证明Mahalanobis距离符合距离三公理,即
1． 证明Mahalanobis 距离符合距离三公理，即
（1）()()a b r b a r ,,=；
（2）当且仅当b a =时，()0,=b a r ；
（3）()()()c b r b a r c a r ,,,+≤。
2． 设()()212121,,∑=∑≠=k P P μμωω，试问按最小错误率的贝叶斯决策，其分界面是
否为线性。
3． 二维正态分布()()T T 0,1,0,121=-=μμ，????
??????--=∑??????????=∑121211,12121121，试求其决策域划分。
4．证明正态等协方差条件下，Fisher 线性判据等价于贝叶斯决策。
5．有七个二维向量分属两类，其中属1ω的是(1,0),(0,1)及(0,-1)；属2ω的有(0,0),(0,2),(0,-2),(-2,0)，试由上述样本集画出最近邻法决策面。
6．试以k=3证明()()X e P X e P k N k N ||2-∞→∞→≤。
7．回答有关剪辑近邻法的下列问题
（1） 试画出剪辑近邻法的算法流程图；
（2） 设剪辑前的样本概率密度函数为()2,1,|=i x P i ω，试问经剪辑近邻法处理后，各点的
概率密度数()2,1,|=i x Q i ω与原概率密度的关系；
（3） 试分析剪辑近邻法在样本数据很大时， 错分率可进一步减小的原因；
（4） 计算使用剪辑后样本的渐近错误率。
卫生防护距离计算公式
1.1 恶臭 恶臭污染物是指一切刺激嗅觉器官引起人们不愉快及损坏生活环境的气体物质。本项目恶臭主要来源于兔舍及堆粪池。根据本项目特点，恶臭源在场区分布面较广，以低矮面源形式排放，属无组织排放。根据对同规模养殖场场界恶臭浓度的监测，本项目养殖场恶臭中臭气场界浓度小于70，满足《畜禽养殖业污染物排放标准》（GB18596-2001）中表7中恶臭污染物排放标准，恶臭中NH3、H2S的场界浓度满足《恶臭污染物排放标准》（GB14554-93）中二级新扩改建排放标准要求。 依据《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》（GB/T13201 -91）中的规定，对无组织排放源与居住区之间应设置卫生防护距离，卫生防护距离计算公式为： 式中：C m：标准浓度限值，mg/m3； L：工业企业所需卫生防护距离，m； r：有害气体无组织排放源所在生产单元的等效半径，m。根据生产单元占地面积S（m2）计算，r=（S/π）0.5； A，B，C，D：卫生防护距离计算系数，无因次。根据项目所在地区近五年平均风速及工业企业大气污染源构成类别确定，v=2.1m/s，L≤ 1000m，工业企业大气污染源构成类型为Ⅲ类，取值A=350，B=0.021，C=1.85，D=0.84。 Q c：工业企业有害气体无组织排放量可以达到的控制水平，kg/h。 本项目恶臭污染源的卫生防护距离计算参数见表14。 表 14 本项目恶臭污染源卫生防护距离计算参数一览表 经计算，本项目运营期间产生并呈面源无组织排放恶臭中NH3和H2S的卫生防护距离均为50m，同时考虑《畜禽养殖业污染防治技术规范》（HJ/T81-2001）中的相关要求，新建、改建、扩建的畜禽养殖场选址场界与禁建区域边界最小距离不得小于500m 的要求，因此确定本项目卫生防护距离为500m。另据调查，
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
2017八年级数学两点距离公式.doc
§19.10 两点的距离公式 教学目标： 1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法，掌握两点之间距离公式。 2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。 3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。 教学重点、难点： 重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用 难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导 教学过程： 1、复习引入： 已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1) 求①B 、C 两点的距离 X 轴或平行于X 轴的直线上的两点 的距离AB= ②A 、C 两点的距离 Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点 的距离CD= ③A 、B 两点的距离 2、探求新知： 任意两点之间距离公式 y)B(),A 21，、（x y x | | 21x x - )y D(),C 21，、（x y x | | 21y y -
如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（ 3、练一练： 求下列两点的距离 （1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-3,5)和D （7,-2） 4、例题讲解： 例1、已知坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？ 例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1) ① 点P 在x 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 变一变：②点P 在y 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 5、归纳总结： 6、布置作业：
距离计算方法
1.欧氏距离(Euclidean Distance) 欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离： (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离： (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离： 也可以用表示成向量运算的形式： 2.曼哈顿距离(Manhattan Distance) 从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。 (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离 (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离 5.标准化欧氏距离(Standardized Euclidean distance ) (1)标准欧氏距离的定义
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是： 标准化后的值= (标准化前的值－分量的均值) /分量的标准差 经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式： 如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。 7.夹角余弦(Cosine) 有没有搞错，又不是学几何，怎么扯到夹角余弦了？各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。 (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式： (2)两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦 类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。 即：
视距测量计算公式
如图8-5所示，如果我们把竖立在B 点上视距尺的尺间隔MN ，化算成与视线相垂直的尺间隔M ′N ′，就可用式（8-2）计算出倾斜距离L 。然后再根据L 和垂直角α，算出水平距离D 和高差h 。 从图8-5可知，在△EM ′M 和△EN ′N 中，由于φ角很小（约34′），可把∠EM ′M 和∠EN ′N 视为直角。而∠MEM ′=∠NEN ′=α，因此 ααααcos cos )(cos cos MN EN ME EN ME N E E M N M =+=+='+'='' 式中M ′N ′就是假设视距尺与视线相垂直的尺间隔l ′， 图8-5 视线倾斜时的视距测量原理
MN 是尺间隔l ，所以 αcos l l =' 将上式代入式（8-2），得倾斜距离L αcos Kl l K L ='= 因此，A 、B 两点间的水平距离为： αα2cos cos Kl L D == （8-4） 式（8-4）为视线倾斜时水平距离的计算公式。 由图8-5可以看出，A 、B 两点间的高差h 为： v i h h -+'= 式中 h ′——高差主值（也称初算高差）。 α ααα2sin 2 1 sin cos sin Kl Kl L h = ==' （8-5） 所以 v i Kl h -+=α2sin 2 1 （8-6） 式（8-6）为视线倾斜时高差的计算公式。
二、视距测量的施测与计算 1．视距测量的施测 （1）如图8-5所示，在A 点安置经纬仪，量取仪器高i ，在B 点竖立视距尺。 （2）盘左（或盘右）位置，转动照准部瞄准B 点视距尺，分别读取上、下、中三丝读数，并算出尺间隔l 。 （3）转动竖盘指标水准管微动螺旋，使竖盘指标水准管气泡居中，读取竖盘读数，并计算垂直角α。 （4）根据尺间隔l 、垂直角α、仪器高i 及中丝读数v ，计算水平距离D 和高差h 。 2．视距测量的计算 例8-1 以表8-1中的已知数据和测点1的观测数据为例，计算A 、1两点间的水平距离和1点的高程。 解 ()[]m 14.15784812cos m 574.1100cos 2 2 1 ='''?+??==αKl D A v i Kl h A -+=α2sin 2 1 1
声学计算公式大全
当声波碰到室内某一界面后（如天花、墙），一部分声能被反射， 一部分被吸收（主要是转化成热能），一部分穿透到另一空间。 透射系数： 反射系数： 吸声系数： 声压和声强有密切的关系，在自由声场中，测得声压和已知测点到声源的距离，就可计算出该测点之声强和声源的声功率。 声压级Lp 取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp为：
听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB 能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB 听觉上限： P=20N/m2 为120dB 1、声压级Lp 取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp为： 听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB 能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB 听觉上限： P=20N/m2 为120dB 2、声功率级Lw 取Wo为10-12W,基准声功率级 任一声功率W的声功率级Lw为： 3、声强级： 3、声压级的叠加 10dB+10dB=? 0dB+0dB=? 0dB+10dB=? 答案分别是：13dB,3dB,10dB.
几个声源同时作用时，某点的声能是各个声源贡献的能量的代数和。因此其声压是各声源贡献的声压平方和的开根号。 即： 声压级为： 声压级的叠加 ?两个数值相等的声压级叠加后，总声压级只比原来增加3dB，而不是增加一倍。这个结论对于声强级和声功率级同样适用。 ?此外，两个声压级分别为不同的值时，其总的声压级为
两个声强级获声功率级的叠加公式与上式相同 在建筑声学中，频带划分的方式通常不是在线性标度的频率轴上等距离的划分频带，而是以各频率的频程数n都相等来划分。 声波在室内的反射与几何声学 3.2.1 反射界面的平均吸声系数 （1）吸声系数：用以表征材料和结构吸声能力的基本参量通常采用吸声系数，以α表示，定义式： 材料和结构的吸声特性和声波入射角度有关。
两点间的距离公式
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. ∴|AB |=212212） （）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ???? ++=++=λλλλ1121 21y y y x x x ，（λ≠－1）. 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，?? ?+='+='. k y y h x x ， 特别提示 1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P 点分21P P 成的比为λ，则OP = λ+111OP +λ λ +12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 A.y =f （x +1）－2 B.y =f （x －1）－2 C.y =f （x －1）+2 D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设a =（h ，k ），由平移公式得 ? ? ?-'=-'=????=-'=-'，， k y y h x x k y y h x x
两点之间距离公式
两点之间距离公式（第一课时） 【教学目标】 1、知识与能力目标：了解在坐标轴上两点间距离公式的推导，并能够运用此公式求解问题。在具体的情景过程中运用公式。 2、过程与方法目标：用生活的事例引导学生思考如何解决问题，然后在思考的过程中寻找解决方法，总结结论。激发学生自主思考，勤动脑的自我意识。 3、情感态度与价值观目标：通过生活中的例子，鼓励引导学生主动思考，激发起对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的归纳总结的能力。 【教学重点】 在坐标轴上两点间距离公式的归纳总结与运用． 【教学难点】 在坐标轴上两点间距离公式的归纳总结. 【教学过程】 (一)复习 数轴的三要素：原点、方向、单位长度。 3的几何意义：点3到坐标原点的距离。 3 的几何意义：点-3到坐标原点的距离。 (二) 引入 本章探讨一个问题： 求家里安装的路由器信号覆盖范围? 此问题转化为点到点的距离求解。 （三)新课 蹭网犯法吗？
按照我国《电信管理条例》第五十九条，盗接他人电信线路，复制他人电信码号，使用明知是盗接、复制的电信设施或者码号，属于扰乱电信市场秩序的行为，公安机关可据此追究其相应的法律责任。” 《刑法》第286条：违反国家规定，对计算机信息系统功能进行删除、修改、增加、干扰，造成计算机信息系统不能正常运行，后果严重的，处五年以下有期徒刑或者拘役；后果特别严重的，处五年以上有期徒刑。 首先看一个题。 求路由器的覆盖范围？（引出新课）【板书标题】 讲授本节新课。 例1 求：M 1与M 2的距离？ 若设点M 1 与 M 2 的坐标分别为x 1与x 2 ，则上述公式用字母如何表 示？ 12 米 9米 123374 M M ==答：7-=-x 0 3 7 1M 2M
两点距离公式专项练习(精.选)
第13课 两点间距离公式 一、新知探究： 试一试，求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A - （3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A （5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A 总结： 若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ， 1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是 2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是 3、点1P 到原点的距离是 ，点2P 到原点的距离是 探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP
例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。 （1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA 例2 已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3）， 求AB 边上的中线CM 的长； 练习：
1.22(1)(2)a b ++-( ) ()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离 2.已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1）A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） （3）A （5，10），B （-3，0） （4）A （-3，-1），B （5，7） 3.已知点A （-1，-1），B （b ,5）,且AB =10，求b . 4.已知A 在y 轴上，B （4，-6），且两点间的距离AB =5，求点A 的坐标 5.已知A （a ,-5），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB=17，求a 。 6.已知A （2，1）,B （-1，2）,C （5,y ）,且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度 巩固提高：
地球上两点的经纬度计算他们距离的公式
假设地球是一个标准球体，半径为R,并且假设东经为正，西经为负, 北纬为正，南纬为负，则A(x,y) 的坐标可表示为( R*cosy*cosx, R*cosy*sinx,R*siny ) B(a,b)可表示为(R*cosb*cosa ,R*cosb*sina,R*sinb) 于是，AB 对于球心所张的角的余弦大小为 cosb*cosy*(cosa*cosx+sina*sinx)+sinb*siny=cosb*cosy*cos(a -x)+s inb*siny 因此AB 两点的球面距离为 R*{arccos[cosb*cosy*cos(a-x)+sinb*siny]} 注：1.x,y,a,b都是角度，最后结果中给出的arccos因为弧度形式。 2.所谓的“东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负”是为了计算的方便。 比如某点为西京145°，南纬36°，那么计算时可用(-145 °,- 36 °) 3.AB对球心所张角的球法实际上是求＜0A＞和＜0B＞两向量的夹角 K。 用公式
假设地球是个标准的球体：半径可以查出来，假设是 如图： 关于用经纬度计算距离： 地球赤道上环绕地球一周走一圈共 40075.04公里，而@一圈分成360°而每1°度）有60,每 一度一秒在赤道上的长度计算如下： 40075.04km/360 ° =111.31955km 111.31955km/60=1.8553258km=1855.3m 而每一分又有 60秒,每一秒就代表1855.3m/60=30.92m 任意两点距离计算公式为 d = 111.12cos{1/[sin ① Asin ①十 cos ① Acos ① Bcos （入 B —入 A ）]} 其中A 点经度，纬度分别为 入A 和①A, B 点的经度、纬度分别为 入B 和①B, d 为距离。 至于比例尺计算就不废话了 R: 7\ 0 - / / / / / ■ / / / / P 要算出A 到B 的球面距离，先要求出 A 跟B 的夹角，即角 AOB ， 求角AOB 可以先求AOB 的最大边AB 的长度。在根据余弦定律可以求夹角。 AB 在三角形AQB 中，AQ 的长度可以根据 BQ 在三角形BPQ 中，BP 和PQ 可求，角 度也可以求出来， 所以AB 的长度是可以求出来的。因为三角形 知道了角AOB 后，AB 的弧长是可以求的。 这样推出其公式就不难了 AB 的纬度之差计算。 BPQ 可以根据两者的经度求出，这样 ABQ 是直角三角形，已经得到两个边 BQ 的长
坐标公式大集合(两点间距离公式)
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
经纬度距离公式
地球表面两点间距离公式 陕西省榆林市第二实验中学 艾东宁 摘要：本文用几何的方法得出地球表面两点间距离公式。这是地理中的一个基本公式，在许多方面都有应用。 关键词：球面 距离 经纬度 圆心角 已知地球表面两点A ),(11j w 、B ),(22j w ，求两点间球面距离。（w 为纬度，j 为经度。） 解： 如图。 a 、 b 为A 、B 两点所在的经线平面，l 为地轴，MO 、 NO 为赤道平面与此二面角的交线，O 为地心，地球半径 为R 。 过A 作AC ⊥l ，过C 作DC ⊥l ，BD ∥l 。 在△ACD 中， AC=1cos w R ? DC=2cos w R ? ∠ACB=21j j - 据余弦定理可得： 22212 )cos ()cos (w R w R AD ?+?=)cos(cos cos 221212 j j w w R -?- 又21sin sin w R w R BE DE DB ?+?=+= 因△ABD 为Rt △， 故222DB AD AB += =2AB 22R )cos(cos cos 221212 j j w w R -?-212 sin sin 2w w R + 在△AOB 中，知道AB ，且AO=BO=R 。设∠AOB=α 由余弦定理可得：=αcos 212121sin sin )cos(cos cos w w j j w w -- 若经度东为正、西为负、纬度北为正、南为负，则公式为： =αcos 212121sin sin )cos(cos cos w w j j w w +- arccos =α〔212121sin sin )cos(cos cos w w j j w w +-〕 α为A 、B 两点所成的球心角。
两点之间距离公式
两点之间距离公式 例题1、已知点()0,2-A 、()0,3B ，在y 轴上求一点C ，使△ABC 是直角三角形。 例题2、已知点()0,3A 、()0,1B ，在正比例函数x y =的图像上求一点C ，使△ABC 是等 腰三角形。 例题3、△ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且 2 2AB DC BD AD =?+， 求证：△ABC 为等腰三角形。
例题4、已知在△ABC 中，AC AB =，∠?=120BAC ，点()0,1-B ，点()0,3C ，求点A 。 练习：1、以点()2,1A 、()1,2--B 、()1,4-C 为顶点的三角形是 三角形。 2、点()3,a A 、()1,3+a B 之间的距离为5，则a 的值为 ； 3、若点P 在第二、四象限的平分线上，且到()3,2-Q 的距离为5，则点P 的坐标为 。 4、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为()2,5--A 、()3,2B 、()2,4-C ，则△ABC 的面 积为 ； 5、已知点()3,0A 、()1,0-B ，△ABC 是等边三角形，求点C 的坐标。 6、已知点()2,2A 、()1,5B 。 （1）求A 、B 两点的距离； （2）在x 轴上找一点C ，使BC AC =。
7、已知直角坐标平面内的点()1,4A 、()3,6B ，在坐标轴上求点P ，使PB PA =。 8、已知直角坐标平面内的点()m P ,4，且点P 到点()3,2-A 、()2,1--B 的距离相等， 求点P 的坐标。 9、已知直角坐标平面内的点?? ? ??23,4A 、()3,6B ，在x 轴上求一点C ，使得△ABC 是等腰 三角形。
8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)
8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
【课题】8．1 两点间的距离公式及中点公式 【教材说明】 本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。 【教学目标】 知识目标： 1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程． 2. 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式． 能力目标： 用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力． 情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生的思考能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度． 【教学重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用． 【教学难点】 两点间的距离公式的理解． 【教学备品】 三角板． 【教学方法】 讨论合作法 【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学设计】 针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣。在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生本身的专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对一些曲线方程有充分的了解。同时在教学中经常用分组讨论法，探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上． 大海中有两个小
地球上两点间距离的计算公式
[两点间的球面距离公式]地球上两点间距离 的计算公式 篇一: 地球上两点间距离的计算公式 地球上两点间的距离 赖宝锋 假设地球是一个椭球体，南北长，东西短，用水平面去截椭球，得到的都是圆面。（］设地 ????心为原点，记为O，北极记为N，南极记为S，以NS为Z 轴，NS为Z轴正方向。过O ????作垂线，交本初子午线于A，以OA为X轴正方向。按右手定则再建立Y轴，成立体正交 坐标系。以北纬为正，南纬为负，东经为正，西经为负。假设南北两极距离为2a，赤道半径为b。那么地球球面方程为 x2y2 z2 b2?b2?a2?1 任取地球球面上一点P，假设纬度为?，经度为?，?? 2???? 2，??????，则 sin??
sin2??z2 x2?y2?z2 又 x2y2z2 b2?b2?a2?1 求得 z2?a2b2sin2 ? a2cos2??b2sin2? 而z与sin?同号，故 z? x2?y2?b2?b?a2z?b?a2a2cos2??b2sin2? 42222 ?b2?bsin?abcos? a2cos2??b2sin2??a2cos2??b2sin2? ? x??? 1 y??? 这样，设地球球面上两点P1，P2，纬度分别为?1,?2，经度分别为?1??2，则P1坐标为
y1? z1? P2坐标为 x2? y2? z2? 则 |PP? 12|? ? ? ? 2 ?? ??? 118.222? 若用角度制，把?替换为180 ，替换为 180 ，即可。[］例如，把118.222替换为180 32.77替换为 32.77?
，然后代入公式中运算，即可。给定圆心O的经纬度，设为，这就相当于知道圆心的坐标 x0? y0? z0? 地球球面方程为 f?x2y2 z2 b2?b2?a 2?1?0 ?f?x?2x?f2y?f2z b2，?y?b 2，?z?a2 这样，地球过O的切平面的方程为 2x0b2?2y0b2?2z0b 2?0 即 x0b2?y0b2?z0 b2 ?0 于是，到O距离为r且在切平面上的点的轨迹方程为 ?2???r2 ? ??x0yz ? b2?00b2?00
两点间的距离公式
3.3 直线的交点坐标与距离 公式 3.3.2两点间的距离 【教材导读】 一、情景导入 已知平面上点A （1,3），你能求出A 点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？ 二、教材导读 1.两点间距离公式的推导 已知平面上点A （1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形， 由勾股定理可求得A 点与原点O 之间的距离： d == 那么已知平面上任意两点),(111y x P ， ),(222y x P ，是否能用相同方法求得2 1P P 的距离呢？ 阅读教材P 104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程. 2.两点间的距离公式 平面上两点),(111y x P ，),(222y x P 间的距离公式： 由公式可知，原点)0,0(O 与任一点 ),(y x P 的距离22y x OP +=； 3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模 也得到了两点间的距离公式：平面上两点 ),(111y x P ，),(222y x P ，则： （1）122121(,)PP x x y y =--u u u u r （2）12||PP = u u u u r 注意比较两种情形下推证方法. 4. 沙尔定理:设A 、B 是x 轴上任意一条有向线段，O 是原点，OA=1x ，OB=2x ，那么 有AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r ：21(,0),AB x x =-u u u r 12(,0),BA x x =-u u u r 于是21||||AB x x =-u u u r 显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的 直线上的有向线段也符合沙尔定理. 由此我们理解两点间距离公式的特例： （1）当21P P ⊥y 轴时，21y y =， 1221x x P P -=； （2）当21P P ⊥x 轴时，21x x =， 1221y y P P -=. 请完成自主评价1 【课堂点金】 一、重难点突破 1. 熟悉两点间距离公式 例1．在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程. 【解析】利用两点间的距离公式建立关系. ∵ 点P 在直线20x y -=上， ∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得： 2222 5)82()5(=-+-=a a PM 即0644252 =+-a a 解得3225a a ==或，∴3264 (2,4)(,)55 P 或． ∴直线PM 的方程为 8585 6432482585 55y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+ =--=或 【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式. 【变式1】求与A （32，10），B （42，0），
两点之间距离公式教案
数学系 09数本四班 090401426 夏溦 两点之间的距离公式 一、教学目标 1.知识技能目标：经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。 2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。 3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 二、教学重、难点 1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，使学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点之间距离公式灵活运用。 三、教学过程 （一）复习式导入： 回顾上一节课提到的存在两点,A B ,若这两点都在X 轴或Y 轴上，两点之间距离是： （1） 若两点都在X 轴上，且已知12(,0),(,0)A x B x -时，有()21AB x x =-- （2） 若两点都在X 轴上，且已知''12(0,),(0,)A y B y -，有21''A B y y =--
（二）讲解新课 如果已知的两点不是都在坐标轴上的，那我们怎么求两点之间的距离呢？ 现在，我们来看一个生活中的实例，通过这个例子来尝试推导出两点之间的距离公式。 生活实例： 同学们都知道中国即将步入3G网络的时代，而且福建省的3G网络铺设已经进入了倒计时。现在有一只工程队要铺设一条网络，连接A，B两城。他们首先要知道两城之间的距离，才能准备材料。他们用全球定位系统将两城的位置在平面直角坐标系中表示出来。现在我们就来试试看能不能帮他们求出A、B两城之间的距离。 在黑板上画出A，B两点，如下图： 那么，我们怎么求出AB之间的距离呢？ 我们来试试看，能不能通过添加一些辅助线，来解答问题呢？ 首先我们作点A关于X轴的垂线，设垂足为A’，再作B关于Y轴的垂线，设垂足为B’；延长AA’和BB’使之交与C点。 如下图： 显然角C等于90度，这样我们就构造出了一个三角形ABC，而我们要求的AB就在这
距离计算
在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(Similarity Measurement)，这时通常采用的方法就是计算样本间的“距离”(Distance)。采用什么样的方法计算距离是很讲究，甚至关系到分类的正确与否。 本文的目的就是对常用的相似性度量作一个总结。 本文目录： 1. 欧氏距离 2. 曼哈顿距离 3. 切比雪夫距离 4. 闵可夫斯基距离 5. 标准化欧氏距离 6. 马氏距离 7. 夹角余弦 8. 汉明距离 9. 杰卡德距离& 杰卡德相似系数 10. 相关系数& 相关距离 11. 信息熵 1. 欧氏距离(Euclidean Distance) 欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。 (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离： (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离： (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离： 也可以用表示成向量运算的形式：
(4)Matlab计算欧氏距离 Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。 例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离 X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X,'euclidean') 结果： D = 1.0000 2.0000 2.2361 2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance) 从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离 (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离 (3) Matlab计算曼哈顿距离 例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼哈顿距离 X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X, 'cityblock') 结果： D = 1 2 3 3. 切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式、中点公式 教学目标：掌握两点间坐标公式、中点公式 教学重点、难点：公式的应用 教学过程： 一、两点间距离公式： 初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两 点所表示的两个数的差的绝对值。 现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离 。 如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有 P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，
Q P 2＝N 1N 2＝｜y 2－y 1｜。 由勾股定理，可得 P 1P 22＝P 1Q 2＋Q P 22 ＝｜x 2－x 1｜2＋｜y 2－y 1｜2 ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 由此得到平面内P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点间的距离公式 例1、求平面上两点A （1，-2），B （3，5）之间的距离。 解 ()()53251322=++-=AB 二、中点公式 平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），线段的中点，求点P 的坐标（x ，y ）. 由点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1，P 2M 2，与x 轴分别交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0），M (x ,0),则 即 x x x x -=-21 所以 2 21x x x +=
类似上面方法可得 因此，点21p p 之间锁链线段的中点坐标为 221x x x +=，2 21y y y += 上式称为线段的中点公式。 例2、有一线段A B ，它的中点坐标是（4，2），端点A 坐标是（-2，3），求另一端点的坐标。 解 设另一端点B 坐标为()y x ,，由中点坐标公式可知 2 32,224y x +=+-= 解之得1,10==y x 所以端点坐标为()1,10。 作业：B 1、5
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式中点公 式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
两点间距离公式、中点公式 教学目标：掌握两点间坐标公式、中点公式 教学重点、难点：公式的应用 教学过程： 一、两点间距离公式： 初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值。 现在我们研究平面内任意两点P 1（x 1 ，y 1 ），P 2 （x 2 ，y 2 ）间的距 离 。 如图，由点P 1，P 2 分别作x轴的垂线P 1 M 1 ，P 2 M 2 ，与x轴分别交于 点M 1（x 1 ，0），M 2 （x 2 ，0）；再由点P 1 ，P 2 分别作y轴的垂线 P 1N 1 ，P 2 N 2 ，与y轴分别交于N 1 （0，y 1 ），N 2 （0，y 2 ），直线 P 1N 1 ，P 2 M 2 相交于Q点，则有
P 1Q ＝M 1M 2＝｜x 2－x 1｜， Q P 2＝N 1N 2＝｜y 2－y 1｜。 由勾股定理，可得 P 1P 22＝P 1Q 2＋Q P 22 ＝｜x 2－x 1｜2＋｜y 2－y 1｜2 ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 由此得到平面内P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点间的距离公式 例1、求平面上两点A （1，-2），B （3，5）之间的距离。 解 ()()5325132 2=++-= AB 二、中点公式 平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），线段的中点，求点P 的坐标（x ，y ）. 由点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1，P 2M 2，与x 轴分别交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0），M (x ,0),则 即 x x x x -=-21 所以 2 2 1x x x +=