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(2) 有理数

模块一正负数概念

1、正数：

像3、4、+0.3等的数，叫做正数，在小学学过的数，处0外都是正数，正数都大于0； 2、负数：

像-1、-3.21、-4等再正数前面加上“—”（读作负）号的数，叫做负数，负数小于0；

注：0既不是正数，也不是负数；

一个数字前面的“+”、“-”号叫做它的符号；正数前面的“+”可以省略。 3、用正负数表示相反意义的量

如果正数表示某种意义，那么负数表示它相反的意义，反之亦然

“相反意义的量”包括两个方面的含义：相反意义；在相反意义的基础上要有量。

练习1、下列说法正确的是

（1）不带负号的数是正数；（2）带负号的数不一定是负数；（3）0摄氏度表示没有温度；（4）0既不是正数，也不是负数

模块二有理数的分类

1、有理数

整数和分数统称为有理数

注：正数和零统称位非负数；

负数和零统称位非正数；正整数和零统称位非负整数；负整数和零统称位非正整数；不是有理数

有理数

整

数分数正整数（自然数）零负整数

正分数负分数

有理数

练习2、把下列个数分别填在相应的括号里

1.8，-42，+0.01，215-，0，π，-3.14, 1，12

整数（）分数（）正数（）负数（）非负数（）

模块三数轴

1、数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线

注：数轴三要素缺一不可，原点、正方向、单位长度。

2、有理数与数轴的关系

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；

在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大；

模块四相反数

1、相反数：

只有符号不同的两个数成为相反数，特别地，0的相反数是0

2、相反数的性质：

代数意义：互为相反数的两个数和位零，即a 和b 互为相反数，则a+b=0 反之亦然；

几何意义：一对相反数再数轴上分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的。

3、a 的相反数是 b a +的相反数是 b a -的相反数是

注：-a 不一定是负数。

模块五绝对值

1、绝对值：

几何意义：数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离；

代数意义：正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0；

负数的绝对值是它的相反数。注：

绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0

任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值

2、两个负数比较大小：绝对值大的反而小。

3、绝对值等于正数的数有两个

4、几个非负数的和为0，则每一个非负数位0 如果032=++-y x ，那么3,2-==y x

注：

1、注意符号，如： +（-3）= -（+3）= -（-3）=3-- =

2、相反数的绝对值相等，如：

a b b a ,5225,33-=--=-=- 3、???<-≥-=-)b a (,a b )

b a (,b a b a

易错知识点：

1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;

2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;

3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.

4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值.

例题组1

1.下列说法：①零是正数②零是整数③零是最小的有理数④零是最小的自然数

⑤零是最大的负数⑥零是非负数⑦零是偶数

其中正确的说法为（）.

2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,

其中“+”表示成绩大于18秒,“—”表示成绩小于18秒?这个小组女生的达标率是( ) A．25% B．37.5% C．50% D．75%

3.七名同学的体重以48kg为标准,超过即为正,不足记为负,记录如下

A. 最接近标准体重的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义.

B.按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?

4．观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,?并写出第

150个数.

(1)1,-1

,_______,________,_______,第150个数是

________;

(2)1,-1

______,_______,_______,第150个数是

________;

(3)1,1

,1,

_______,_______,_______,第150个数是________.

课堂训练题

1．如果a 表示有理数, 那么下列说法中正确的是（） (A) a +和a -一定不相等 (B) a -一定是负数 (C) )(a +-和)(a -+一定相等 (D) ||a 一定是正数 2.π是（）

（A ）整数（B ）分数（C ）有理数（D ）以上都不对 3.大于–3.5，小于2.5的整数共有（）个。（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3

4.写出三个有理数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2、3、5整除。答：____________。

5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）

请问：(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？ (2)如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？ (3)该公司第一季度利润为多少万元？

例题组2

1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。

2..一数轴上的A 点到原点的距离为2.，那么数轴上到A 点的距离为3的点所表示的数有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.借助数轴列式回答下列问题 (1)与原点相距3

的点表示的数是什么? (2)与-3相距

的点表示的数是什么? (3)一个点A 表示的数为-7

,把A 点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?

两个点A,B 分别表示的数为-1，4

,有一个点C 到这两个点的距离相等,则点C 表示的数为

什么?

课堂训练题

1．画一条数轴,并在数轴上找出比-123大,且比1

小的整数点. 2．根据下面给出的数轴,解答下列问题:

(1)A 、B 两点之间的距离是多少?

(2)画出与点A 的距离为2的点(用不同于A 、B 的字母在所给的数轴上表示)? (3)数轴上,线段AB 的中点表示的数是多少?

A B

3. 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（） A.a>b B.-a>-b C.b >o D.a > o

例题组3

1. 已知，则a 是__________数；已知

，那么a 是_________数。

2.(1).+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x 的相反数是______，数–x 的相反数是________；数的相反数是_________；数的相反数是____________。（2）因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到点

,57

距离相等的点表示的数是____________；到点m 和点–n 距离相等的点表示的数是________。

（3）已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系，那么点10和点之间的距离是____________；点m 和点n （数n 比m 大）之间的距离是_____________。（4）数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a 的绝对值为__________；负数–b 的绝对值为________；负数1+a 的绝对值为________，正数 –a+1的绝对值___________。

0||=--a a ()01|

|<-=b ab

ab b a 12+

-n m 2

+()622

4+=

495-=2.3-

3．(1)如果︱x-2︱=2,求x,并观察数轴上表示x 的点与表示1的点的距离? (2)在(1)的启发下求适合条件︱x-1︱<3的所有整数x 的值?

课堂训练题

1.下列说法中正确的是（）

A.正数的绝对值一定大于负数的绝对值

B.相反数等于它本身的数只有零