定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间上有四个不同的根,则
例6.设定义在上的奇函数,满足对任意都有且时，，则的值等于( )．
A ．
B.
C.
C.
D.
例
7.已知函数，
的图象，
关于点对称，
等于（ ） A. B. C.
D.
1.(2010重庆理5) 函数41
(x)2
x x f +=的图
象（ ）
A ． 关于原点对称
B ． 关于直线y ＝x 对称
C ． 关于x 轴对称
D ． 关于y 轴对称
)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=R ()y f x =t R ∈()(1)f t f t =-1
[0,]2
x ∈2()f x x =-3(3)()2
f f +-2()22f x x x =-+2()
g x ax bx c =++()y f x =()y g x =(2,0)a b c ++55-11-
2.定义在R 上的函数()f x 满足：
()(4)f x f x -=-+，且2x >时()f x 递增，
124x x +<，12(2)(2)0x x --<，则12()()
f x f x +的值是（ ）
A ．恒为负数
B ．等于0
C ．恒为正数
D ．正、负都有可能 3.在R 上定义的连续偶函数()f x 满足
()(2)f x f x =-，在区间[1,2]上单调，且(0)(1)0f f <,则函数()f x 在区间[0,2010]
上零点的个数是 。
4.对于定义在实数集上的函数,若与都是偶函数，则 A.是奇函数
B.是奇函数 B.是奇函数
C.是偶函数
D.是奇函数 D.是奇函数
D.是奇函数 5.已知是奇函数，且满足
，当时,
，则在内是( )
A.单调增函数，且
B.单调减函数，且
C.单调增函数，且
B.单调减函数，且 D.单调减函数，且
6.已知函数
，
则实数值是_______
六.实数指数幂运算
1
n
n
a
a
-=
1m
a =
m n
a =
m n
a
-
=
.m
n
m n
a a
a
+= m m n
n
a a a -=
().m m m
ab a b = ()
n m
nm
a a =
七,对数运算
1.log b N a a N b ??→==←??（a>0,a ≠1）
2.
运算： ① .log log log M N M N a a a +=
②log log log M
M N N a
a
a
-=
③ log log n b b a
a n =
3换底公式：log log log b b
c
a
a c
= 推论：1log log b a a b = log log m
n
b b
a a m n
= 6对数恒等式：log N
a a N = 10log lg X
X = log ln X
X e = e=2.7
R ()f x ()f x (1)f x +()f x f x -(1)f x -(2)f x +f x +(2)f x +f x +()y f x =(1)(1)f x f x +=-(0,1)x ∈2
1
()log 1f x x
=-()y f x =(1,2)()0f x <()0f x >()0f x >f x >()0f x <)2()2()0(|1|log )(2x f x f a ax x f -=+≠-=满足a
八.指对函数对比
(0,1)x
y a a a =>≠ log (0,1)x a
y a a =>≠
定义域： 值域： 顶点： 单调性： 图像：
九.反函数
1.只有一一映射才存在反函数（任意x 都对应一个y ，任意y 都对应一个x ）
2.求y=f （x ）的反函数步骤 （1）用y 表示x
：y =
（2）x ，y 兑换1
21+x
()()x-1
f x y -==
（3）标明定义域 3性质 (1)y=f(x)定义
域
值域 y=1()
f x -定义
域
值域
（2）原与反关于y=x 对称
（3）单调性与奇偶性不变
（4）若y=f(x),x ∈(a,b)则y=1()f x -, x ∈(b,a) 十.奇偶性
（1）f(-x)=-f(x)奇函数 原点对称
f(-x)=f(x)偶函数 y 轴对称
① 1
1
x x a y a -=+
②
lg(y x =-
（2）
十一增减性
十二幂函数
幂函数一定会出现在一象限，不在四象限，二三看奇偶性，如果图像与坐标轴有交点，那么交点一定是原点十三数形结合思想
（一）平移变换：
Ⅰ、水平平移：函数()
y f x a
=+的图像可以把函数()
y f x
=的图像沿x轴方向向左
(0)
a>或向右(0)
a<平移||a个单位即可得到；
1）y=f(x) h
左移
→ y=f(x+h)；
2）y=f(x) h
右移
→y=f(x-h)；
Ⅱ、竖直平移：函数()
y f x a
=+的图像可以把函数()
y f x
=的图像沿x轴方向向上
(0)
a>或向下(0)
a<平移||a个单位即可得到；
1）y=f(x) h
上移
→y=f(x)+h；
2）2）y=f(x) h
下移
→y=f(x)-h。（二）翻转变换：
Ⅰ():()
y
y f x x x y f x
=揪轴
Ⅱ():()
y f x y y y f x
=揪x轴
Ⅲ(),:() y f x x x y y y f x
=揪井??=--
(0,0)
Ⅴ()
y f a x
=+与()
y f b x
=-关于
2
a b
x
+
=
对称
（三）伸缩变换：
函数()
y f ax
=(0)
a>的图像可以将函数
()
y f x
=的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)
a>或压缩（01
a
<<）为原来
的1a
倍得到。
画出下列函数或曲线的图像 (1). lg y x = (2).
lg y x =
(3).lg y x = (4).2y ＝|x |＋1
(5).232y x x =-+ (6).232y x x =-+
(7).y=|1|2x - (8).()15f x x x =++-
(9).()15f x x x =+--
1.(2009山东卷理)函数的图像
大致为（ ）
2.（2010辽宁）一给定函数)(x f y =的图
象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）
A B C D 3. (2009
安徽理
6
文
8)设
的图像可能是
( )
x x
x x e e y e e
--+=
-)()(,2b x a x y b a --=<函数
4.（2008年山东卷）函数l n c o s y x
=()2
2
x π
π
-
<<
的图像是（ ）
5. (2011山东理9)函数的图象大致是( )
6.(2012新课标理10)已知函数
1
()ln(1)f x x x
=
+-则)(x f y =的图像大致为
( )
7.（2008浙江卷）对,a b R ∈，记
()
max{,}()
a a
b a b b a b ≥?=?
()m a x {1
f x x x x =+-∈的最小值为（ ）
A.0 B 1
2
C. 32
D.3
8.(2009宁夏海南理12)用{}min ,,a b c 表示
,,a b c 三个数中的最小值设
)0}(10,2,2min{)(≥-+=x x x x f x ,则)(x f 的最大
值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
9.已知函数2()22(4)1f x m x m x =--
+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值
范围是( )
A. (0,2)
B.
(0,8)
C.(2,8)
D. (,0)-∞
10.（2008山东卷）已知函数
()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图
所示，则a b ，满足的关系是（ ）
2sin 2
x y x =
-
A.101a b -<<<
B.101b a -<<<
C.101b a -<<<-
D.
1101a
b --
<<
<
11. (2013
福建理5)函数()()2
l n
1f x
x =+的图像大致是
（ ） 12.（2013湖北文5）小明汽车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）
13 .（2013北京理5）函数)(x f 的图像向右平移1个单位长度，所得到的图像与曲
线x e y =关于y 轴对称，在=)(x f ( )
.A 1
+x e
.
B 1-x e
.C 1+-x e .D 1--x e
14.（2013辽宁理11）已知函数)(x f 满足
2
2)2(2)(a x a x x f ++-=，
8)2(2)(22+--+-=a x a x x g 。
设
)}
(),(m ax {)(1x g x f x H =，
)}(),(m in{)(2x g x f x H =（),max(q p 表示q p ,中
的较大值，),min(q p 表示q p ,中的较小值），
记)(1x H 的最小值为A ，)(2
x H 的最大值为
B ，则=-B A ( )
.A 16 .
B 16
-
.C .D
（四）：用数形结合思想求方程根的个数 现象：
根与零点（个数、位置判断与求解） 解法：
方法1（小题）：列方程，将不同
性质的函数分到“=”两边，分别画两个函数的图像，图像交点的个数就是根（零点）的个数，交点很坐标的位置就是根（零点）的位置。
方法2（大题）：将组成方程的所
有式子移到“=”左边，设左边式为函数式，讨论函数单调性，画函数的趋势图像，根据零点的个数和位置，列图像（极值与区间端点对应的函数值）的等价不等式。
1622--a a 1622-+a a x
例1：()sin f x x x =-的零点个数
例2：.函数x
x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ）
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(e
1
,1) D.(+∞,e )
例3：(2011新课标文10)在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( )
A.1(,0)4- B 1(0,)4 C.11
(,)42
D.13(,)24
例4：（2009辽宁理9）若满足225x x +=,
满足222l o g (1)5x x +-=, +＝( )
A. B.3
C. D.4
例5：已知是以2为周期的偶函数，
且当]1,1[-∈x 时，x x f -=)(，则)(x f y =与
x
y 1
log 9
=的图像的交点个数为（ ） A ． 6 B ．7 C ．8 D ．9
例6：(2011新课标文12)已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数|lg |y x =的图像的交点共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.1个
1.（2011
天津卷）设函数
)0(ln 3
1
)(>-=
x x x x f ，则()y f x =( ) A.在区间),1(),1,1
(e e
内均有零点。
A. 在区间),1(),1,1
(e e 内均无零点。
B. 在区间)1,1
(e 内有零点),1(,e 内
无零点。
C. 在区间)1,1
(e
内无零点),1(,e 内
有零点。
2.（2013湖南理5）函数x x f ln 2)(=的图
像与54)(2+-=x x x g 的图像的交点个数为( )
.A 3 B 2
.C 1 .D 0
1x 2
x 1x 2x 5
272
)(x f
3.（2013天津理7）函数1
log 2)(2
1-=x x f x 的零点的个数是( )
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4
4.(2010天津)函数()23x f x x =+的零点所
在的一个区间是( )
A.（-2，-1）
B.（-1，0）
C.（0，1）
D.（1，2）
5.方程lg 3x x +=的解所在区间为( )
A(0，1) B(1，2)
C(2，3) D(3，+∞)
6．(2011陕西理6)
函数()cos f x x =在
[0,)+∞内( )
A.没有零点
B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两一个零点
D.有无穷个零点 7．（2010
浙江卷）设函数
,
)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函
数)(x f 不存在零点的是( )
A.][2,4--
B. ][0,2-
C .][2,0 D. ][4,2
8．（2010上海理）若0x 是方程1
31()2
x
x =的
解，则0x 属于区间( ) A.(2
3
,1) B.(12
,23
)
C.(13,12)
D.(0,13
)
9．（2009山东理）若函数()x f x a x a
=--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的
取值范围是 .
10.若偶函数)(x f 满足)
()2(x f x f =+且时，则方程x x f 3log )(=的零点个数是（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．3个
D ．多于4个
11.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，
又是周期函数，T 是它的一个正周
期．若将方程f (x )=0在闭区间上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5
12.(2011山东理16)已知函数f x （）=log (01).a x x b a a ＞，且+-≠当234
a b <<<<时，函数f x （）的
零点*0(
,1),,x n n n N n
则∈+∈= .
13. (2011辽宁文16）已知函数
()R x ∈[]1,0∈
x (),x x f =[],T T -
有零点，则的取值范围是___________．
14. (2012辽宁理11) 设函数))((R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)2()(x f x f -=，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =.又函数)cos()(x x x g π=则函数
)()()(x f x g x h -=在??
?
???-2
3,21上的零点个数为
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
15. (2011新课标理12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4
C.6
D.8
16.（2010福建理4）函数
的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
17.(2010新课标理11)已知函数
若互不相等，且
)()()(c f b f a f ==则的取值范围是
( )
A ．
B ．
C. D ．
18.（2013安徽文10）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，
若112()f x x x =<，则关于x 的方程
2
3(
())2()0f x a f x b ++=的不同实根个数为
( ) 3.A .B 4
5.C
6.D
19.（2013重庆理6）若c b a <<，在函数
)
)(())(())(()(a x c x c x b x a x b x x f --+--+--=的两个零点分别位于区间( )
.
A )
,(b a 和
)
,(c b 内
.B ),(a -∞和),(b a 内 .
C )
,(c b 和
)
,(+∞c 内
.D ),(a -∞和),(+∞c 内
20.（2010全国卷I 理15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
a x e x f x +-=2)(a 1
1
y x =
-2sin (24)y x x π=-≤≤2x +2x -3,x 0
x )=-2+lnx ,x >
0f ?≤?
?（|lg |,010,
()16,10.2
x x f x x x <≤??=?-+>??,,a b c a b c (1,10)()5,6(10,12)(20,24)1y =2y x x a =-+a
十四映射：
1.映射: A B 的概念.在理解映射概念时要注意： ⑴A 中元素必须都有象且唯一； ⑵B 中元素不一定都有原象(B 中元素可以无原象) ，但原象不一定唯一（A 中不同元素在B 中可以有相同的象）
.
例1：设是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是
A 、M 中每一个元素在N 中必有象
B 、N 中每一个元素在M 中必有原象
C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的
D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；
例2：点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________（答：（2，－1））；
例3若，，，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）；
例4：若A 中含有m 个元素B 中含有n 个
元素，从A 到B 能建立多少个映射？（）
例5：设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个（答：12）；
例6：设是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}）.
2.函数: A B 是特殊的映射.特殊在定
义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.
例1：已知函数，，那么集合
中所含元素的个数有 个（答：0或1）； 例2：若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ （答：2） f →:f M N →(,)a b f (,)a b a b -+f (3,1){1,2,3,4}A ={,,}B a b c =,,a b c R ∈m n {1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=:f M N →x M ∈()x f x +f 2
:f x x →A B Φf →x y ()f x x F ∈{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=2
1242y x x =-+[2,2]b b
高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} 2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( ) 第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?， 1 2x y =，31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x ==???时，在实数范围 内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称 点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 指数函数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化： 题组一：根式化为分数指数幂 （1）化简=________．(2) 计算=________． (3)若a＜0，则=________． (4)的值为（） 题组二：运用分数指数幂进行化简： （1）下列各式中错误的是（） 1. A. B. C. D. 2.化简（）×（-）÷（）的结果（） A. 6a B. C. D. 3.（1）计算：（2）化简：． (3)（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0． 题组三：指数式的条件求值问题： 1.已知，求下列各式的值(写出过程)： （1） (2) (3)= 2.（1）已知，求的值．（2）已知2x+2-x=3，则 4x+4-x= ______ ． 题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： ；； 2.已知，则a，b，c三者的大小关系是 A. B. C. D. 3.已知，b=，c=，则（） A. B. C. D. 题组五：指数函数过定点问题; 1．函数f（x）=2-a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（） A. B. C. D. 2.函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______ ． 3.函数y(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______ 4.题组六：指数函数解方程（或不等式）; 1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|＜（）x＜1}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.（1）不等式的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______ (3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围 3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ ． 题组七：指数函数有关图像问题; 1.函数其中且的图象一定不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（） A. , B. , C. , D. , 智立方教育高一函数知识点及典型例题 一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射2、函数 构成函数概念的三要素①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例1、例2、}3 0| { }, 2 0| {≤ ≤ = ≤ ≤ =y y N x x M给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 由题意知：M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}， 对于图①中，在集合M中区间（1，2]的元素没有象，比如f（ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意； 对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确； 对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确； 对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x=1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例1、y = 函数的定义域为 根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
第一章-集合与函数概念教案典型例题
初二函数知识点及经典例题.
必修一指数函数各种题型大全最新版
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题
(word完整版)高中函数典型例题.doc
指数函数知识点总结
函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)
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指数与指数函数题型归纳(非常全)
高中函数部分知识点及典型例题分析