2013安徽高中数学联赛初赛试卷

2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷

（考试时间：2013年9月14日上午9:00—11:30）

一、填空题（每题8分，共64分） 1、函数

2

411)(x

x x x f -+-++=的值域为____________________

2、方程2013

)2013sin(x x =π的实根个数为____________________

3、化简o

o

o

54

sin 48sin 12

sin ____________________（用数字作答）

4、设数列}{n a 满足121==a a ，)3(321≥-=--n a a a n n n ，则=2013a ______

5、设

ABC

?的外接圆圆心

P

满足

)

(5

2

AC AB AP +=，则

=∠B A C c o s _____________

6、设复数yi x z +=满足

2

1++z z 的实部与虚部之比为3。其中i 是虚数单位，

则

x

y 的最大值为____________________ 7、设∑=++

=3000

150

2

)1(k k

k

x c x x ，

其中300

1

,c c c ???实常数，则∑=300

3k k

c _____________

8、随机选取正11边形3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为

________________

二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分） 9.设正三棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，求其体积和内切球半径.

10.求所有函数

R R f →:，使得对任意R y x ∈,都有

xy y f x f y x f 2)()()(++=+且2

12

212

||)(||x x x f x x +≤≤-.

11.设c b a ,,是不全为0的实数，求2

2

2

2

32c

b a

c bc ab F +++-=

的取值范围.

c b a ,,分

别满足什么条件时，F 取得最大值与最小值？

12.设数列}{n a 满足2,12

1

==a a ，).3()1(2

2

1

≥+=--n a

a a n n n

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对任意正整数k ，

1

2-k a

和

2

2k

a 都是整数.