勾股定理 小学

勾股定理小学

大家好，我叫勾股定理，大家对我的名字一定是如雷贯耳，但是我还是要好好介绍一下我自己，因为在我身上还有好多不为大家所知的小秘密。

首先来个一句话的自我介绍：

在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方；在△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2。

个人成就：

我是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”。无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产，而是我们全人类的共同财富。

我的名字：

虽然大家知道我叫勾股定理，但是我的小名可是太多了，接下来介绍一下我的各个名字，希望大家见到它们的时候要记得我。

1. 商高定理：在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，我又称“商高定理”。

2. 陈子定理：在公元前7至6世纪。《周髀算经》记载了陈子用勾股定理推算地球与太阳的距离以及太阳的直径：“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。”

因而我又叫“陈子定理”

3. 勾股定理，：这个大家熟悉。因为“勾三股四弦五”的存在，人们对我俗称为“勾股弦定理”，后来则慢慢地简化成“勾股定理”

4. 毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯是古希腊人，生于公元前6世纪，他是最早提出并证明此定理的，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。所以西方国家大多称呼我为“毕达哥拉斯定理”

5. 百牛定理：毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此我又叫“百牛定理”

6. 驴桥定理：因为西欧在过去数学水平较低，很多学习欧几里得的《几何原本》的人到这里被卡住，难于理解和接受。勾股定理被谑称为"笨蛋的难关(Asses' Bridge)"，照原文直译，就是"驴桥"，所以法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”

是谁证明的我：

1. 毕达哥拉斯证法：

世界上第一个证明我的人应该是毕达哥拉斯，证明方法在欧几里得的《几何原本》一书中，但是证明方法比较繁琐：

在定理的证明中，我们需要如下三个辅助定理：

①如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理）

②三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

③任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

证明思路：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

具体的不详细阐述。

2. 赵爽弦图法：

这是我最喜欢的证明方法，而且这种方法也被收录在了初中数学的课本中。

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

3.平面向量法：

平面向量法表明，勾股定理是余弦定理的特殊形式。

其实现约有500种证明方法去证明我，是数学定理中证明方法最多的定理之一，这里只介绍这几个著名的证明方法吧。

我出现的意义:

①我是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

②我导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

③我开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

④我也是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

结语：

我是勾股定理，简单而美丽的定理，历史悠久的定理，既属于全世界也属于你的定理。

大家好，我叫勾股定理，大家对我的名字一定是如雷贯耳，但是我还是要好好介绍一下我自己，因为在我身上还有好多不为大家所知的小秘密。

首先来个一句话的自我介绍：

在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方；在△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2。

个人成就：

我是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”。无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产，而是我们全人类的共同财富。

我的名字：

虽然大家知道我叫勾股定理，但是我的小名可是太多了，接下来介绍一下我的各个名字，希望大家见到它们的时候要记得我。

1. 商高定理：在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，我又称“商高定理”。

2. 陈子定理：在公元前7至6世纪。《周髀算经》记载了陈子用勾股定理推算地球与太阳的距离以及太阳的直径：“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。”

因而我又叫“陈子定理”

3. 勾股定理，：这个大家熟悉。因为“勾三股四弦五”的存在，人们对我俗称为“勾股弦定理”，后来则慢慢地简化成“勾股定理”

4. 毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯是古希腊人，生于公元前6世纪，他是最早提出并证明此定理的，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。所以西方国家大多称呼我为“毕达哥拉斯定理”

5. 百牛定理：毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此我又叫“百牛定理”

6. 驴桥定理：因为西欧在过去数学水平较低，很多学习欧几里得的《几何原本》的人到这里被卡住，难于理解和接受。勾股定理被谑称为"笨蛋的难关(Asses' Bridge)"，照原文直译，就是"驴桥"，所以法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”

是谁证明的我：

1. 毕达哥拉斯证法：

世界上第一个证明我的人应该是毕达哥拉斯，证明方法在欧几里得的《几何原本》一书中，但是证明方法比较繁琐：

在定理的证明中，我们需要如下三个辅助定理：

①如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理）

②三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

③任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

证明思路：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

具体的不详细阐述。

2. 赵爽弦图法：

这是我最喜欢的证明方法，而且这种方法也被收录在了初中数学的课本中。

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

3.平面向量法：

平面向量法表明，勾股定理是余弦定理的特殊形式。

其实现约有500种证明方法去证明我，是数学定理中证明方法最多的定理之一，这里只介绍这几个著名的证明方法吧。

我出现的意义:

①我是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

②我导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

③我开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

④我也是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

结语：

我是勾股定理，简单而美丽的定理，历史悠久的定理，既属于全世界也属于你的定理。

小学奥数：几何图形大全汇编

学习-----好资料 几何图形综合 1．如图，四边形ABCD 是直角梯形．其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘米)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的面积相等． 阴影△DEF 的面积是多少平方厘米？ 2．如图，长方形ABCD 的面积是96 平方厘米，E 是AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3．如图，把一个正方形的两边分别增加3和5厘米，米(阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？ 4．如图，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和446平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米？ 5．如图，在△ABC 中，AD 的长度是AB 的四分之三，AE 的长度是 AC 的三分之二.请问：△ADE 的面积是△ABC 面积的几分之几？ 6．如图，在△ABC 中，BC=3CD ，AC=3AE ，那么△ABC 的面积 是△CDE 的多少倍？ 7．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的面积是3平方千米，△BOC 的面积是2平方千米，△COD 的面积是1平方千米，如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工 湖的面积是多少平方千米？ E D F B C A D E A B C E A D

学习-----好资料 8.如图，在梯形ABCD 中，AD 长9厘米，BC 长15厘米， BD 长12厘米，那么OD 长多少厘米？ 9.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分 连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？ 10.图中甲区域比乙区域的面积大57 其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？(π取3.14) 11.如图，在3×3的方格表中，分别以A 、E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取 3.14) .(π取 13.下图是一个直角边长为3厘米、4 厘米的直角三角形.将该三角形一任意一条边所在直线为轴进行旋转，求所得立体图形的表面积和体积. 14.如图，已知正方形ABCD 的边长为4厘米，求阴影部分的面积. A D O B C ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

小学奥数勾股定理“勾股树”问题

1、在下列简易毕达哥拉斯树图形中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为192平方厘米，问最大的正方形的边长是多少厘米？ 2、如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．如果图中所有的正方形面积之和是980平方厘米，问：最大的正方形的边长是多少厘米？ 3、如图，三角形是直角三角形，四边形都是正方形，如果所有的正方形的面积之和是50平方厘米，则最大的正方形的边长是厘米．

4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为24厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和为平方厘米． 5、如图，所有四边形均为正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为11，则A、B、C、D、E、F的面积之和是． 6、如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为500平方厘米，那么最大的正方形的面积是平方厘米．

7、三角形ABC中，AD是一条高，分别以AB、BD、DC、CA为边向外作正方形，一些正方形的面积已知，则问号处正方形的面积是． 8、在下列简易毕达哥拉斯树图形中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为250平方厘米，问最大的正方形的边长是厘米？ 9、如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为600平方厘米，问最大的正方形的边长是多少厘米．

10、如图所示，在美丽的平面珊瑚图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．如果图中最大的正方形（阴影部分）的边长为5，求图中所有正方形的面积之和． 11、如图在美丽的毕达哥拉斯树中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知所有的正方形面积总共是680，那么最大的正方形面积是．

小学奥数勾股定理

勾股定理 内容概述 1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方． 公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺． 2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦． 中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽 的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图． 如下,在弦图中有EFGH S =四边形()12ABCD MNPQ S S +矩形矩形C DG ADG CDE S S S '==

3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法： 梯形面积=12 (上底＋下底)×高 =12 (a+b)×(a+b) =12 (a+b)2； 三个直角三角形的面积和=12ab+12ab+12 c 2； 梯形面积=三个直角三角形面积和． 12(a+b)2=12ab+12ab+12 c 2,所以a 2+b 2=c 2. 4. 公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下： 如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC 的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C 作CK 平行于AF,交AB 、FG 分别于J 、K 点． 易证△AFC ≌△BAE ,有12FAC S =AF.FK=12AFKJ S 矩形,12 BAE S =EA.CA=ACDE S 正方形,所以AFKJ S =矩形 ACDE S 正方形； 易证△CBG≌△HBA，有12CBG S =BG.KG=12KGBJ S 矩形,12 HBA S =BH.IH=CBHI S 正方形,所以KGBJ S 矩形 CBHI S =正方形. 而AFGB AFKJ S S =正方形矩形KGBJ ACBE S S +=矩形正方形CBHI S +正方形． 即有AB 2=AC 2+CB 2 .

小学奥数的七大模块

奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题 模块一：计算模块 1、速算与巧算 2、分数小数四则混合运算及繁分数运算 3、循环小数化分数与混合运算 4、等差及等比数列 5、计算公式综合 6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳 7、比较与估算 8、定义新运算 9、解方程 模块二：数论模块 1、质数与合数 2、因数与倍数 3、数的整除特征及整除性质 4、位值原理 5、余数的性质 6、同余问题 7、中国剩余定理（逐级满足法） 8、完全平方数 9、奇偶分析 10、不定方程 11、进制问题 12、最值问题 模块三：几何模块 （一）直线型 1、长度与角度 2、格点与割补 3、三角形等积变换与一半模型 4、勾股定理与弦图 5、五大模型 （二）曲线型 1、圆与扇形的周长与面积 2、图形旋转扫过的面积问题 （三）立体几何 1、立体图形的面积与体积 2、平面图形旋转成的立体图形问题 3、平面展开图 4、液体浸物问题 模块四：行程模块 1、简单相遇与追及问题 2、环形跑道问题 3、流水行船问题

4、火车过桥问题 5、电梯问题 6、发车间隔问题 7、接送问题 8、时钟问题 9、多人相遇与追及问题 10、多次相遇追及问题 11、方程与比例法解行程问题 模块五：应用题模块 1、列方程解应用题 2、分数、百分数应用题 3、比例应用题 4、工程问题 5、浓度问题 6、经济问题 7、牛吃草问题 模块六：计数模块 1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法 2、分类枚举之整体法、对应法、排除法 3、加乘原理 4、排列组合 5、容斥原理 6、抽屉原理 7、归纳与递推 8、几何计数 9、数论计数 模块七：杂题 1、从简单情况入手 2、对应与转化思想 3、从反面与从特殊情况入手思想 4、染色与覆盖 5、游戏与对策 6、体育比赛问题 7、逻辑推理问题 8、数字谜 9、数独

小学奥数勾股定理与弦图讲解

小学奥数勾股定理与弦 图讲解 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

的面积。 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）。

如图，在四边形ABCD 中，AB＝30 ，AD＝48，BC＝14 ，CD＝40，∠ADB＋∠DBC＝90°。请问：四边形ABCD 的面积是多少 第二部分：介绍弦图及其应用 （基本思想是图形经过割补后，面积不变） ⑴大正方形边长为：a＋b ⑵小正方形边长为：a－b ⑶中正方形边长为：c 【例 6】(★★★) 一个直角三角形的斜边长 8 厘米，两个直角边的长度差为2 厘米，求这个三角形的面积 【例 7】(★★★★★) 从一块正方形玻璃上裁下宽为16 分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336 平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米 自我检测 1.将长为10 米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为 6 米，则梯足到墙的底端距离为__________米． 2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145 ，则另一直角边 为___________。 3.已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方 是。

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2． 5.如图在△ABC中，AB =15,AC=13,高AD=12，则△ABC的面积为 易错题 （1）某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔30分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔20分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车 （2）有4袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过90。这4袋糖块总共最少有多少块 （3）一次考试共30道题。若佳佳，海海，阳阳和娜娜分别答对26，27，28，29道。则四人都答对的题目至少多少道（先最再对：先从最值的方向分析，最后检验是否正确）

小学奥数华杯赛几何之勾股定理与弦图

小学奥数华杯赛几何之勾股定理与弦图 关于勾股定理，我们已经谈过很多了。中国、希腊、埃及这些文 明古国，处于不同的地区，不过却都很早地，独立地发现了勾股定理。那么，勾股定理到底是谁ZUI先发现的呢?我们能够自豪地说：是我们 中国人ZUI先发现的。证据就是《周髀算经》中的记载。 《周髀算经》一开始，就记载了我国周朝初年的大政治家周公旦 与当时的数学家商高的一段话。在这段话中，周公和商高讨论了关于 直角三角形的一些问题。其中就说到了“勾三股四弦五”的问题。 周公问商高：“我听说您很精通于数，请问数是从哪里来的呢?” 小学生经典数学故事《谁ZUI先发现了勾股定理》：商高回答说：“数的艺术是从研究圆形和方形中开始的，圆形是由方形产生的，而 方形是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀， 设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)的长度为3，长直角边(股)的长度为4，斜边(弦)长则为5，并用四个上述直角三角形一样 的半矩形把它围起来拼成一个方形盘，从它的总面积49中减去由勾股 弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的两个矩形的面积24，便 得到ZUI初所作正方形的面积25，这种方法称为‘积矩’。” 商高对“勾三股四弦五”的描述，已经具备了勾股定理的所有条件。而我们已经讲过的毕达哥拉斯发现勾股定理的年代是比周朝的商 高要晚的，所以证明，我国的数学家商高是ZUI早发现勾股定理的人。而“勾股定理”一开始也叫“勾股弦定理”，这也形象地点明了这个 定理的具体内容。 【篇二】 1.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值能够有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

初二奥数勾股定理概念知识点及练习题

初二奥数勾股定理概念知识点及练习题性质 1.直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a2+b2=c2 2.勾股数互质 概念 在任何一个的直角三角形(Rt△)中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也能够理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。 勾股数通式和常见勾股素数 若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。(若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数，不符合互质。) 所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存有无穷多的素勾股数。 常见的勾股数及几种通式： (1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … … 3n,4n,5n (n是正整数) (2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … … 2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … … 2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n均是正整数，m>n)

100以内勾股素数 【练习题】 1.等边三角形的高是h，则它的面积是( ) A. h2 B. h2 C. h2 D. h2 2.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( ) A. 12cm2 B. 10cm 2 C. 8cm2 D. 6cm2 3.下列命题是真命题的个数有( ) ①直角三角形的边长为，短边长为1，则另一条边长为 ②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为 ③在直角三角形中，若两条直角边长为n21和2n，则斜边长为n2+1 ④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【参考答案】 1.B 2.D 3.D

小学六年级奥数勾股定理讲座

小学六年级奥数勾股定理讲座 勾股定理 内容概述 1勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方． 公元前00年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺． 2 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之外半卿一矩,环而共盘得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九算术》第九卷为《句股》其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦． 中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽 的弦图2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图． 如下,在弦图中有 3 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法： 梯形面积= (上底＋下底)×高 = (a+b)×(a+b) = (a+b)2； 三个直角三角形的面积和= ab+ ab+ 2； 梯形面积=三个直角三角形面积和． (a+b)2= ab+ ab+ 2,所以a2+b2=2 4公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形AB的三边长连

接图中的虚线段对应的点；过作平行于AF,交AB、FG分别于、点． 易证△AF≌△BAE,有AFF= , EAA= ,所以 ； 易证△BG≌△HBA，有BGG= , BHIH= ,所以而． 即有AB2=A2+B2 勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,=u2+v2如果a、6、可以如此表达,那么a、b、称之为勾股数组,有a2+b2=2． 如:u=2,v=l时a=3,b=4,=；u=7,v=6时a=13,b=84,=8． 当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组 典型问题 2智能机器猫从平面上的点出发按下列规律行走:由向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A,…,问:智能机器猫到达A6点与点的距离是多少厘米? 【分析与解】如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米． 有=362+482,即A2=60．

五年级奥数春季班第1讲-勾股定理

第一讲 勾股定理 模块1、常见勾股数及辅助线 例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是 、 、 。 （2）如图，下列图形的面积分别是 、 、 。 解：（1）应用勾股定理： 第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5； 第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。 （2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6， 所以三角形的面积是 1 86242 ??=； 第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是 1 1.20.50.32 ??=； 第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5， 斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S 2= 1 2.567.52 ??=， 于是面积等于S 1+S 2=9. 例2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积为 ； ? 5 8 1.2 22 22

（2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为 。 解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16， 于是周长=20+10+16+22=68，面积= 1 16(1022)2562 ??+=； 第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=1 1.2(0.62) 1.562 ??+=。 （2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9， 在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15， 解得BC =BE ?CE =15?3=12。 模块2、勾股定理及其重要模型 例3．（1）以直角三角形ABC 的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为 。 （2）下面的图形是以直角三角形ABC 的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为 。 解：（1）AB 2=3，BC 2=14，所以AC 2=3+14=17；

小学奥数计算公式及数字

奥数计算公式及数字 1、必背数字 （1）10.2525%4==30.7575%4 == 10.12512.5%8==30.37537.5%8==50.62562.5%8==70.87587.5%8 == （2）π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 25π=78.5 （3）0是坏数，1是废数，2是最小的质数，也是唯一的偶质数，4是最小的合数，跟100最接近的质数是101，跟1000最接近的质数是997或者1003 1001是黄金合数=71113?? （4）有趣数字 尖顶爬坡数： 22211121,11112321,11111234321===2.....11111111112345678987654321= 平顶爬坡数： 111111221?=1111111123321?= 重码数 1001abcabc abc =?； 10101ababab ab =?； 轮回数 ··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717 =， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427 =； 无8数 123456799111111111?=, 1234567918222222222?=。。。。。。 循环小数化分数 a. 纯循环9.0. a a =、99.0..a b b a =、999.0..ab c c b a =、…… b. 混循环90.0. a a b b a -=、990.0..a ab c c b a -=、9900.0..ab abc d d c b a -=、…… （5）A. 熟记100以内质数： 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

小学奥数勾股定理

勾股定理 学前需掌握： 三角形和多边形的面积计算方法 有开平方和求平方根的概念 了解为什么学习勾股定理？ 有一定图形和数字结合的认识 为什么要学习勾股定理？ 勾股定理呢是几何的基础.首先,三角形是多边形中最简单的,而直角三角形是三角形中特殊的一种，这是数与形结合的最初形式。.学习了勾股定理,就会解直角三角形.很多时候,在普通的三角形里,也会作辅助线分成几个直角三角形来做.所以,这个很基础! 几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。在中国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。那么，是谁首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？这是明末杰出的科学家徐光启。

关于勾股定理 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为

2018最新五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版

课前预习 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下： 两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．勾股定理与弦图

小学奥数勾股定理

勾股定理 例1. 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图下所示，它由四个相同的直角三角形拼成的，直角边的长分别为2和3。 问大正方形的面积为多少？ 例2. 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。 例3. 已知一个梯形的上底为5，下底为10，两边的腰分别为3和4，求这个梯形的面积是多少？

例4. 如图，正方形的边长为10cm，AB=2cm，CD=3cm，求阴影部分的面积。 例5. 已知，如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠1=∠2， CD=1.5,BD=2.5,求AC的长. 例6. 如图，在三角形ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB×AB－AP×AP=PB×PC。

练习题 （1）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于 A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等则 E站应建在离A站多少km处？ （2）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则三角形ABE的面积为多少？

（3）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 （4）如下图所示，四边形的面积为多少？ （5）如图所示，梯形ABCD中，AB平行于CD，又BD=4，AC=3，且 AB+CD=5，试求梯形ABCD的面积。

八年级奥数勾股定理概念知识点

八年级奥数勾股定理概念知识点 性质 1.直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a2+b2=c2 2.勾股数互质 概念 在任何一个的直角三角形(Rt△)中，两条直角边的长度的平方和等于 斜边长度的平方(也能够理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。 勾股数通式和常见勾股素数 若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。(若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数，不符合互质。) 所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出，这亦可推 论到数学上存有无穷多的素勾股数。 常见的勾股数及几种通式： (1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … … 3n,4n,5n (n是正整数) (2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … … 2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … … 2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n均是正整数，m>n)

100以内勾股素数 【练习题】 1.等边三角形的高是h，则它的面积是( ) A. h2 B. h2 C. h2 D. h2 2.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( ) A. 12cm2 B. 10cm 2 C. 8cm2 D. 6cm2 3.下列命题是真命题的个数有( ) ①直角三角形的边长为，短边长为1，则另一条边长为 ②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为 ③在直角三角形中，若两条直角边长为n21和2n，则斜边长为n2+1 ④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【参考答案】 1.B 2.D 3.D

小学奥数勾股定理与弦图讲解

第十二讲勾股定理与弦图 【教学重难点】 能够用弦图证明勾股定理的具体内容，并运用勾股定理解决相应的几何问题。【教学内容】 勾股定理是一个基本的几何定理。直角三角形两直角边（即 “勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o 勾股定理 第一部分：勾股定理的应用 H 介绍一种神奇的无字证明 b

10 【例1】(★★) 求下面各三角形中未知边的长度。 【例2】(★★★) 有一个直角边为1和1的直角三角形，以它的斜边和1为直角边， 向外作另一个直角三角形。重复以上操作，如下图。求第 1023个直 角三角形的斜边长度是 _________ 。第 _____ 个直角三角形的斜边长度是 17 【例3】(★★★) 根据图中所给的条件，求梯形 ABCD 勺面积 【例4】(★★★) A I)

【例5】(★★★★) 第二部分：介绍弦图及其应用 ⑴大正方形边长为：a + b ⑵小正方形边长为：a — b ⑶中正方形边长为： c 【例6】(★★★) 一个直角三角形的斜边长8厘米，两个直角边的长度差为 2厘 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积(单位：厘米) 如图，在四边形 ABCD 中，AB= 30 ,AD= 48, BC= 14 , CD= 40,/ ADBk Z DB G 90°。请问：四边形 ABCD 的面积是多少? O B (基本思想是图形经过割补后，面积不变)

【例7 ] ( ★★★★★) 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块 长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？ 自我检测 1.将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为6 米，则梯足到墙的底端距离为 _______________ . 2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17和145，则另一直角边 为_____________ 。 3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方 米，求这个三角形的面积?

小学奥数几何难题

小学奥数几何难题 类型一：旋转、对称类 （2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛） 在ABC △中，9cm AB AC ==，120BAC ∠=?．点P 在边BC 上使得6cm CP =，点Q 在边AC 上使得CPQ APB ∠=∠．请求出三角形BPQ 的面积． 【考点】 图形对称 【答案】 13.52cm 【分析】 方法一：过A 点作AO BC ⊥交BC 于点O ，作P 、Q 关于AO 的对称点'P 、'Q ， 连接''P Q 、'AP 、'P Q ，如下图所示： ∵CPQ APB ∠=∠，又'APB AP C ∠=∠，∴'CPQ CP A ∠=∠，∴'PQ P A ∥，∴'APQ P PQ S S =，∴'APC P QC S S =，又∵'P O PO =，∴'CP BP =，∴'CP BP =，∴'BPQ P QC APC S S S ==△△△．∵30C ∠=?，∴ 4.5AO =，又∵6CP =，∴ APC S △6 4.5213.5=?÷=，∴13.5BPQ S =△． 方法二：（供参考）作AD BC ⊥交BC 于点D ，作QE BC ⊥交BC 于点E ． ∵APB QPC ∠=∠，ABP QCP ∠=∠，∴CQP BAP △∽△，又AD 、QE 分别是ABP △、QCP △的高，于是有： BP AD CP QE = ，即BP QE CP AD ?=?．而又226 4.5213.5BPQ S BP QE CP AD =?÷=?÷=?÷=△． 【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线， 解决问题． 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC △的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．

经典小学奥数题型(几何图形)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造 b a S 2 S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A