2014年北师大版数学八上能力培优6.4数据的离散程度

6.4数据的离散程度

专题探究创新题（附答案）

1．已知样本x1，x2，x3，…，x n的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2x n+3的方差是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2013湖北孝感）已知一组数据x1，x2，…，x n的方差是s2，则新的一组数据ax1+1, ax2+1, …,ax n+ 1（a为常数,a≠0）的方差是(用含a,s2的代数式表示) ．

（友情提示：s2=1

[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n+x)2]）

答案：

1．D 【解析】 设样本x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为m ，

则其方差为S 12=n

1[（x 1﹣m ）2+（x 2﹣m ）2+…+（x n ﹣m ）2]=1， 则样本2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3，…，2x n +3的平均数为2m ，其方差为S 22=4S 12=4．故选D ．

2．a 2s 2 【解析】 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2, 则n

x x x n +++ 21=x ，21[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n +x )2]=s 2. ∴

n ax ax ax n 12121++++++ =n n x x x a n ++++)(21 =a x +1. 新的一组数据的方差s ′2=

n

1[(ax 1+1－a x －1)2+(ax 2+1－a x －1)2+…+(ax n +1－a x －1)2] =n 1[(ax 1－a x )2+(ax 2－a x )2+…+(ax n －x )2] =n

1{[a (x 1－x )]2+[a (x 2－x )]2+…+[a (x n －x )]2}=n

1[a 2 (x 1－x )2]+[a 2 (x 2－x )2]+ …+[a 2 (x n －x )2] =a 2?n 1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]）=a 2s 2. 即新的一组数据ax 1+1, ax 2+1, …,ax n + 1（a 为常数,a≠0）的方差是a 2s 2.

3．解：（1）A x =3，2A S =2，B x =13，2B S =2，C x =30，2C S =200，D x =7，2D S =8.

（2）规律：有两组数据，设其平均数分别为1x ，2x ，方差分别为s 12，s 22. ①当第二组每个数据比第一组每个数据都增加m 个单位时，则有2x =1x +m ，s 22=s 12； ②当第二组每个数据是第一组每个数据的n 倍时，则有2x =n 1x ，s 22=n 2s 12； ③当第二组每个数据是第一组每个数据的n 倍加m 时，则有2x =n 1x +m ，s 22=n 2s 12

（3）另一组数据的平均数'x =1n （3x 1-2+3x 2-2+…+3x n -2）=

1n [3（x 1+x 2+…+x n ）-2n]=3x -2； 因为s 2=

1n [（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，所以另一组数据的方差为s ′2=1n [（3x 1-2-3x +2）2+（3x 2-2-3x +2）2+…+（3x n -2-3x +2）2]